Chapitre 4 Potentiel électrique ∑

1
d
Équipotentielles
B
A
E
C
D
4
3
2
1
Chapitre 4
Potentiel électrique
Questions :
#1) Potentiel électrique et champ électrique :
a) Le potentiel électrique nul
0
V
=
en un point P n’impose aucune restriction sur la
valeur du champ électrique
E
. Consulter les figures 4.12 et 4.13 : le potentiel est
nul sur la ligne pointillée centrale de la figure 4.13 mais le champ est non-nul.
b) Le champ électrique nul
0
E
=
en un point P n’impose aucune restriction sur la
valeur du potentiel électrique V. Consulter les figures 4.14 et 4.15. Le champ est
nul entre les 2 charges (figure 4.14) mais le potentiel est non-nul (figure 4.15).
#3) Déplacement d’une charge dans un champ électrique, perpendiculaire aux
équipotentielles :
1. Si on se déplace directement de A vers B en « restant » toujours sur
l’équipotentielle, tout au long du trajet :
0 ( )
0 ( )
ext
ext
F car perpendiculaire au E
W car sur une même équipotentielle
=
→ =
∑
2. Mais si on se rend de A à B en passant par C et D :
i. De A à C :
0
ext
F
≠
car on doit retenir la charge pour
qu’elle s’arrête au point C.

2
1
σ
R
2
2
σ
R
1
V
2
V
1
ii. De C à D :
0
ext
F
=
car on déplace la charge
perpendiculairement au champ.
iii. De D à B :
0
ext
F
≠
car on doit pousser la charge pour
qu’elle remonte vers le point B.
iv. Pour le trajet total:
•
0
ext
F
≠
∑
•
0 0
ext A C C D D B
W W W W q Ed q Ed
→ → →
= + + = − + + =
#8) Non. Voici un objet métallique constitué de 2 sphères reliées par un fil :
1 2
V V
k
=
1
1
Q k
R=
2
2
1
4
Q
R
σ π
2
1
R
1
R
2
4 σ π
=
2
2
R
2
R
1 2
2 1
R
R
σσ
⇒=
Les rayons ne sont pas les mêmes, donc les densités surfaciques de charges sont
différentes.
#10) En suivant une ligne de champ gravitationnel ou électrique, la valeur du potentiel
décroît.

3
B
-q
Q
A
•
•
1
σ
2R
2
σ
R
V
2
V
1
1
E
2
E
Q
1
Q
2
#12) Un anneau circulaire de rayon R et portant Q uniformément répartie. On déplace la
charge ponctuelle –q du point A au point B :
a) Le potentiel électrique augmente sur le trajet puisqu’on remonte la ligne de
champ électrique.
b) L’énergie potentielle diminue puisqu’on retient la charge (
ext
W négatif
) :
U q∆ =
( )
V
−
∆
( )
( )
U
+
→ ∆ −
#13) Oui en demeurant sur une même équipotentielle tout au long du trajet.
#14) Les équipotentielles sont des cylindres infinis entourant le fil.
#15) Coquille métallique :
a)
70
centre surface
V V V
= = car le champ électrique est nul dans la coquille
V E∆ =
00
10
0 70
cm
surface centre centre surface surface
cm
ds V V V V V= = − ⇒= =
∫
i
b)
0
E
=
(déjà validé par le théorème de Gauss au chapitre précédent)
#16) Deux sphères qu’on met en contact :

4
a) Comme ce sont des conducteurs, nécessairement les potentiels électriques sont
identiques :
1 2
V V
k
=
1
Q
Rk
=
2
2Q R
1
4 σ π
2
R
2
4 σ π
=2R
( )
2
11 2
2
2 2
2
σσ σ
σ
→ = ⇒=
b) Des potentiels :
1 2
V V
k
=
1
Q
Rk
=
2
2Q R
2 1
2Q Q⇒=
c) Potentiels identiques :
1 2
V V
=
d) Des potentiels :
1 2
1
V V
E R
=
2
2E R=
1 2
2E E⇒=
Exercices :
#1) Foudre:
8
30
1 10
Q C
V V
=
∆ = ×
a) Énergie potentielle électrique :
8 28
30 10 1,88 10
U Q V J eV
∆ = ∆ = × = ×
b) Ampoule de 60W :
7
8
60 60
:
60 1 5 10 1,58
30 10 ?
J
Ws
Donc
J s s an
J s
=
→× =
× →

5
#3) Déplacer une charge :
7
4 10
5
?
20
ext
A
B
W J
q nC
v cste
V
V V
−
= ×
= −
==
= −
7
4 10 20
5
60,0
ext
B A A
A
WJ
V V V V V
q nC
V V
−
×
∆ = − = = = − −
−
⇒=
#4) Champ électrique :
180 N
E k
C
= −
a)
Différence de potentiel :
cos
B
B A A
V V V E ds E ds θ ∆ = − = − = −
∫
i
(
)
115 5
0,1 18,0
B B
A A
E ds E cm cm
V E m V
−= = −
⇒∆ = ⋅ =
∫ ∫
b) Distance selon l’axe des z :
27 cos180V V E s Ed∆ = = − = − ° i
1
15,0 ( ' , )
d cm en suivant l axe des z en sens inverse des lign
es de E
−
⇒= +
#5) Champ électrique :
(
)
( )
( )
2
2 3
2
2 3
A
B
N
E xi y j
C
r i j m
r i j k m
= −
= −
= + +
2
2
j
B i
B A x y z
A i j
V V V E ds E dx E dy E
−
∆ = − = − = − − −
∫ ∫ ∫
i i i
( )
30
0
2
k
dz
V x dx i i∆ = − ⋅
∫
i
i
( )
212
1
3
m
m
y dy j j− − ⋅
∫
i
( )
{ }
{ }
11
2 2 3 1
1 2
2
| |
4 1 1 8 6,00
m
m
x y
V V V V
−
−
= − +
∆ = − − − + + =
∫