Corrigé

EXAMEN ANNEE 2012-2013
Licence Economie 2e année
1re SESSION
3e SEMESTRE
Matière : Statistiques et probabilités – Éléments de correction
Durée : 2H
Exercice I (30 min, 5 points)
En 2009, sur les 20 millions de foyers fiscaux français imposables, 3 % étaient soumis à l’impôt de solidarité sur la
fortune (ISF).
1) Soit X le nombre de foyers fiscaux soumis à l’ISF sur 90 foyers choisis au hasard (parmi les foyers imposables).
a) Il s’agit d’un tirage sans remise. Donc X suit une loi hypergéométrique H .20M; 90; 0:03/. Toutefois, le nombre
de tirages (n D 90) étant très inférieur au nombre de foyers fiscaux (N D 20M ), on peut considérer les tirages avec
remises et approcher la loi de X par une loi binomiale B.90; 0:03/.
b) Le nombre moyen espéré de foyers soumis à l’ISF parmi les 90 est E.X / D 90 0:03 D 2:7.
c) La probabilité qu’au moins deux des 90 foyers choisis soit soumis à l’ISF est
P .X > 2/ D 1
P .X < 2/ D 1
P .X 6 1/ D 1
P .X D 0/
P .X D 1/ 1
0:0645
0:1785 D 0:756
2) En Ile-de-France (IdF), 5 % des foyers (imposables) sont soumis à l’ISF, alors qu’ils ne sont que 2.5 % sur le reste du
territoire français. En outre, l’Ile-de-France représente 20 % de foyers fiscaux imposables.
a) On note ISF l’événement « un foyer choisir au hasard est soumis à l’ISF » et IdF l’événement « un foyer choisir au
hasard est en Ile-de-France. On a donc
P .IdF/ D 0:2
P .IdF/ D 0:8
P .ISFjIdF/ D 0:05
P .ISFjIdF/ D 0:025
b) D’après la formule des probabilités totales, on a
P .ISF/ D P .ISFjIdF/ P .IdF/ C P .ISFjIdF/ P .IdF/ D 0:05 0:2 C 0:025 0:8 D 0:03 D 3 %
c) D’après la formule de Bayes, on a
P .IdFjISF/ D
P .ISFjIdF/ P .IdF/
0:05 0:20
D
D 0:3333 D 33:33 %
P .ISF/
0:03
Un tiers des foyers fiscaux soumis à l’ISF est situé en Ile-de-France.
Exercice II (20 min, 4 points)
Les primes de fin d’année accordées aux employés d’un grande entreprise sont uniformément réparties de 500 € à
1500 €. On note X la variable aléatoire donnant la prime d’un employé choisi au hasard.
1) D’après l’énoncé X suit une loi uniforme U.500; 1500/. (Cf cours pour représentation graphique.)
2) La prime moyenne perçue par les employés est E.X / D .1500
Var.X / D
500/2
.1500
12
500/=2 D 1000. L’écart-type est :
83 333:33 H) X p
83 333:33 288:675
3) La probabilité qu’un employé reçoive plus de 1200 € de prime est
Z
P .X > 1200/ D
1500
1200
1
1500
500
dt D
1500 1200
D 0:30
1500 500
La probabilité qu’un employé reçoive entre 750 et 1000 € est
1000
Z
P .750 6 X 6 1000/ D
1
1500
750
500
dt D
1000
1500
750
D 0:25
500
Exercice III (35 min, 5.5 points)
Pour a; b 2 R, on considère le couple de variables discrètes .X; Y / dont la loi est donnée dans le tableau suivant :
Y
X
0
1
0
1
a
1=3
b
1=6
1) On sait que la somme des probabilités est égale à 1. On trouve donc :
X
pij D 1 H) a C b C
1
1 1
C D 1 H) a C b D
3 6
2
2) La loi marginale de X est P .X D 0/ D a C b D 1=2 et P .X D 1/ D 1=2. On en déduit que X suit une loi de
Bernoulli B.1; 1=2/. D’où E.X / D 1=2 et Var.X / D 1=4.
3) On a
E.XY / D
X
ij
1
xij pij D
6
1
E.Y / D b C
6
1
E.X / E.Y / D
6
Cov.X; Y / D E.X Y /
1
1
1
bC
D
2
6
12
b
2
4) Les variables X et Y sont non-corrélées lors Cov.X; Y / D 0. On en déduit que b D 1=6 et a D 1=3.
5) Pour les valeurs de a et b trouvées à la question précédente, on vérifie que pij D pi pj . pour i; j D 0; 1.
Exercice IV (35 min, 5.5 points)
Durant les fêtes de fin d’année, le volume des ventes (en kilogrammes) de chocolats d’un artisan-chocolatier est en
moyenne de 400 Kg avec un écart-type de 50 Kg. On suppose que le volume des ventes X suit une loi normale.
1) Pour les fêtes 2012, l’artisan prévoit de produire 500 Kg de chocolats.
a) On sait que X ,! N .400; 50/. L’artisan répondra à la demande si sa production est supérieure à la demande.
Soit
P .X 6 500/ D P .X 6 .500
400/=50/ D P .X 6 2/ D 0:9772
b) L’artisant vendra toute sa production si elle est inférieure à la demande. D’où
P .X > 500/ D 1
P .X 6 500/ D 1
0:9772 D 0:0228
c) Pour qu’il répondre à la demande, il faut que X 6 500 et pour qu’il ne lui reste pas plus de 100 Kg d’invendus, il
faut que X > 400. Donc
P .400 6 X 6 500/ D P .X 6 500/
P .X 6 400/ D P .X 6 500/
P .X 6 0/ D 0:9772
0:500 D 0:4772
2) Pour répondre à la demande avec une probabilité de 0:99, il faut que la quantité produite Q vérifie
Q
P .X 6 Q/ D 0:99 ” P X 6
400
50
Donc Q D 400 C 2:33 50 D 516:5 Kg.
2
D 0:99 H)
Q
400
D z0:99 D 2:33
50