CONFIGURATIONS du PLAN (théorèmes importants) Médiatrices et centre du cercle circonscrit Définition1: La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.. 1.Le triangle: droites et points remarquables Hauteurs et orthocentre Définition: Une hauteur est une droite passant par un sommet et (AH) hauteur ⇔ (AH)⊥(BC) perpendiculaire au côté opposé. Propriété: Les hauteurs d'un triangle sont concourrantes en un point H, appelé orthocentre du triangle. H orthocentre ⇔ H point d'intersection de 2 hauteurs { passe par C ' milieu de[ AB ] ⊥ AB C ∈ () médiatrice de [AB] ⇔ CA=CB. Propriété: Les médiatrices d'un triangle sont concourrantes en un point O qui le centre du cercle circonscrit au triangle. Bissectrices et centre du cercle inscrit Définition: la bissectrice d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Médianes et centre de gravité Définition: Une médiane est une droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé. () médiane issue de A⇔ ()passe par le milieu de [BC] Propriété1: Les médianes d'un triangle sont concourrantes en un point G, appelé centre de gravité du triangle. G centre de gravité ⇔ G point d'intersection de 2 médianes. Propriété2: G est situé au deux tiers en partant du sommet sur chaque segment de médiane. Définition2: La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrimités du segment. () médiatrice de [AB] ⇔ 2 AG= AA' 3 2 CG= CC ' 3 Propriété: Les bissectrices d'un triangle sont concourrantes en un point I qui le centre du cercle inscrit dans le triangle. Théorème des milieux 2 BG= BB ' 3 Théorème: le segment joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au 3ème côté et a pour longueur la moitié du 3ème côté. Réciproque: La droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un deuxième côté coupe le 3ème côté en son milieu. Dans le triangle ABC, I =m [ AB ]⇔ IJ ∥ BC IJ =1 BC J = m [ BC ] 2 { { { I = m[ AB ] J ∈ AC ⇔ J=m[AC] IJ ∥ BC 2.Le théorème de Thalès Triangle rectangle et cercle THALES Théorème: Si ABC et Théorème 1: un triangle ABC est rectangle en A ⇔ il est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [BC]. AMN sont deux triangles tels que : M est un point de (AB). N est un point de (AC) Les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Alors Théorème 2: un triangle ABC est rectangle en A ⇔ le segment de médiane [AI] a pour longueur ½ BC . AM AN MN = = AB AC BC Réciproque: Si ABC et Théorème 3: un triangle ABC est rectangle en A ⇔ le milieu I de [BC]est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. AMN sont deux triangles tels que : M est un point de (AB). N est un point de (AC) Les points A,M et B et A,N,C sont placés dans le même ordre. Si AM AN = AB AC Trigonométrie dans le triangle rectangle alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. 3.Triangle rectangle Théorème de Pythagore Théorème: Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés Réciproque: Si dans un triangle, le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle Diagonale du carré a 2 ABC triangle rectangle en A ⇔ 2 2 2 BC = AC AB Hauteur triangle équilatéral cos = côté adjacent hypoténuse sin = côté opposé hypoténuse tan = côté opposé côté adjacent = AB AC BC AC = = BC AB cos 2sin 2=1 et tan = sin cos Valeurs remarquables à retenir ou à savoir retrouver avec les formules du tableau précédent. a3 2 4.Angles 4.1 Somme des angles 4.4 angles inscrits, angles au centre Dans un triangle La somme des angles vaut 180 ° Dans un quadrilatère La somme des angles vaut 360 ° Propriété: Dans un cercle, un angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc. AMB = 1 AOB 2 4.2 Angles opposés par le sommet Si deux droites sont sécantes en O alors les angles opposés par le sommet tels et sont égaux et opposés par le sommet ⇔ = Conséquence: Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux 4.3 angles alterne-internes, correspondants Deux droites d et par une troisième. d ' sont coupées Les angles alterne-internes sont égaux Les angles correspondants sont égaux AMB = ANB