Chapitre 4 Potentiel électrique ∑

Chapitre 4
Potentiel électrique
Questions :
#1) Potentiel électrique et champ électrique :
a) Le potentiel électrique nul V = 0 en un point P n’impose aucune restriction sur la
valeur du champ électrique E . Consulter les figures 4.12 et 4.13 : le potentiel est
nul sur la ligne pointillée centrale de la figure 4.13 mais le champ est non-nul.
b) Le champ électrique nul E = 0 en un point P n’impose aucune restriction sur la
valeur du potentiel électrique V. Consulter les figures 4.14 et 4.15. Le champ est
nul entre les 2 charges (figure 4.14) mais le potentiel est non-nul (figure 4.15).
#3) Déplacement d’une charge dans un champ électrique, perpendiculaire aux
équipotentielles :
Équipotentielles
1
C
A
4
2
B
D
3
E
d
1. Si on se déplace directement de A vers B en « restant » toujours sur
l’équipotentielle, tout au long du trajet :
∑ Fext = 0 (car perpendiculaire au E )
→
Wext = 0
(car sur une même équipotentielle)
2. Mais si on se rend de A à B en passant par C et D :
i. De A à C : Fext ≠ 0 car on doit retenir la charge pour
qu’elle s’arrête au point C.
1
ii. De C à D : Fext = 0 car on déplace la charge
perpendiculairement au champ.
iii. De D à B : Fext ≠ 0 car on doit pousser la charge pour
qu’elle remonte vers le point B.
iv. Pour le trajet total:
• ∑ Fext ≠ 0
• Wext = WA→C + WC → D + WD → B = − q Ed + 0 + q Ed = 0
#8) Non. Voici un objet métallique constitué de 2 sphères reliées par un fil :
σ2
V1
σ1
R2
R1
V2
V1 = V2
k Q1 k Q2
=
R1
R2
σ 1 4π R12
R1
=
σ 2 4π R22
R2
⇒
σ 1 R2
=
σ 2 R1
Les rayons ne sont pas les mêmes, donc les densités surfaciques de charges sont
différentes.
#10) En suivant une ligne de champ gravitationnel ou électrique, la valeur du potentiel
décroît.
2
#12) Un anneau circulaire de rayon R et portant Q uniformément répartie. On déplace la
charge ponctuelle –q du point A au point B :
-q
•A
•B
Q
a) Le potentiel électrique augmente sur le trajet puisqu’on remonte la ligne de
champ électrique.
b) L’énergie potentielle diminue puisqu’on retient la charge ( Wext négatif ) :
∆U = q
( −)
∆V
(+)
→
∆U (−)
#13) Oui en demeurant sur une même équipotentielle tout au long du trajet.
#14) Les équipotentielles sont des cylindres infinis entourant le fil.
#15) Coquille métallique :
a) Vcentre = Vsurface = 70V car le champ électrique est nul dans la coquille
0 cm
∆V =
∫
0 E i ds = 0 = Vsurface − Vcentre ⇒
Vcentre = Vsurface = 70Vsurface
10 cm
b) E = 0 (déjà validé par le théorème de Gauss au chapitre précédent)
#16) Deux sphères qu’on met en contact :
σ2
E1
Q1
σ1
V1
E2
Q2
2R
R
V2
3
a) Comme ce sont des conducteurs, nécessairement les potentiels électriques sont
identiques :
V1 = V2
k Q1 k Q2
=
R
2R
σ 1 4π R 2 =
σ 2 4π ( 2 R )
2
→
2
σ1
=2
σ2
⇒ σ 1 = 2σ 2
b) Des potentiels :
V1 = V2
k Q1 k Q2
=
R
2R
Q2 = 2Q1
⇒
c) Potentiels identiques :
V1 = V2
d) Des potentiels :
V1 = V2
E1 R = E2 2 R
⇒
E1 = 2 E2
Exercices :
#1)
Foudre:
Q = 30C
∆V = 1×108 V
a) Énergie potentielle électrique :
∆U = Q ∆V = 30 ×108 J = 1,88 ×1028 eV
b) Ampoule de 60W :
60W = 60
J
s
Donc :
60 J
30 ×10 J
8
→
1s
→
?s
5 ×107 s = 1,58an
4
#3) Déplacer une charge :
Wext = 4 ×10−7 J
q = −5nC
v = cste
VA = ?
VB = −20V
∆V = VB − VA =
Wext 4 ×10−7 J
=
= −20V − VA
q
−5nC
⇒ VA = 60, 0V
#4) Champ électrique :
E = −180 N
C
k
a) Différence de potentiel :
B
B
∆V = VB − VA = − ∫ E i ds = − ∫ E ds cos θ
A
A
−1
B
= E ∫ ds = E (15cm − 5cm )
A
⇒ ∆V = E ⋅ 0,1m = 18, 0V
b) Distance selon l’axe des z :
−1
∆V = 27V = − E i s = − Ed cos180°
⇒ d = 15, 0cm (en suivant l ' axe des z +, en sens inverse des lignes de E )
#5) Champ électrique :
E = ( 2x i − 3 y2 j ) N
C
rA = ( i − 2 j ) m
rB = 2 i + j + 3 k m
(
)
B
2i
∆V = VB − VA = − ∫ E i ds = − ∫ Ex i dx −
i
A
2m
1
∆V = − ∫ 2 x ⋅ dx ( i i i ) −
1m
1m
∫
−2 m
j
∫
−2 j
3k
0 E y i dy − ∫ Ez i dz
0
1
−3 y 2 ⋅ dy ( j i j ) = − x 2 |12 + y 3 |1−2
∆V = {−4 − ( −1)}V + {1 + 8}V = 6, 00V
5
#7) Électron dans un champ uniforme:
q = −e = −1, 602 ×10−19 C
m = 9,109 ×10−31 kg
v0 = 0
a) Différence de potentiel avec v = 330 m s :
0
1 2 1
mv − m v02 = 4,96 ×10−26 J = 3,10 ×10−7 eV
2
2
∆U = q ∆V = −e ∆V = −∆K = −3,10 ×10−7 eV
∆K =
↑
↑
−7
− e ∆V = − 3,10 × 10 eV
⇒
∆V = 3,10 ×10−7 V
b) Différence de potentiel avec v = 11, 2 km s :
0
1 2 1
mv − m v02 = 5, 71×10−23 J = 3,57 ×10−4 eV
2
2
∆U = q ∆V = −e ∆V = −∆K = −3,57 × 10−4 eV
∆K =
↑
↑
−4
− e ∆V = − 3,57 × 10 eV
⇒
∆V = 3,57 × 10−4V
c) Différence de potentiel avec v = 0,1c = 3 × 107 m s :
0
1 2 1
mv − m v02 = 4,10 ×10−16 J = 2,56 × 103 eV
2
2
∆U = q ∆V = −e ∆V = −∆K = −2,56 ×103 eV
∆K =
↑
↑
− e ∆V = − 2,56 ×103 eV
⇒ ∆V = 2,56 kV
#8) Même chose que le #7, avec un proton :
q=e
m = 1, 673 ×10−27 kg
v0 = 0
6
a) Différence de potentiel avec v = 330 m s :
0
1 2 1
mv − m v02 = 9,11×10−23 J = 5, 68 ×10−4 eV
2
2
∆U = q ∆V = e ∆V = −∆K = −5, 68 ×10−4 eV
∆K =
↑
↑
−4
e ∆V = −5, 68 × 10 eV
⇒
∆V = −5, 68 ×10−4V
b) Différence de potentiel avec v = 11, 2 km s :
0
1 2 1
mv − m v02 = 1, 05 × 10−19 J = 0,655eV
2
2
∆U = q ∆V = e ∆V = −∆K = −0, 655eV
∆K =
↑
↑
e ∆V = −0, 655 eV
⇒
∆V = −0, 655V
c) Différence de potentiel avec v = 0,1c = 3 × 107 m s :
0
1 2 1
mv − m v02 = 7,53 ×10−13 J = 4, 70 × 106 eV
2
2
∆U = q ∆V = e ∆V = −∆K = −4, 70 ×106 eV
∆K =
↑
↑
e ∆V = −4, 70 ×10 eV
6
⇒
∆V = −4, 70 ×106 V
#11) Travail extérieur:
q = −2 µC
VA = −5V
VB = −15V
Wext = q∆V = q ⋅ (VB − VA ) = −2µ C ⋅ ( −15V + 5V ) = 20, 0 µ J
7
#12) Trajet dans un champ électrique uniforme:
E = 600 V
m
i
d = 0, 04m
q = −3µC
a) Différence de potentiel:
∆V = (VB − VA ) = + Ed = 24, 0V
b) Variation d’énergie potentielle:
∆U = q∆V = q ⋅ (VB − VA ) = −3µC ⋅ 24V = −72, 0 µ J
#13) Charge ponctuelle dans un champ électrique uniforme :
q = 8µ C
d = 0, 05m
E=E i
Fq = 2, 4 ×10−2 N i
F = qE
⇒
→
E = 3000 V
m
i
∆V = + Ed = 150V
#16) 2 plaques conductrices:
σ
E =σ
−σ
ε0
q
•
d
8
q = −e
∆V = 120V
d = 0, 03m
a) Champ électrique:
∆V = + Ed = 120V
⇒
E = 4000 V
m
b) Travail fait par la force électrique est contraire au travail extérieur ou à la
différence d’énergie potentielle:
WFélectrique = −∆U = −q∆V = − ( −e ) ∆V = 120 eV = 1,92 ×10−17 J
c) Différence de potentiel sur le trajet de l’électron:
∆V = 120V
d) Variation de l’énergie potentielle de l’électron:
∆U = q∆V = −e ⋅120V = −120 eV = −1,92 ×10−17 J
#17) Particule accélérée:
m = 2 ×10−5 kg
q = −15µ C
∆V = −6000V
v0 = 0
v = 400 m i
s
∆K = 1, 6 J
Le travail net représente la somme de tous les travaux (fait par chacune des
forces) appliqués sur la particule :
WNET = WFext + WFélectrique = ∆K = 1, 6 J
WFext = Wext = ∆K − WFélectrique
Wext = ∆K + ∆U = ∆K + q ∆V = 1, 69 J
9
#18) Plaque infinie avec V = 0 en x0 et σ = 7 nC
m2
V=?
σ
E=
2ε 0
s
x
−∞
σ
x0
∞
a) On fait un trajet de x0 (où on a fixé une valeur de référence) à x :
1
σ
∆V = VB − VA = − ∫ E i ds = − ∫ E ds cos θ = − ∫ E dx = − ∫
dx
2ε 0
A
A
x0
x0
B
0
B
x
∆V = Vx − Vx0 = − ∫
x0
x
x
σ
σx x σ
dx = −
|x =
( x0 − x )
2ε 0
2ε 0
2ε 0
0
b) On veut un trajet où on mesurera une différence de potentiel de 20V :
∆V = 20V = −
σ
σ
( x − x0 ) = − ∆x
2ε 0
2ε 0
⇒
∆x = −5, 06cm i
#19) Déplacement dans un champ électrique uniforme (voir la figure 4.37) :
E = 400 V
a)
m
à − 37° = E cos 37° i − E sin 37° j = ( 319 i − 241 j ) V
Différence de potentiel pour le trajet entre A et B :
s = 0, 03m i
0
∆V = VB − VA = − E i s = − Ex ∆x + E y ∆y = − 319 V
(
b)
) (
m
m
Différence de potentiel pour le trajet entre C et B :
s = −0, 03m j
0 
∆V = VB − VC = − E i s = − Ex ∆x + E y ∆y = −  241V ⋅ 0, 03m
m

(
)
)
1
⋅ 0, 03m ( i i i ) = −9,57V
(( − j ) i ( − j ))
10
1

 = −7, 23V

#20) Particule ralentie
m = 9,109 × 10−31 kg
q = −e = −1, 602 ×10−19 C
E uniforme (= cste)
d = 0, 003m i
v0 = 8 ×106 m i
s
∆K = −2,5 × 10−17 J = −156eV
6 m
v = 3 × 10
i
s
a) La différence de potentiel :
∆E = ∆K + ∆U = 0
∆U = −∆K
∆U = q ∆V = −∆K
↑
∆V =
↑
−∆K −∆K 156 eV
=
=
= −156V
q
−e
−e
b) Le champ électrique :
∆V = − E i s = − E d cos 0°
⇒
E = 52, 0 kV
m
i
#22) Un noyau, initialement au repos, se scindant en 2 parties. L’énergie potentielle est
transformée en énergie cinétique:
q1 = 48e
q2 = 44e
r0 = 7 ×10−15 m
r=∞
∆E = ∆K + ∆U = 0
(
0
)
∆K = −∆U = − U ∞ − U r0 =
k q1q2
= 6,97 ×10−11 J
r0
11
#23) Configuration de charges de la figure 4.38:
q1 = 2 µ C
q2 = 4 µ C
q3 = −3µ C
a) Potentiel au point complétant le carré :
V = V1 + V2 + V3 =
4
3 
k q1 k q2 k q3 k ⋅1µ C  2
+
−
=
+
−
= 4,11×105V

r1
r2
r3
1m  0, 04 0, 057 0, 04 
b) Variation d’énergie potentiel pour une 4ième charge qu’on déplace de l’infini
jusqu’au point identifié précédemment :
(
∆U = q4 ∆V = q4 VP − V∞
0
) = −0,822J
c) L’énergie potentielle du carré de charges :
U = U12 + U13 + U14 + U 23 + U 24 + U 34
U=
k q1q2 k q1q3 k q1q4 k q2 q3 k q2 q4 k q3q4
+
+
+
+
+
r12
r13
r14
r23
r24
r34
k ⋅1×10−12 C 2  8 6 4 12 8 6 
U=
−
− − −
+
= −2, 68 J
1×10−2 m  4 5, 7 4 4 5, 7 4 
#25) Deux charges Q = 5µC de signe opposé séparées de 4m :
Q
A
B
-Q
4m
0m
1m
dr
1m
r
a) Trajet de A à B :
•
Équation du champ en n’importe quel endroit r sur la région centrale
de l’axe reliant les deux charges :

kQ  1
kQ
1


E = E1 + E2 = 2 i +
i
=
k
Q
i
+
2
 r 2 ( 4m − r ) 2 
r
( 4m − r )


12
•
Différence de potentiel :
B
B
B
1
∆V = VB − VA = − ∫ E i ds = − ∫ E ds cos θ = − ∫ E dr
A
A
A
r =3 m
 dr

dr
1 
 1
∆V = − ∫ k Q  2 +
= − k Q − +

2
( 4m − r ) 
A
 r
 r ( 4 − r ) r = 2 m
2
∆V = −kQ   = −30, 0 kV
3
B
•
Différence de potentiel (plus simple) :
 kQ kQ 
∆V = VB − VA = 
−
−
 3m 1m 
0
2k Q
 kQ kQ 
−
= −30, 0 kV

 =−
3
 2m 2m 
b) L’énergie potentielle est transformée en énergie cinétique :
m = 0,3 × 10−3 kg
q = 2µ C
v0 = 0
∆K =
⇒
0
1 2 1
mv − m v02 = −∆U = −q ∆V = 0, 06 J
2
2
v = 20, 0 m i
s
#26) Configuration de charges de la figure 4.40
a) Différence de potentiel entre A et B :
kQ kQ 2kQ
+
=
5m 5m 5m
kQ kQ 2kQ
VB = V1 + V2 =
+
=
3m 3m 3m
2kQ 2kQ 4kQ
VB − VA =
−
=
= 12, 0 kV
3m
5m 15m
VA = V1 + V2 =
b) Charge en mouvement :
m = 3 × 10−8 kg
q = −5µ C
v0 = 0
13
∆K =
⇒
0
1 2 1
mv − m v02 = −∆U = −q ∆V = 0, 06 J
2
2
v = −2, 00 km j
s
#28) Avec deux charges de signes opposés et de valeurs différentes, on peut identifier
deux endroits (autour de la charge la plus faible) où le potentiel est nul.
a)
d2
d1
•
4Q
-Q
0m
1m
Position dans la région centrale :
4kQ
kQ
∑V = V1 + V2 = (1m − d ) − d = 0
1
1
4 kQ
(1m − d1 )
=
kQ
d1
4d1 = 1m − d1
•
→
d1 = 0, 2m
x = 0,800m i
⇒
Position dans la région à droite :
4kQ
kQ
∑V = V1 + V2 = (1m + d ) − d = 0
2
2
4 kQ
(1m + d 2 )
=
kQ
d2
4d 2 = 1m + d 2
→
d2
d1
d 2 = 0,333m
⇒
x = 1,33m i
b)
4Q
-9Q
0m
1m
14
•
Position dans la région centrale :
4kQ
9kQ
∑V = V1 + V2 = d − (1m − d ) = 0
1
1
4 kQ
d1
=
9 kQ
(1m − d1 )
4 (1m − d1 ) = 9d1
•
→
d1 =
4
m
13
⇒
x = 0,308m i
⇒
x = −0,800m i
Position dans la région à gauche :
4kQ
9kQ
∑V = V1 + V2 = d − (1m + d ) = 0
2
2
4 kQ
d2
=
9 kQ
(1m + d 2 )
4 (1m + d 2 ) = 9d 2
→
d2 =
4
m
5
#31) Configuration de 2 charges ponctuelles de la figure 4.43
Q1 = −4µ C
Q2 = 6 µ C
r1 = 0, 07 m
r2 = 0, 05m
q = 2µ C
a) Le potentiel à l’origine :
V( 0,0) = V1 + V2 =
kQ1 kQ2
6µ C 
 4µC
5
+
= k −
+
 = 5, 66 × 10 V
r1
r2
 0, 07 m 0,05m 
b) Le travail extérieur pour amener q de l’infini jusqu’à l’origine :
(
Wext = q ∆V = q V( 0,0) − V∞
0
) = 1,13J
15
#34) Configuration de 3 charges ponctuelles de la figure 4.44 :
q1 = 6 µ C
q2 = −2 µ C
q3
r1 = 0, 03m
r2 = 0, 025m
r3 = 0, 025m
On cherche la valeur que doit prendre q3 pour obtenir une valeur précise de
potentiel à l’origine.
a) On veut un potentiel nul à l’origine :
V( 0,0) = V1 + V2 + V3 =
⇒
q3 
kq1 kq2 kq3
2µC
 6µC
+
+
=k
−
+
=0
r1
r2
r3
 0, 03m 0, 025m 0, 025m 
q3 = −3, 00µ C
b) On veut un potentiel de -400kV à l’origine :
V( 0,0) = V1 + V2 + V3 =
⇒
q3 
kq1 kq2 kq3
2µ C
 6µ C
+
+
=k
−
+
 = −400kV
r1
r2
r3
 0, 03m 0, 025m 0, 025m 
q3 = −4,11µ C
#39) On se place initialement à 1m d’une charge ponctuelle q :
V+1V
2nC
V
V-1V
1m
0m
d1
d2
a) On cherche la distance d1 de l’emplacement initial qui permettra de mesurer
un potentiel de 1V plus élevé :
∆V = V(1m − d1 ) − V1m = +1V =

1
1 
1V = kq 
− 
 (1m − d1 ) 1m 
d1
1V
=
→
kq (1m − d1 )
kq
kq
−
(1m − d1 ) 1m
d1 = 5, 26cm
⇒
x = 94, 7cm i
16
b) On cherche la distance d2 de l’emplacement initial qui permettra de mesurer
un potentiel de 1V plus faible :
kq
kq
∆V = V(1m + d2 ) − V1m = −1V =
−
(1m + d 2 ) 1m

1
1 
−1V = kq 
− 
 (1m + d 2 ) 1m 
−
− d2
1V
=
kq (1m + d 2 )
→
d 2 = 5,88cm
⇒
x = 1, 059m i
#43) Un anneau (1 dimension) avec une charge Q et un rayon a. On veut le potentiel à
une hauteur y sur son axe central :
P
y
r
dq
a
a) On découpe l’anneau en morceaux dq :
Q
V =∫
k dq k
kQ
kQ
= ∫ dq =
=
1
r
r0
r
( a2 + y2 ) 2
b) On trouve l’équation du champ en dérivant l’expression du potentiel en
fonction de la variable y :
−3  −1
 −1
dV d
E=−
j =−
kQ ( a 2 + y 2 ) 2 j = − kQ  ⋅ 2 y ⋅ ( a 2 + y 2 ) 2  j
dy
dy
 2

kQ y
E=
j
3
2
2
2
(a + y )
{
}
17
#44) Sphère conductrice avec la valeur du champ disruptif à sa surface :
Edisruptif = 3 ×106 N
C
kQ
R2
kQ
V=
=ER
R
E=
a) Trouver V si R = 0, 01mm :
V = E R = 30, 0V
b) Trouver V si R = 0, 01m :
V = E R = 30 000V
c) Trouver V si R = 1m :
V = E R = 3, 00 × 106 V
#46) Deux coquilles métalliques concentriques :
E
Q +
-
b
−2Q
+
-
-
+
a
r
+
+
+
-
+
-
-
18
•
Pour la petite coquille :
o De r = 0 à r = a
Vint érieur = Vde sa surface =
kQ
a
o De r = a à r = ∞
kQ
V petite coquille =
r
•
Pour la grande coquille :
o De r = 0 à r = b
Vint érieur = Vde sa surface = −
2kQ
b
o De r = b à r = ∞
2kQ
Vgrande coquille = −
r
a) Dans la région r < a , E = 0 :
V = V petite coquille + Vgrande coquille =
kQ 2kQ
1 2
−
= kQ  − 
a
b
a b
kQ ur :
r2
kQ 2kQ
1 2
=
−
= kQ  − 
r
b
r b
b) Dans la région a < r < b , E =
V = V petite coquille + Vgrande coquille
kQ ur :
r2
kQ 2kQ
kQ
=
−
=−
r
r
r
c) Dans la région r > b , E = −
V = V petite coquille + Vgrande coquille
d) Ne pas faire
19
#48) Deux charges ponctuelles sur l’axe y :
y
P
Q
a
x
a
Q
a) On cherche l’expression du potentiel au point P :
 y + a + y − a 
kQ
kQ
+
= kQ 

( y − a) ( y + a)
y2 − a2


2kQ y
= 2
y − a2
V( y ,0 ) = V1 + V2 =
⇒
V( y )
(
(
)
)
b) On trouve l’équation du champ en dérivant l’expression du potentiel en
fonction de y :
−1 dV d
E=−
j =−
2kQ y ( y 2 − a 2 ) j = −2kQ
dy
dy
{
}
{( y − a )
2
2 −1
− y ⋅ 2 y ⋅ ( y2 − a2 )
−2
 ( y 2 − a 2 ) − 2 y 2  2kQ ( y 2 + a 2 ) 

E = −2kQ 
j
j=
2
2 2
2
2 2
y
−
a
y
−
a
 (
) 
(
)
20
} j
#50) Une sphère pleine isolante de rayon R et portant une charge Q uniformément
répartie dans son volume :
kQ ( 3R 2 − r 2 )
V( r ) =
2R3
Pour obtenir l’équation du champ, on dérive l’expression ci-dessus en fonction de r
2
2
dV d  kQ ( 3R − r )  kQ
E=−
ur = − 
 ur = − 3 {0 − 2r} ur
3
dr
dr 
2R
2R


2 kQ r kQ r ur = 3 ur
E=
R
2 R3
#53) Lorsque le potentiel varie selon plusieurs dimensions, il faut effectuer les dérivées
partielles. On dérive selon une variable en considérant les autres constantes :
δV δV δV E=−
i−
j−
k = − ( 6 x 2 y − 3 y 2 z ) i − ( 2 x3 − 6 xyz + 5 z 3 ) j − ( −3xy 2 + 15 yz 2 ) k
δx
δy
δz
Problèmes :
#2) Un disque troué porte une charge uniformément répartie :
σ
dq
σ=
a
Q
Q
dq
dq
=
=
=
2
2
S π ( b − a ) dS 2π x dx
⇒
dq = 2π σ x dx
dx
x
b
21
À une hauteur y sur l’axe central (axe sortant de la feuille) :
r = x2 + y 2
V =∫
k dq
2πσ x dx
x dx
= k∫
= 2π k σ ∫
= 2π k σ
r
x2 + y2
x2 + y2
a
a
b
V = 2π k σ
{
b
b2 + y 2 − a 2 + y 2
x 2 + y 2 |ba
}
#5) Sphère entourée d’une coquille :
Q1 +
-
R2
−Q2
+
R1
-
-
+
r
+
+
+
+
-
•
Pour la petite sphère :
o De r = 0 à r = R1
V petite sphère = Vde sa surface =
kQ1
R1
o De r = R1 à r = ∞
kQ
V petite sphère = 1
r
•
Pour la grande coquille :
o De r = 0 à r = R2
Vgrande coquille = Vde sa surface = −
kQ2
R2
22
o De r = R2 à r = ∞
kQ
Vgrande coquille = −
r
a) Dans la région r ≤ R1 :
V1 = V petite sphère + Vgrande coquille =
Q Q 
kQ1 kQ2
−
=k 1 − 2 
R1
R2
 R1 R2 
b) Sur la coquille r = R2 :
V2 = V petite sphère + Vgrande coquille =
kQ1 kQ2
k
−
= ( Q1 − Q2 )
R2
R2
R2
c) V1 − V2 :
Q Q 
Q Q 
1 1 
V1 − V2 = k  1 − 2  − k  1 − 2  = kQ1  − 
 R1 R2 
 R2 R2 
 R1 R2 
d)
V1 = V2 :
V1 = V2
Q Q 
Q Q 
k 1 − 2  = k 1 − 2 
 R1 R2 
 R2 R2 




Q1
R1
=
Q1
R2
⇒ si R1 = R2 ou
Q1 = 0
23
#7) Un long fil coaxial :
ds
a
r
b
E
L
λ
−λ
a) Différence de potentiel
De A (le fil au centre) à B (la gaine)
1
2k λ
∆V = V( b) − V( a ) = − ∫ E i ds = − ∫ E ds cos θ = − ∫ E ds = − ∫ E dr = − ∫
dr
r
A
A
A
a
a
B
B
B
b
b
( a)
∆V = −2k λ ( ln b − ln a ) = −2k λ ln b
b) Le champ sur la surface du fil central :
( a)
∆V = 800V = 2k λ ln b
→
λ = 6, 61 nC m
2k λ E=
ur = 3,97 ×106 V ur
m
a
#8) Une tige uniformément chargée :
a) Trouver l’expression du potentiel au point P
L
λ
P
dq
r
dr
24
λ=
Q dq
=
L dr
dq = λ dr
⇒
x+ L
{ (
) (
2
k dq
dr
= kλ ∫
= k λ ln x + L − ln x − L
V =∫
2
2
r
r
x−L
)}
2
L
k Q  x + 2 
V=
ln
L  x−L 

2
b) Trouver l’expression du potentiel au point P
P
r
y
L
λ
dq
l
dl
λ=
Q dq
=
L dl
⇒
dq = λ dl
L
2
k dq
V =∫
= kλ ∫
r
−L
2
L
dl
l2 + y2
2
= 2k λ ∫
L
L2 + y 2
2k Q  2 +
4
ln 
V=
L
y


0
dl
l 2 + y2
= 2k λ ln l + l 2 + y 2
L
2
0





25