Physique 5eB - Corrigé de l`examen de juin 2011

Physique 5eB - Corrigé de l'examen de juin 2011
Question 1
Décrire les grandes étapes du raisonnement tenu par Isaac Newton pour obtenir la loi de la
gravitation universelle.
Une planète (P) du système solaire décrit, en bonne approximation, un mouvement circulaire
uniforme (MCU) autour du soleil (S). Son orbite a un rayon RS,P et est parcourue sur une
période TP. La vitesse de la planète est
€
vP=2πRS,P
T
P
Son accélération est une accélération centripète et vaut
€
aP=vP
2
RS,P
=1
RS,P
2πRS,P
T
P
2
=4π2RS,P
T
P
2
D'autre part, la 3e loi de Kepler, dans son approximation circulaire, dit que
€
T
P
2
RS,P
3=KS
KS est une constante, plus précisément c'est une grandeur qui a la même valeur pour toutes les
planètes du système solaire. KS est donc une grandeur caractéristique du soleil.
La loi de Kepler entraîne que
€
T
P
2=KSRS,P 3
, ce qui permet de reformuler aP :
€
aP=4π2RS,P
T
P
2=4π2RS,P
KSRS,P
3=4π2
KSRS,P
2
D'après les lois de Newton de la dynamique,
€
F =m a
. L'accélération de la planète est la
manifestation d'une force
€
FS,P =mPaP=4π2mP
KSRS,P
2
Le vecteur
€
a
P
est orienté vers le centre de l'orbite, c'est-à-dire vers le soleil et il en va de
même du vecteur force. Il est donc naturel de penser que cette force est exercée par le soleil
sur la planète, d'où la notation
€
F
S,P
.
Newton émet l'hypothèse que ce type de force est exercé non seulement par le soleil sur les
planètes mais aussi par n'importe quel objet de l'Univers sur n'importe quel autre. Pour un
objet 1 qui attire un objet 2, ont doit avoir
€
F1,2 =4π2m2
K1R1,2
2
Mais si 1 attire 2, 2 attire 1 selon la même loi, dans la quelle il suffit de permuter les indices.
€
F2,1 =4π2m1
K2R2,1
2
1"

D'après la loi de Newton de l'action et de la réaction,
€
F1,2 =F2,1
donc
€
4π2m2
K1R1,2
2=4π2m1
K2R2,1
2
.
R1,2 étant la distance de l'objet 1 à l'objet 2,
€
R1,2 =R2,1
donc
€
4π2m2
K1
=4π2m1
K2
;
€
4π2
K1m1
=4π2
K2m2
.
La quantité
€
4π2/ Kimi
( )
est la même pour l'objet 1 et pour l'objet 2. Mais 1 et 2 sont deux
objets quelconques de l'Univers et si la quantité
€
4π2/ Kimi
( )
est la même pour deux objets
quelconques, alors elle est la même pour tous les objets de l'Univers. C'est une constante
universelle. Appelons-la constante de gravitation universelle et notons-la G.
€
G=4π2
K1m1
=4π2
K2m2
= ... =4π2
Kimi
= ...
Faisons apparaître G dans l'expression de
€
F1,2
.
€
F1,2 =4π2m2
K1R1,2
2=4π2m1m2
K1m1R1,2
2=Gm1m2
R1,2
2
C'est la loi de la gravitation universelle.
Question 2
La comète de Halley décrit autour du soleil une trajectoire elliptique fortement excentrique et
passe à proximité du soleil tous les 76 ans. Calculer, en unités astronomiques (ua), le demi
grand axe de la trajectoire de la comète. Par définition, 1 ua vaut la distance de la terre au
soleil.
La 3e loi de Kepler dit que
€
T
P
2
aS,P
3=KS
où P est tout objet tournant autour du soleil.
Appliquons cette loi à la terre (T) et à la comète de Halley (H) :
€
TT
2
aS,T
3=T
H
2
aS,H
3
.
€
aS,H
est le demi grand axe de l'orbite de la comète autour du soleil. C'est l'inconnue.
€
aS,T
est le
demi grand axe de l'orbite de la terre autour du soleil. Comme cette orbite est quasi circulaire,
€
aS,T
est la distance de la terre au soleil, soit 1 ua.
€
T
H
est la période de révolution de la comète
autour du soleil, soit 76 ans.
€
TT
est la période de révolution de la terre autour du soleil, soit 1
an.
€
TT
2
aS,T
3=T
H
2
aS,H
3
€
aS,H
3=T
H
2
TT
2•aS,T
3
€
aS,H =T
H
2
TT
2•aS,T
3
3=T
H
TT
2
3•aS,T =76 ans
1 an
2
3•1 ua =762
3
ua =17,94 ua
2"

Question 3
Jupiter (J) a un rayon
€
RJ=7,15 •104km
et il règne à sa surface un champ gravitationnel
€
gJ=24,8 m/s2
. Ganymède (G) est un satellite de Jupiter , autour duquel il décrit une orbite de
rayon
€
RJ,G =1,07 •106km
. A quelle vitesse Ganymède se déplace-t-il ?
D'après les lois du MCU,
€
aG=vG
2
RJ,G
(1)
D'après la loi de la gravitation,
€
aG=GmJ
RJ,G
2
(2)
et
€
gJ=GmJ
RJ
2
(3)
En divisant membre à membre (2) par (3), on a
€
aG
gJ
=RJ
2
RJ,G
2
€
aG=RJ
2
RJ,G
2gJ
(4)
En identifiant les seconds membres de (1) et de (4), on a
€
vG
2
RJ,G
=RJ
2
RJ,G
2gJ
€
vG
2=RJ
2
RJ,G
gJ
=RJ
2gJ
RJ,G
€
vG=RJ
gJ
RJ,G
=7,15 •104km 24,8 m /s2
1,07 •106km
=7,15 •107m24,8 m /s2
1,07 •109m
=1,09 •104m/s
=10,9 km/s
3"

Question 4
Ce montage est soumis à une différence de potentiel de 220V. Calculer l'intensité du courant
total circulant dans le montage ainsi que l'intensité de courant dans chaque élément et que la
différence de potentiel aux bornes de chaque élément.
€
1
R1,2
=1
R1
+1
R2
=1
20 Ω+1 30 Ω=1 10 Ω
1
2+1 3
 =1
10 Ω
3
6+2 6
 =1
10 Ω
5
6=1 12 Ω
€
1
R3,4,5
=1
R3
+1
R4
+1
R5
=1
60 Ω+1 36 Ω+1 18 Ω=1 6 Ω
1
10 +1 6+1 3
 =1
6 Ω
3
30 +5 30 +10 30
 =1
6 Ω
18
30 =1 10 Ω
€
R1,2 =12 Ω
€
R3,4,5 =10 Ω
€
R=R1,2 +R3,4,5 =12 Ω+10 Ω=22 Ω
€
U=220 V
(donné)
€
I=U
R=220 V 22 Ω=10 A
€
I1,2 =I3,4,5 =I=10 A
€
U1,2 =R1,2 I1,2 =12 Ω 10 A=120 V
€
U3,4,5 =R3,4,5 I3,4,5 =10 Ω 10 A=100 V
€
U1=U2=U1,2 =120 V
€
U3=U4=U5=U3,4,5 =100 V
€
I1=U1
R1
=120 V
20 Ω=6 A
€
I2=U2
R2
=120 V
30 Ω=4 A
€
I3=U3
R3
=100 V
60 Ω=5 3
A=1,667 A
€
I4=U4
R4
=100 V
36 Ω=25 9
A=2,778 A
€
I5=U5
R5
=100 V
18 Ω=50 9
A=5,556 A
4"