Corrigé

EXAMEN ANNEE 2012-2013
Licence Economie 2eannée
1re SESSION 3eSEMESTRE
Matière : Statistiques et probabilités – Éléments de correction Durée : 2H
Exercice I (30 min, 5 points)
En 2009, sur les 20 millions de foyers fiscaux français imposables, 3 % étaient soumis à l’impôt de solidarité sur la
fortune (ISF).
1) Soit Xle nombre de foyers fiscaux soumis à l’ISF sur 90 foyers choisis au hasard (parmi les foyers imposables).
a) Il s’agit d’un tirage sans remise. Donc Xsuit une loi hypergéométrique H.20M; 90; 0:03/. Toutefois, le nombre
de tirages (nD90) étant très inférieur au nombre de foyers fiscaux (ND20M ), on peut considérer les tirages avec
remises et approcher la loi de Xpar une loi binomiale B.90; 0:03/.
b) Le nombre moyen espéré de foyers soumis à l’ISF parmi les 90 est E.X/ D90 0:03 D2:7.
c) La probabilité qu’au moins deux des 90 foyers choisis soit soumis à l’ISF est
P .X >2/ D1P .X < 2/ D1P .X 61/ D1P .X D0/ P .X D1/ 10:0645 0:1785 D0:756
2) En Ile-de-France (IdF), 5 % des foyers (imposables) sont soumis à l’ISF, alors qu’ils ne sont que 2.5 % sur le reste du
territoire français. En outre, l’Ile-de-France représente 20 % de foyers fiscaux imposables.
a) On note ISF l’événement « un foyer choisir au hasard est soumis à l’ISF » et IdF l’événement « un foyer choisir au
hasard est en Ile-de-France. On a donc
P .IdF/D0:2 P .IdF/D0:8 P .ISFjIdF/D0:05 P .ISFjIdF/D0:025
b) D’après la formule des probabilités totales, on a
P .ISF/DP .ISFjIdF/P .IdF/CP .ISFjIdF/P .IdF/D0:05 0:2 C0:025 0:8 D0:03 D3%
c) D’après la formule de Bayes, on a
P .IdFjISF/DP .ISFjIdF/P .IdF/
P .ISF/D0:05 0:20 0:03 D0:3333 D33:33 %
Un tiers des foyers fiscaux soumis à l’ISF est situé en Ile-de-France.
Exercice II (20 min, 4 points)
Les primes de fin d’année accordées aux employés d’un grande entreprise sont uniformément réparties de 500 € à
1500 €. On note Xla variable aléatoire donnant la prime d’un employé choisi au hasard.
1) D’après l’énoncé Xsuit une loi uniforme U.500; 1500/. (Cf cours pour représentation graphique.)
2) La prime moyenne perçue par les employés est E.X/ D.1500 500/=2 D1000. L’écart-type est :
Var.X/ D.1500 500/2
12 83 333:33 H) Xp83 333:33 288:675
3) La probabilité qu’un employé reçoive plus de 1200 € de prime est
P .X >1200/ DZ1500
1200
1
1500 500 dtD1500 1200 1500 500 D0:30

La probabilité qu’un employé reçoive entre 750 et 1000 € est
P .750 6X61000/ DZ1000
750
1
1500 500 dtD1000 750 1500 500 D0:25
Exercice III (35 min, 5.5 points)
Pour a; b 2R, on considère le couple de variables discrètes .X; Y / dont la loi est donnée dans le tableau suivant :
Y0 1
X
0a b
11=3 1=6
1) On sait que la somme des probabilités est égale à 1. On trouve donc :
Xpij D1H) aCbC1
3C1 6D1H) aCbD1 2
2) La loi marginale de Xest P .X D0/ DaCbD1=2 et P .X D1/ D1=2. On en déduit que Xsuit une loi de
Bernoulli B.1; 1=2/. D’où E.X/ D1=2 et Var.X/ D1=4.
3) On a
E.XY / DX
ij
xij pij D1
6E.Y / DbC1 6Cov.X; Y / DE.XY / E.X/ E.Y / D1 61 2bC1 6D1 12 b 2
4) Les variables Xet Ysont non-corrélées lors Cov.X; Y / D0. On en déduit que bD1=6 et aD1=3.
5) Pour les valeurs de aet btrouvées à la question précédente, on vérifie que pij Dpipj. pour i; j D0; 1.
Exercice IV (35 min, 5.5 points)
Durant les fêtes de fin d’année, le volume des ventes (en kilogrammes) de chocolats d’un artisan-chocolatier est en
moyenne de 400 Kg avec un écart-type de 50 Kg. On suppose que le volume des ventes Xsuit une loi normale.
1) Pour les fêtes 2012, l’artisan prévoit de produire 500 Kg de chocolats.
a) On sait que X ,!N.400; 50/. L’artisan répondra à la demande si sa production est supérieure à la demande.
Soit
P .X 6500/ DP .X 6.500 400/=50/ DP .X62/ D0:9772
b) L’artisant vendra toute sa production si elle est inférieure à la demande. D’où
P .X >500/ D1P .X 6500/ D10:9772 D0:0228
c) Pour qu’il répondre à la demande, il faut que X6500 et pour qu’il ne lui reste pas plus de 100 Kg d’invendus, il
faut que X>400. Donc
P .400 6X6500/ DP .X 6500/ P .X 6400/ DP .X 6500/ P .X 60/ D0:9772 0:500 D0:4772
2) Pour répondre à la demande avec une probabilité de 0:99, il faut que la quantité produite Qvérifie
P .X 6Q/ D0:99 ”PX6Q400
50 D0:99 H) Q400 50 Dz0:99 D2:33
Donc QD400 C2:33 50 D516:5 Kg.
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