Physique 5eB - Corrigé de l`examen de juin 2011

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Physique 5eB - Corrigé de l'examen de juin 2011
Question 1
Décrire les grandes étapes du raisonnement tenu par Isaac Newton pour obtenir la loi de la
gravitation universelle.
Une planète (P) du système solaire décrit, en bonne approximation, un mouvement circulaire
uniforme (MCU) autour du soleil (S). Son orbite a un rayon RS,P et est parcourue sur une
période TP. La vitesse de la planète est
2πR S,P
TP
vP =
Son accélération est une accélération centripète et vaut
€
2
4π 2R S,P
vP2
1  2πR S,P 
aP =
=
=


R S,P R S,P  TP 
TP2
D'autre part, la 3e loi de Kepler, dans son approximation circulaire, dit que
€
TP2
= KS
3
R S,P
KS est une constante, plus précisément c'est une grandeur qui a la même valeur pour toutes les
planètes du système solaire. KS est donc une grandeur caractéristique du soleil.
€
3
La loi de Kepler entraîne que TP2 = KSR S,P
, ce qui permet de reformuler aP :
aP =
4π 2R S,P 4π 2R S,P
4π 2
=
=
3
2
T2
KSR S,P
KSR S,P
€ P


D'après les lois de Newton de la dynamique, F = ma . L'accélération de la planète est la
manifestation d'une force
€
4π 2mP
FS,P = mP aP =
€
2
KSR S,P

Le vecteur aP est orienté vers le centre de l'orbite, c'est-à-dire vers le soleil et il en va de
même du vecteur force. Il est donc
naturel de penser que cette force est exercée par le soleil

€
sur la planète, d'où la notation FS,P .
€
Newton
émet l'hypothèse que ce type de force est exercé non seulement par le soleil sur les
planètes mais aussi par n'importe quel objet de l'Univers sur n'importe quel autre. Pour un
€ 2, ont doit avoir
objet 1 qui attire un objet
F1,2 =
4π 2m2
2
K1R 1,2
Mais si 1 attire 2, 2 attire 1 selon la même loi, dans la quelle il suffit de permuter les indices.
€
€
F2,1 =
4π 2m1
K 2R 22,1
2
D'après la loi de Newton de l'action et de la réaction, F1,2 = F2,1 donc
4π 2m2 4π 2m1
.
=
2
K1R 1,2
K 2R 22,1
€
R1,2 étant la distance de l'objet 1 à l'objet 2, R 1,2 = R 2,1 donc
4π 2m2 4π 2m1
=
;
K1
K2
€
4π 2
4π 2
=
.
K1m1 K 2m2
€
La quantité 4π 2 /(K imi ) est la même pour l'objet 1 et pour l'objet 2. Mais 1 et 2 sont deux
objets€ quelconques de l'Univers et€si la quantité 4π 2 /(K imi ) est la même pour deux objets
quelconques, alors elle est la même pour tous les objets de l'Univers. C'est une constante
universelle.
Appelons-la constante de gravitation universelle et notons-la G.
€
G=
€ 4π 2
4π 2
4π 2
=
= ... =
= ...
K1m1 K 2m2
K imi
Faisons apparaître G dans l'expression de F1,2 .
€
F1,2 =
4π 2m2 4π 2m1m2
mm
=
= G 12 2
2
2
K1R 1,2 K1m1R 1,2
R 1,2
€
C'est la loi de la gravitation universelle.
€ 2
Question
La comète de Halley décrit autour du soleil une trajectoire elliptique fortement excentrique et
passe à proximité du soleil tous les 76 ans. Calculer, en unités astronomiques (ua), le demi
grand axe de la trajectoire de la comète. Par définition, 1 ua vaut la distance de la terre au
soleil.
e
La 3 loi de Kepler dit que
TP2
= KS
3
aS,P
où P est tout objet tournant autour du soleil.
Appliquons cette loi à la terre (T) et à la comète de Halley (H) :
€
TT2
TH2
.
=
3
3
aS,T
aS,H
aS,H est le demi grand axe de l'orbite de la comète autour du soleil. C'est l'inconnue. aS,T est le
demi grand axe de l'orbite de la terre autour du soleil. Comme cette orbite est quasi circulaire,
aS,T est la distance de la terre au soleil, soit 1 ua. TH est€la période de révolution de la comète
autour du soleil, soit 76 ans. TT est la période de révolution de la terre autour du soleil, soit 1
€
an.
€
TT2
TH2
=
3
3
€
aS,T
aS,H
€
3
aS,H
=
TH2 3
• a
S,T
TT2
aS,H =
3
€
€
€
 2

2
3
TH2 3
2
3 76 ans
3 TH
• a
 • 1 ua = 76 ua = 17,94 ua
 • aS,T = 
S,T = 
2


T
1
an
TT
 T
3
Question 3
Jupiter (J) a un rayon R J = 7,15 • 10 4 km et il règne à sa surface un champ gravitationnel
g J = 24,8 m/s2 . Ganymède (G) est un satellite de Jupiter , autour duquel il décrit une orbite de
rayon R J,G = 1,07 • 10 6 km . A quelle vitesse Ganymède se déplace-t-il ?
€
D'après les lois du MCU,
€
€
aG =
vG2
R J,G
(1)
D'après la loi de la gravitation,
€
aG = G
mJ
R 2J,G
(2)
gJ = G
mJ
R 2J
(3)
et
€
En divisant membre à membre (2) par (3), on a
€
€
aG R 2J
=
g J R 2J,G
aG =
R 2J
gJ
R 2J,G
(4)
En identifiant les seconds membres de (1) et de (4), on a
€
€
vG2
R2
= 2J g J
R J,G R J,G
vG2 =
R 2J
gJ
R J,G
= R 2J
€
vG = R J
gJ
R J,G
gJ
R J,G
24,8 m/s2
1,07 • 10 6 km
= 7,15 • 10 4 km
= 7,15 • 10 7 m
24,8 m/s2
1,07 • 10 9 m
= 1,09 • 10 4 m/s
= 10,9 km/s
€
Question 4
4
Ce montage est soumis à une différence de potentiel de 220V. Calculer l'intensité du courant
total circulant dans le montage ainsi que l'intensité de courant dans chaque élément et que la
différence de potentiel aux bornes de chaque élément.
1
1
1
1
1
1 1 1
1  3 2
1 5
1
=
+
=
+
=
=
 + =
 + =
R 1,2 R 1 R 2 20 Ω 30 Ω 10 Ω  2 3  10 Ω  6 6  10 Ω 6 12 Ω
1
€
R 3,4,5
=
1
1
1
1
1
1
1  1 1 1 1  3
5 10  1 18
1
+
+
=
+
+
=
+ =
=
 + + =
 +
R 3 R 4 R 5 60 Ω 36 Ω 18 Ω 6 Ω 10 6 3  6 Ω  30 30 30  6 Ω 30 10 Ω
R 1,2 = 12 Ω
€
R 3,4,5 = 10 Ω
€
R = R 1,2 + R 3,4,5 = 12 Ω + 10 Ω = 22 Ω
€
U = 220 V (donné)
€
I=
€
U 220 V
=
= 10 A
R 22 Ω
I1,2 = I 3,4,5 = I = 10 A
€
U1,2 = R 1,2 I1,2 = 12 Ω 10 A = 120 V
€
U 3,4,5 = R 3,4,5 I 3,4,5 = 10 Ω 10 A = 100 V
€
U1 = U 2 = U1,2 = 120 V
€
U 3 = U 4 = U 5 = U 3,4,5 = 100 V
€
I1 =
U1 120 V
=
= 6A
R 1 20 Ω
I2 =
U 2 120 V
=
=4A
R 2 30 Ω
I3 =
U 3 100 V 5
=
= A = 1,667 A
R 3 60 Ω 3
I4 =
U 4 100 V 25
=
=
A = 2,778 A
R4
36 Ω
9
I5 =
U 5 100 V 50
=
=
A = 5,556 A
R 5 18 Ω
9
€
€
€
€
€
€