CONFIGURATIONS du PLAN (théorèmes importants) 1.Le triangle

CONFIGURATIONS du PLAN
(théorèmes importants)
1.Le triangle: droites et points remarquables
Hauteurs et orthocentre
Définition: Une hauteur est une
droite passant par un sommet et
perpendiculaire au côté opposé.
Propriété: Les hauteurs d'un
triangle sont concourrantes en
un point H, appelé orthocentre
du triangle.
(AH) hauteur ⇔ (AH)⊥(BC)
H orthocentre ⇔ H point
d'intersection de 2 hauteurs
Médianes et centre de gravité
Définition: Une médiane est
une droite passant par un
sommet et le milieu du côté
opposé.
Propriété1: Les médianes d'un
triangle sont concourrantes en
un point G, appelé centre de
gravité du triangle.
Propriété2: G est situé au deux
tiers en partant du sommet sur
chaque segment de médiane.
() médiane issue de A⇔
()passe par le milieu de [BC]
G centre de gravité ⇔ G point
d'intersection de 2 médianes.
AG=2
3AA'
BG=2
3BB '
CG=2
3CC '
Médiatrices et centre du cercle circonscrit
Définition1: La médiatrice d'un
segment est la droite
perpendiculaire à ce segment en
son milieu..
Définition2: La médiatrice d'un
segment est l'ensemble des points
équidistants des extrimités du
segment.
Propriété: Les médiatrices d'un
triangle sont concourrantes en un
point O qui le centre du cercle
circonscrit au triangle.
() médiatrice de [AB]
⇔
{
 passe par C ' milieu de[AB ]
⊥ AB
C ∈ () médiatrice de [AB]
⇔ = .CA CB
Bissectrices et centre du cercle inscrit
Définition: la bissectrice d'un
angle est la droite qui partage
cet angle en deux angles égaux.
Propriété: Les bissectrices d'un
triangle sont concourrantes en
un point I qui le centre du
cercle inscrit dans le triangle.
Théorème des milieux
Théorème: le segment joignant
les milieux de deux côtés d'un
triangle est parallèle au 3ème
côté et a pour longueur la
moitié du 3ème côté.
Réciproque: La droite passant
par le milieu d'un côté et
parallèle à un deuxième côté
coupe le 3ème côté en son
milieu.
Dans le triangle ABC,
{
I = m [ AB ]
J = m [ BC ]
⇔
{
IJ ∥ BC
IJ =1
2
BC
{
I=m[AB ]
J∈AC 
IJ ∥BC 
⇔ J=m[AC]

2.Le théorème de Thalès
THALES
Théorème: Si
ABC
et
AMN
sont deux triangles tels que :
M est un point de (AB).
N est un point de (AC)
Les droites (BC) et (MN) sont
parallèles.
Alors
AM
AB =AN AC =MN BC
Réciproque: Si
ABC
et
AMN
sont deux triangles tels que :
M est un point de (AB).
N est un point de (AC)
Les points A,M et B et A,N,C sont
placés dans le même ordre.
Si
AM
AB =AN AC
alors les droites (MN)
et (BC) sont parallèles.
3.Triangle rectangle
Théorème de Pythagore
Théorème: Dans un triangle
rectangle, le carré de l'hypoténuse
est égal à la somme des carrés des
deux autres côtés
Réciproque: Si dans un triangle, le
carré du plus long côté est égal à la
somme des carrés des deux autres
côtés alors ce triangle est rectangle
ABC triangle rectangle en A
⇔
BC
2=
AC
2
AB
2
Diagonale du carré 
a 2
Hauteur triangle équilatéral 
a 3
2
Triangle rectangle et cercle
Théorème 1: un triangle ABC est
rectangle en A ⇔ il est inscrit dans un
demi-cercle de diamètre [BC].
T héorème 2: un triangle ABC est
rectangle en A ⇔ le segment de médiane
[AI] a pour longueur ½
BC
.
T héorème 3: un triangle ABC est
rectangle en A ⇔ le milieu I de [BC]est
le centre du cercle circonscrit au triangle
ABC.
Trigonométrie dans le triangle rectangle
cos =
côté adjacent
hypoténuse
=
AB
AC
sin =
côté opposé
hypoténuse
=
BC
AC
tan =
côté opposé
côté adjacent
=
BC
AB
cos2sin 2=1
et
tan = sin 
cos 
Valeurs remarquables à retenir ou à savoir retrouver avec les formules du tableau précédent.

4.Angles
4.1 Somme des angles
Dans un triangle  La somme des angles vaut 180 °
Dans un quadrilatère  La somme des angles vaut 360 °
4.2 Angles opposés par le sommet
Si deux droites sont sécantes en
O alors les angles opposés par
le sommet tels et sont
égaux
 et  opposés par le sommet
⇔
 = 
4.3 angles alterne-internes, correspondants
Deux droites
d
et
d '
sont coupées
par une troisième.
Les angles alterne-internes sont égaux
Les angles correspondants sont égaux
4.4 angles inscrits, angles au centre
Propriété: Dans un cercle, un
angle inscrit est égal à la moitié
de l'angle au centre qui
intercepte le même arc.
Conséquence: Deux angles
inscrits qui interceptent le
même arc sont égaux
AMB
=
1
2
AOB
AMB
=
ANB