Formes modulaires et représentations l-adiques

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
P IERRE D ELIGNE
Formes modulaires et représentations `-adiques
Séminaire N. Bourbaki, 1968-1969, exp. no 355, p. 139-172
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Séminaire BOURBAKI
21e
année,
1968/69,
n~ 355
Février 1969
FORMES MODULAIRES ET
REPRÉSENTATIONS
Pierre
par
l-ADIQUES
DELIGNE
N° 1 - Introduction.
Soient
est à
On sait que la fonction 0394
parabolique
de
Posons, pour
H
P
D’après
se
en une
conjecture
absolue
Ces
+
Hecke,
p11 ~2 ~
la série de Dirichlet
fonction entière de
s r.~->
12 -
s
Ramanujan affirme
que les racines du
2p ~ 11 /9
propriétés, démontrées
et la fonction
s .
p 201411 ’ /9 (i.e. que
conjecturales
en
de
forme modulaire
pour le groupe
~~~ - ~ -
la théorie de
prolonge
près l’unique
premier,
p
est invariante par
La
12
poids
facteur constant
un
ou
conjecturales,
de tenter
Hp
sont de valeur
).
des fonctions zêta des variétés
première approximation,
polynôme
sont
similaires
aux
propriétés
algébriques sur Q . Ceci suggère,
d’interpréter
la fonction
L~,
comme
la fonc-
140
tion zêta d’une telle variété.
Pour
chaque nombre premier t, soit
ramifiée
dehors de l
en
bien défini à
vectoriel
ce
qui précède
terme de
en
pour chaque l , d’une
de rang
Wl
2
~p
relatif à
la
plus,
de
représentation
Weil,
cohomologie
représentation
telle que, pour
det(1 -
conjectures
l’inverse, dans
Fp
non
le groupe de
p . Ce dernier est
conjugaison près.
Traduisant
l’existence,
plus grande extension de Q
soit
et, pour
de l’élément de Frobenius
Galois
De
la
C~
et la
chaque
~-adique, Serre
de
a
conjecturé
dans un Q -
p1t,
on
ait
FpX ;
devrait être dans le
W~
conjecture
de
Ramanujan
champ d’application
un cas
particulier
de
des
ces
dernières.
Ce programme avait été mené à
~4~,
bien, par Xuga-Shimura
des formes modulaires relatives à certains sous-groupes à
SL2(R) .
Réduite
suivante :
des courbes
fibré itéré
si
E
est la courbe
elliptiques
k-uple
de
la fonction zêta de
On
explique
pointes,
présent, l’idée fondamentale
au cas
dans
Ek
ce
elliptique
(oublions qu’elle
E
elle-même
avec
pour
k = 10
qui suit
=
universelle
n’existe
sur
S , alors
du groupe
est la
Sato-Kuga-Shimura
le schéma de module
Ek
et si
LT(s)
est le
S
produit
est essentiellement
12 - 2 .
représentations
quées plus haut. Pour plus de détails historiques
[6 ].
analogue
quotient compact
sur
pas)
cas
comment résoudre les difficultés créées par les
et comment construire des
renvoie à Serre
de
dans le
W~
ayant les propriétés indi-
et pour des
applications,
on
Notations.
-
On
désigne
"à distance
finie", produit restreint, étendu
S
et, pour
ensemble de nombres
=~,
S
Pour
-
Si
ensemble,
-
-
On
on
désigne par G
.t’est
-
On
désigne
-
Le
signe D
N° 2 -
par
Une
propre et
(a)
est
une
Q
G
et
un
G .
multiplicatifs.
variété abélienne de dimension un,
en
particu-
n E Z ,
on
if
désigne par
sa
~
la clôture
algébrique de Q
dans
ou
C .
.
absence.
son
de Shimura.
sur un
elliptiques.
S-groupe ~, :
Le faisceau
schéma)
défini par
X
sur
les groupes additifs et
Cm
courbe elliptique
elliptique
faisceau
et
n-ième
fibres sont des courbes
courbe
le site étale d’un
le faisceau constant
espace
E
E
analytique complexe
f : E -~
plat d’espaces analytiques
seule loi de
(ou
marque la fin d’une démonstration
L’isomorphisme
(2.1)
Qp
pose
faisceau inversible et si
un
premiers, des corps
origine.
tensorielle
puissance
topologique
elliptique
on
nombres
A~ .
=
on
Ga
aux
l’anneau des adèles
Af .
P
pis
est un espace
désigne par
Si
Z
écrit
lier est munie d’une
-
P
peS
X
Une courbe
premiers,
x
=
S
lA f
A l’anneau des adèles de Q , par
par
Une courbe
-~
S
est
S , muni d’une section
elliptique
sur
E , dont l’unité soit
S
admet
la section
un
morphisme
e , dont les
une
e .
et une
A une
sont associés :
inversible ~
inversible ~ ~ dual
=
e*Q~/c . L’algèbre
On
a
de Lie relative
--~ w .
Lie (E)
est le
(b)
système
Le
T (E)
local de
R~f~Z .
2
local de
On posera
l’homologie
de
E
S ).
sur
définit
L’application .exponentielle
0
-~
-+
de sorte que la courbe
Le
système
et
R2
C
et
(définies
par
ne
dit
> 0
(sic)
1 Ai> 0
et
Z. Un
permis
s’il induit
-1
(sic)
les
sur
isomorphismes (de
R-vectoriel)
les orientations naturelles de
).
Un tel
homomorphisme
R2
entre
et
C
est déterminé par
et on posera
complexe déduite
Cet espace est muni de la structure
toriel
de la flèche 03B1 .
secondes.
respectent pas
Z2 ,
partir
canoniquement isomorphe à
l’ensemble des
e1A e~
restriction à
reconstitue à
est
sera
par
qui
0
-+
se
R2f.Z
local
puissances extérieures
Désignons
E
suite exacte de faisceaux de sections
une
E
-+
elliptique
entre x
isomorphisme
sa
(système
T Q (E~ - T Z (E~ ~ Q
et
=
Z-modules libres de rang
Au-dessus de cet espace,
complexe
de
on
son
inclusion dans le
dispose d’une suite
vec-
exacte
"universelle"
-~ 0 .
-~ E
PROPOSITION 2.2.-
(i)
Le foncteur
l’ensemble des classes
(ii)
et
l’espace analytique
Le foncteur
qui, à chaque espace analytique
d’isomorphie
d’isomorphismes
té par
o
a
-
qui,
de courbes
R~f~~ ~ Z2
(ce
elliptiques
dernier étant
muni de la courbe
à chaque espace
analytique
E
sur
permis)
S , associe
S , munies
est
représen-
elliptique universelle
S , associe l’ensemble des
Eo
classes
d’isomorphie de
R~f~2 ~ Z2 ,
représenté
est
,
courbes
elliptiques
par
l’espace analytique
X
(demi-plan
=
Poicaré).
de
(iii)
principal homogène de
est un espace
L’espace
groupe
G
m
X . 0
sur
On
peut
encore
(ii),
système
local de
commé l’ensemble des structures
X
regarder
Cet espace est, par
Le faisceau
cohomologie réelle
(filtration
La
de
EX
description
sur
Y
on
E
X ,
R~f,~R 0-.
est le faisceau de
et comme tel
s’insère dans
(ii)
associe
rend évidente
et à la courbe
SL2(Z)
o
y) .
classifiant les structures complexes
action à droite du groupe
f :
Choisissons
R~ -~
la flèche
C ,
q
Ex , dont
~2 . Soit
R~ .
le
cu
le
EX .
fonctorielle 2.2
sur
(2.3~
sur
une
cohomologie
suite exacte
Hodge)
SL2(Z)
Z2 -.~ R~ f,~Z ,
comme
canoniquement isomorphe à
est
analytique cohérent
de De Rham relative de
complexes
muni d’une courbe elliptique universelle
faisceau inversible associé à
(
S , munies d’un isomorphisme permis
sur
mod
une
~~" ~
sur
(x ,x ~
base
de
s ’ identifie à
X
est
Si
sur
on
une
elliptique
regarde
R2 ,
action à droite du groupe
on
E , munie de
X , muni de
met de même
en
évidence
une
(X,~2,uu,q~
.
de
repéré
R~
par
telle que
z =
x~ ~
0 . Un point
( Im(z~
>
0~
et
Ceci met
évidence
en
tivement à
trivialisation,
une
trivialisation,
cette
non
équivariante, de 03C9-1
de
section
une
03C9k
X . Rela-
sur
sur
est transformée
X
-1
un
par
on
a c
élément
dz
déduit que
est
de
équivariants
(2.4)
Soit
de volume
tifie à
F
opère
r
un
courbe
définissent donc
fixes
(2.5)
0
Dans le
courbe
EX
cas
-+
°
E
sans
SL2(R)-faisceaux
de
élément d’ordre fini et à quotient
moins
X. Le
(~
système
-~
X~r
w~
~
système
-~
sur
le groupe
un
l’espace quotient
nombre fini de
local
équivariant
X~r
points.
~~
sur
s’iden-
Le groupe
X,
équivariante
particulier où
elliptique
sur X.
sur
un
cu
isomorphisme
On sait alors que
lisse
-3 R2 ~R
sur
discret,
SL2(R) .
projective
0 -3 tu
sous
en
03A91X.
et
ainsi que la suite exacte
un
(x ,x ~ ~
dans la base
invariante
nulle et définit
sous-groupe
points
sans
non
du groupe
fini,
une
tu2
entre
(matrice
section de
une
Cette section est partout
GL+(~2~
r
c
-~ o
local
U
c~ ~ .~
o .
SL~(2~ ,
ces
et une suite exacte
structures sont déduites de la
d’image réciproque
la courbe
elliptique équivariante
(2.6)
(a)
points à l’infini
Les
Ils
correspondent
triviaux de
X/T
de
classes de
aux
r , maximaux parmi
décrivent
se
conjugaison,
comme
dans
les sous-groupes de
suit
r ,
r
(voir [9 ]) :
des sous-groupes
formés d’éléments
non
unipo-
tents.
(b)
Soit
fo
c r
un
tel sous-groupe et choisissons
telle que, dans cette
Soit
la
y
~z~Im(z~
partie
Pro
aux
par
avec
(2.3),
fonctions
(2.7)
disjointe
de
La fonction
disque épointé
prolonge
Sur
I" 0cet
0
q
ses
Il existe
N
conjuguées
pour tout
tel que
e203C0iz établit un isoe -203C0N . Si P est le point
q =
le
disque
isomorphisme s’étend
les sections de w
en une
X/T ,
on
isomorphisme 03C6 (2.3)
section inversible
de
X~r
sur
la section de
dispose
w
période
résulte que la flèche
un
qui prolonge
sur
w
io ,
X..
et
On
tel
s’iden-
désigne
qu’au voi-
définie par la fonction
sur
sur
des deux faisceaux
inversibles 01
entre les restrictions de ces faisceaux à
formule
dq -
isomorphisme d’un
invariantes par
sur
holomorphes périodiques
,
en un
p s q
le faisceau inversible
w
sinage d’une pointe
se
.
associé à
En vertu de
1
soit
R~
de
0
X/r
voisinage de
encore
X
(x1,x2).
.
de
tifient
de
(x 1 ,x2?
l’ensemble des matrices
comme
définie par
X
X/T .
et le
entre
_
sur
N)
>
représente
se
de sorte que
r,r
morphisme
F
(2.3)
la coordonnée
z
E
base,
base
une
2rtiq
dz
et
X/r .
ou ,
et d’un
De la
se
prolonge à
présente
et
DÉFINITION 2.8.- L’ espace
relatives
au
rt
groupe
un
zéro
des formes
est
simple
en
chacun des
automorphes paraboliques
de sections
l’espace
points à l’infini.
de
poids
k
2 ,
+
globales
@
En vertu de
bales
de 03C9k+2
(2.9)
(2.7),
système
U
flèche,
le
système
(i.e.
local
sur
(2.5)
U . La flèche
local
k : 03C9k
une
s’identifie encore à
qui s’annulent à l’infini
Désignons par
k-ième du
d’où
cet espace
système
par L
ni (~~
désignée
:
holomorphes
de
X~I’ ,
à coefficients
C
-~ 0
~3~ (Uk~~ -~ H~ (X~r ,
plus, l’espace
complexe naturelle,
6
sur
flèche
$ :
De
flèche
une
0-~I~_~~-~Uk~- 0’~Uk®f~’
une
puissance symétrique
U~_ .
La résolution de De Rham de
induit
glo-
~ Uk ~R ,
encore
local
Xfr’
des sections
"pointe").
à chaque
induit
de but le faisceau des formes différentielles
dans le
l’espace
de
cohomologie
de sorte que
l’espace complexe conjugué
On obtient ainsi
une
flèche
sh o =
à
à
H~(X~T ,
définit
C)
une
t
C
C) .
est muni d’une
conjugaison
application linéaire conjuguée
Q~ (U~))
dans
H~ (X~r ,
~~ .
Quel que soit le faisceau
de la
l’image
F
sur un
Y,
espace
cohomologie à support compact
Hi(Y,F)
on
désignera par
dans la
cohomologie
sans
support
Le théorème 4.2.6 de
(dans
loc.
k
cit.,
est
[9 ]
est essentiellement
supposé pair,
équivalent
au
théorème suivant
mais la même démonstration marche
en
général) :
THÉORÈME
le
2.10
Il existe
un
isomorphisme
sh
rendant commutatif
diagramme suivant :
On
Dans le cas
SL2(Z) ,
tiques
la courbe
sur
tout
Dans
phisme
ce
elliptique
E
cas
les
en
entier,
on
a
se
un
points
w
r
est
un
sous-groupe d’indice fini de
provient d’un schéma
sur
X~r (i.e.,
son
en
courbes
invariant modulaire est
É
modèle de Néron
sur
à l’infini sont de type
=
particulier,
de Shimura
E
algébrique
elle admet donc
les fibres de
de Shimura.
particulier où
la courbe
l’infini) ;
X/r
l’isomorphisme
sh
appelle
(2.11)
à
(Shimura [7 ]).-
X%I’ .
On
peut
multiplicatif,
ellip-
méromorphe
montrer que
et que,
sur
.
on a
réécrit :
U
=
,
de sorte que le but de l’isomor-
N° 3 -
Opérateurs
(3.1)
de Hecke et
(cf. [3])
Rappelons
que la
(en abrégé,
tants" constructibles
catégorie
1.
c.)
c.
de faisceaux
systèmes pro jectifs
l-adique fondamentale.
représentation
des
sur un
Zl-faisceaux
schéma
S
le site étale
sur
"localement
est la
Set
cons-
catégorie
de
des
qui
S
vérifient :
(i)
F
est un faisceau localement constant de
(ii)
si
n
s m , alors
Fm ~ Z/(ln)
de type fini ;
Fn .
forment
S ;
catégories abéliennes
champ
Ze-faisceaux l, c,
est le quotient de
le champ des
champ par le sous-champ
Ql-faisceaux 1.
On désigne par
puissance
épais des Zl-faisceaux 1. c, c. tués par
c. dans celle
®
~~ le foncteur canonique de la catégorie des Ze-faisceaux l,
des
~~-faisceaux 1.
Si S est connexe et muni d’un point géométrique s, la catégorie des
ZlLes
un
c,
c.
sur
en
ce
c.
une
c.
c.
faisceaux
"fibre
(resp.
en
", à
s
tal
Ql-faisceaux)
la
sur un
Si
consiste
en
la
donnée,
-faisceau
T
l.
c.
c.
sur
Zl-module
de type fini
pour
plutôt
quelconque,
la
inductive des catégories de
pose :
c,
des
S
équivalente,
est
(resp,
Ql-vectoriel
un
premiers,
4i$-faisceau
un
chaque nombre premier l , d’un
1,
c.
que de
c.
si l E T . Pour
AfØ-faisceau
catégorie des
AfT,-faisceaux
l.
c.
c,
c.
T
fini) .
de rang
1.
c.
c,
1,
c,
parlera
de
Zl-faisceau
=Ø,
on
c.
est la limite
c.
c..
AfT-faisceaux
1.
par le foncteur
continues du groupe fondamen-
représentations
fini de nombres
Ql-faisceau
c.
1.
catégorie
est un ensemble
T
T , d’un
Pour
c..°
1,
pour
T’
c,
fini dans
T . On
Le
des courbes
champ
elliptiques à isogénie près
du
champ des courbes elliptiques
On
désigne par ~ Q
S
sur
S
Pour
champ déduit
est le
"inversant formellement les
en
le foncteur associant à
tique à isogénie près sous-jacente.
S
sur
une
courbe
la courbe
elliptique
quasi-compact,
isogénies".
ellip-
on a
F ~ Q~ ,
et, pour
S
jacente à
une
(3.2)
par
courbe
Soit
T
dans
(E~
le
elliptique
f : E -~
S
courbe
une
système projectif
elliptique
des noyaux
T~(E~
et
S,
sur
étant
comme
Zl(1)
l’algèbre
inversible dual du faisceau inversible
Supposons
u :
S
n
comme
E
et de
catégorie
F
S
de
caractéristique
étant le
est une
sur
des courbes
système
isogénie,
m)
E
on
est sous-
w
sont des
de
étant la
Zl-faisceaux
les foncteurs
E
sur
multipliSi
sur
S
l
S. On
(le
faisceau
Z-faisceau
Vf(E)
isomorphisme
T~
elliptiques à isogénie près
sur
Vf
é~
(2.1 (a)).
et on pose
un
désigne
Zl(1) .
Q . On définit alors le
induit
S. On
pose
et
;
S
multiplication par
de Lie relative de
des
u
schéma
m
Procédant de même pour
est inversible
sur
de la
E
dans
E
sur un
n
cation par
sur
S.
sur
la flèche de transition de
E ,
définit
elliptique à isogénie près
toute courbe
normal,
se
S.
Si
de
=
sur
Vf(F)
factorisent donc par la
PROPOSITION 3.3.- Soient
des courbes
courbe
et d’un
I : E
de
f : E
et
F
-+
est locale
est
(3.4)
0
de la
E
un
Soit
de
E
f
n , et
par
Le
fini de
n ,
Par
ce
quotient K =
et
X
car
(3.4),
est une
et si
f
isogénie,
est une
Localement
ceci
T/TfCE)
"
n
par
f
de
Tf(f)
lieu si et seulement si
a
E/E n
est
est le sous-groupe de
tels que
sur
un
S ,
Vf(f)
envoie
Tp(E)
"réseau"
de supposer que
est alors
I
de
est défini par une courbe
X
Pour
image par
"multiplication
Homs(E,F)
avec
qui permet
0 .
dans
pleinement fidèle.
E ~ Q ,, et par
est
la flèche
morphismes
est donc
I
tout 8 , coïncide
E ,
forme tordue
si et seulement si il annule le noyau
n
déduit que
on en
Ob(E2(S)) .
(E ~ ~ , qT) ,
elliptiques,
Ker(f~ -~
est divisible par
tique à isogénie près
presque
formés d’une
T ~ lA . Le foncteur
S-courbes
-+
Le foncteur
X
catégorie
S, qu’on peut supposer quasi-compact. Si
formé des
Tf(F) .
~
Vp(E)
triples
Z-faisceau T ,
S , d’un
sur
des
la
exacte
isomorphisme.
un
divisible par
E
catégorie
la
E1(S~
dans
morphisme
multiplication
est
S ~
sur
-+
morphisme
Le
à
E~(s)
Tf(E) ,
dispose d’une suite
dans
S
sur
0 ,t
catégories.
question
La
En
schéma de caractéristique
isomorphisme
(E ~ Q ,
-+
équivalence
on
un
elliptique à isogénie près
Jj~
de
elliptiques
S
q
T
E
Q ,
Tf(E)
dans
Vf(E) ,
ellip-
qui, pour
(E 8) Q , T)
est
isomorphe
ci T .
canoniquement isomorphe à
E/K (cf. 3.4~. 0
un
sous-groupe
sur Sy munies d’un isomorphisme Qf :
E
Ca)
isomorphisme 03B1~ : T~(E)
tiques à isogénie près
V (F) ~ ~lf~ ,
F
(resp. M’~)
n
un
(resp.
n
T (E~ ~ ~
et d’un
T~(F~
isomorphisme
F (resp. F’ )
est
(E ,
est
(resp.
ellip-
-~
représentable
par
un
schéma
.
qui, à chaque schéma
d’isomorphie
(resp.
de courbes
et de
:
a :
E
(Z/m)2)
/
T~(E)
l-
fini et étale au-dessus de
S , associe l’en-
elliptiques, munies d’un isomorphisme
->
t~S ),
M (resp. par une surtace affine M’ )
morphisme de M dans Mn défini par
le
de
d’un
et
de courbes
d’isomorphie
courbe affine
nlm ,
(resp.
F2(S)
foncteur
au
des classes
entier ~ 3 . Le foncteur
(2/n)
-~
E
S
sur Q
semble des classes
Of:
qui, à chaque schéma
S , munies d’un isomorphisme
sur
PROPOSITION 3.6.- Le foncteur
Soit
isomorphe
est
S , associe 1‘ensemble
F~(S~ ~ qui, à
P :
F1(S~ ~
0, associe l’ensemble des classes d’isomorphie de courbes ellip-
caractéristique
tiques
(resp.
F1(S)
COROLLAIRE 3.5.- Le foncteur
et on
représenté
par
une
Pour
sur
:
oe
est
(Z/n)2)
E
a
M = lim H
e
On
procède
(3.7)
de
pour
Le schéma
Mm
représenter
M~ (resp. !~~ ~
et d’un
isomorphisme
©
est muni d’une courbe
a :
Z2
elliptique
(resp.
universelle
ainsi que d’un iso-
morphisme , : ~(Em~ ~ 6a ).
D’après (3.5),
F2 ),
ce
qui
le schéma
~
(resp. ) représente
le foncteur
met en évidence une action à gauche du groupe
adélique
F2 (resp.
Safarevic ,
Soit
Y
un
le
schéma
premier,t
noté
a
ce
fait.
sur C , limite projective de schémas
les flèches de transition étant finies.
C ,
Yan ,
tion
limite
comme
schémas
des
projective
limite
Y~ = ~Y ®
Ceci
PROPOSITION 3.8.- On
a
Y
sur Q ,
s’applique
dépend
ne
,
projective. Si
de type fini
Yi
Y.
L’espace
est un
que de
Yi
de type fini
annelé localement compact
Y
et non de
schéma sur Q , limite
les flèches de transition étant
à
et
I~
sur
sa
représenta-
projective
des
finies,
pose
on
M~ .
canoniquement
soient, moins canoniquement
où
est le sous-groupe
K~
réelles. Ces
isomorphismes
La notion de courbe
tels
un
et
S
de
quels
au cas
isomorphisme
F ,
un
se
ce
compact maximal à l’infini, augmenté des homothéties
sont
compatibles à l’action
elliptique à isogénie près,
analytique complexe.
entre les
systèmes
qui permet de définir
espace analytique
donner
une
courbe
ce
complexe.
En
outre,
dernier pour
GL2(Af) .
et leur
une
locaux de
de
sorite, s’étendent
isogénie
cp : E -~
cohomologie rationnelle
une
elliptique à isogénie près
sur
(2.1)
S ,
de
E
isogénie près. Soit
courbe à
On voit à l’aide de
induit
F
qu’il
ou
de
revient
se
donner
au
même
un
faisceau inversible
T~
u :
Soit
fl
de courbes
->
cp :
En
:
à
un
S
-+
E
en
A2 ,
Kn
près.
(donnée, localement,
Un tel
K)
mod
(cf. 2.2)
que
car
ce
X -~
en
Mn~ ~
induit
X ,
une
que
d’isomorphie
~2
-~
isomorphe
est
de courbes
T (E~ ,
sur
de
au
foncteur
elliptiques
T=(E)
c~ :
-~ ~-S
à la composition par
S
composée
cp’
qui s’en déduit :
_
soient
G2
n ~
3 , de
est
sorte que
au
sur
agisse librement
(resp.
représente
représente
et la flèche
les ensembles de
sur C .
par
GL~(~~
foncteur que
représentable
bijection
quelconque algèbre de rang fini
représentés
I~
géométrie analytique,
foncteur, soit
d’isomorphie
isomorphisme
est déterminé par la flèche
l’espace précédent. L’espace analytique
analogue,
T~ .
naturelle de
et d’un
Qy
G~
donné localement
objet
et
G~
Supposons maintenant
teur
(3.3)
S , munies de :
sur
isomorphisme
de sorte que
..->
:
associe l’ensemble des classes
élément de
et
S , munies d’un isomorphisme
sur
comme
S
l’application
morphisme
R
entre
associe l’ensemble des classes
S
T (E~ , d’un isomorphisme.~
-~ (Z~(n~~2 . On voit
isogénies près
et d’un
le noyau de
Kn
qui à
f : E
elliptiques
qui à
G~
isomorphisme
et un
T~
.
le foncteur
G~
un
~-vectoriels
GL2(Z/(n)) .
sur
Soit
local de
point par point
entier et soit
un
n
système
un
induisant
T~
-+
T ,
X
-~
points à
sur
le fonc-
~In (resp. Mn )
M~n
(resp.
valeurs dans
une
On déduit dès lors de
Procédant de même pour
à la limite
Un
de T
A ,
x
qui précède
on
M ,
que
obtient la
(3.8)
assertion de
première
par passage
n .
sur
point
ce
Isom(Q2
de
x
~ A , C
x
Af2)/GL2(Q)
correspondant à
et la courbe
munie de
.
De
là,
x
s’identifie à
"réseau"
un
L
est
sort aisément la
dernière assertion de
(3.8~. o
Désignons
k
étant
f :
par
fixé,
-+
la courbe
M
elliptique
universelle
M .
sur
L’entier
pose la
on
DÉFINITION 3.9.-
E
On
désigne
ne
dépend
par
w
(ou
s’il y
par
a
risque
de
confusion)
le
Q-vectoriel
Ce vectoriel
selle
f : E ~
de sorte que, par
M
action à gauche du groupe
Si l
est un nombre
purement algébrique,
algébrique Q
que de la courbe
en
de Q
V.
et les
nWl .
(à isogénie près)
transport de structure, il
univer-
est muni d’une
adélique
premier,
terme de
le vectoriel
cohomologie
Wl
=
admet
une
définition
des schémas
sur
la clôture
W ~ Ql
l-adique
déduits par extension des scalaires des schémas
de sorte que le groupe de Galois de Q
sur
elliptique
sur Q
agit,
M
:
n
par transport de structure,
Mann
Enfin, l’espace
est somme
disjointe
de
par des sous-groupes de congruence du groupe
w
le faisceau inversible
SL2(Z) ,
défini par
Mn
sur
de Poincaré
quotients du demi-plan
de sorte que, désignant par
(2.10)
E, la théorie de Shimura
donne
décomposition
Cette
relative à
à
de toutes formes
l’espace
est
un
de
Hodge
L’action du groupe
la
en
deux sous-espaces
complexes conjugués,
automorphes holomorphes paraboliques
quelconque sous-groupe de congruence du groupe
décomposition
une
W 0 (E
de
("de
adélique
(0,k
type
+
1)
(k
+
+
de
SL~(z) ,
1,0)
dont l’un
k
poids
+
2 ,
analogue
est
").
commute à l’action du groupe de Galois et
respecte
décomposition précédente.
Bien que le
s’il existe
une
système
local
soit trivial
l-adique R1f*Ql
relation entre
W.
0
et
sur
M , j’ignore
0
Q ,,
K
(3.12)
Cela
se
nelle,
Soient
n ~
3
un
K
(3.8).
comme en
n
vérifie par passage à la limite, et résulte de
la
cohomologie d’un quotient d’un
prenant les invariants de
Posons, pour
Sur cet espace de
(i)
entier et
ce
premier,
p
groupe dans la
l’algèbre de
Hecke
un
a
alors
V ~
W .
=
n
qu’en cohomologie
ration-
groupe fini s’obtient
en
cohomologie.
=
cohomologie agissent
le sous-groupe
espace par
ce
On
.
Par
passage à
la
limite,
on
obtient
encore :
de
~i(GL~(~p~,GL~(~p~~ ,
car ce
algèbre
sous-groupe centralise
des
entières
sur
l’espace
algèbre
invariantes à gauche par
discret
de
algèbre agit déjà
téristiques
des)
où
R
et
p
un
nombre
premier,
p ,
associées
aux
GL2~~p~ ,
et on sait que
est une
diagramme
p-isogénie
q1 et
(3.14)
:
)
les
fonctions
carac-
entre courbes
F n,p
-~
a
un
entier
-~
Mn
elliptiques
les
de
premier à
p , et
classes
Fn,P
d’isomorphie
F n,p
F
Mn
est
et
a
un
On
isomorphisme.
morphismes de foncteurs associant à
sous-diagrammes
q1
L’automorphisme
3
S-schémas
PROPOSITION 3.15.- Le foncteur
morphismes
n ~
S , associe l’ensemble des
qui, à chaque schéma
désigne par
un
dans
. Cette
sont les doubles classes de
diagrammes commutatifs de
où 03C6
(mesures
W(p)
respectant
premier à
n
pour
doubles classes de
Soient
le foncteur
de
ri
en
P
P
(3.13)
des
chacun
de Hecke admet pour base les
L’algèbre
T
sur
agit sur W
GL2(Qp)
du groupe
l’algèbre
cette sous-
(F,F n ,a’) .
ou
représenté
par
un
schéma
M
W P
, --- et
les
sont finis.
envoyant
E
-+
F
sur
F -~
E
échange
et
q~
q2 ;
’
il suffit donc de considérer
foncteur des sous-groupes d’ordre
et
propre
car(k(s)) /
Si s
M~ .
sur
*
un
p ,
seul
(le
On peut montrer que
est un
n’utiliserons pas
ce
1
+
Ces
,
de
chaque
On
morphismes
est
une
désignera
par
de foncteur :
I’*
p
est un
délicat,
q, i
Hilbert
F
si
et que
a
p
+
M
de
1
n ,
q1
et
un
n,p
sur
représentable
q~~(s~
est
éléments si
car(k(s)) =
nous contentant
fait de
est
n~P
E
q2
p .Il
sont finis et
plats ;
ici de noter qu’au-
revêtement étale de
degré
M .
(t~,u,v~
où
Frobenius)
au
elliptique universelle
et
E ,
régulier,
résultat
morphisme identifie
point géométrique
de
p
noyau de
est
dessus de
p
de la courbe
p
l’ensemble des sous-groupes d’ordre
nous
*
de sorte que, par la théorie des schémas de
M~ ,
Ce
q, . 1
(E,a)
s’insèrent dans
q.
un
partie du diagramme
le
Ip
morphisme
de
diagramme
(3.14)
~In
commutatif
universel.
dans
Mn
(E,a~p~ :
r-~
automorphisme
---
-
de
i(Mann , Symk(R1 fp*
n
Z)) .
n
correspondant
au
morphisme
’
~
pénible, mais routinier,
Il est
de démontrer que
PROPOSITION 3.18.- (i) L’endomorphisme
la flèche
comme
où
(ii)
De
"morphisme trace"
R
même,
P
p~
=
P
Le lecteur méfiant
T
à l’aide
de (3.16),
composée
est le
q1*
s’exprime,
T de W
I* .
pour le revêtement
q1 .
D
P
pourrait oublier
les
et définir
préliminaires adéliques
(1) .
par
K
Lorsque
Si
n
de
Il est
1
poids
pénible,
PROPOSITION 3.19.de
2 ,
ou
on
désigne l’espace
Sk+2
SL2(Z) ,
=
Shimura, à
la
facteur
pk ~ ~ ,
(3.20)
On
,
a
k
pose
mais
n
L’endomorphisme
directe de
canoniquement
sorte que
des formes modulaires
routinier,
et de son
de
=
2 , l’isomorphisme
+
somme
V
de Shimura
(3.Il)
pour le groupe
induit
un
isomorphisme
de démontrer que
T
P
l’opérateur
conjugué.
paraboliques,
o
s’identifie,
de Hecke
sur
par
l’isomorphisme
Sk+2 (y
compris
le
de sorte que
est muni d’une
pair, alternée pour
impair) à
k
par tensorisation par
Si
sion
F
est un
sur un
n
Faisant
w
sur
X
une
forme
Cette forme est
e-adique
logue
03C8 :
M
-
Mn
F
schéma
sur un
clos
=
non
dans
du
scalaire de Peterson. Si
de Poincaré donne
n~m ,
définit
on
Q C (-k -
valeurs dans
impair, alternée pour
k
d,
k
lisse purement de dimen-
considérations,
dégénérée à
pour
degré
X
ces
symétrique
produit
pour
qui s’en déduit
La forme
kt alors la dualité
Symk(R1fn *Ql)
bilinéaire
n( , )
est de
M
c.
algébriquement
et
~~-k~ .
(symétrique
dégénérée.
1. c,
Ql-faisceau
corps
=
valeurs dans
est non
Q~
forme bilinéaire
l’ana-
pair. C’est
k
1) .
et si le revêtement
on a
N° 4 - La formule de congruence.
On
p
fixe dans
se
ce
et ¿. On suppose
courbe
elliptique
n° des entiers
p
premier à ~
universelle
Quel que soit le schéma
Spec(Z) ,
et de
le
ou,
type fini
cas
faisceau
sur
Y ,
échéant,
Spec(Z)
on
dans
et si
(resp.
i-ième
et
n ~
et
n.
M , munie
sur
sur
désigne par
k ~ 0
de
désigne par
On
F
n
E -~
f :
M
la
Z/(n)2 .
l’unique morphisme
sous-schéma de
un
E
premiers
et des nombres
désigne par
ûf :
a
3 ,
Spec(Z) .
Si
Y
Zl- ou Ql-faisceau
le
resp.
Zl-
est un
image directe supérieure de F
par
a
de
est
dans
Y
séparé
sur
Y ,
ou
Ql-
(resp.
on
).
i-ième image directe à supports propres, resp.
On pose, pour
THÉORÈME
M* ,
Y[l/m] =
m
(Igusa [1 ]).-
4.1
M n se
Spec(2[1/n]) ,
Le schéma
est formellement
Mn
L’invariant modulaire j
et est
(a)
un
revêtement étale
deux courbes
sont
(b)
A~
et
Mn
est
quasi-fini
Si
E
et
de
propreté
(c)
Si
E
riant j,
des
schéma
soit
courbes
en
revêtement
un
et
F
corps
0
Ce
et
algébriquement
donc les fibres
elliptique
n
est un
morphisme
morphisme j
1728
de
est
A~
clos de même
;
en
fini,
effet :
invariant j
sont finies.
géométriques de j
le corps des fractions
sur
R, d’invariant j
sur K ,
alors
que j
Spec(Z) ,
sur
et j - 1728
entre
E
et
E
dans
a une
R,
K
et dont les
d’un
anneau
points d’ordre
bonne réduction. Le critère valuatif
est propre.
sont deux courbes
si j
isomorphismes
sur un
sur
Spec(Z[1/n]) .
dehors des sections
Spec(Z) .
sur
plat.
montre donc
et
donc lisse
étant lisses de même dimension relative
est une courbe
sont rationnels
lisse,
sur
[8] 6.3),
ex.
de valuation discrète
n
A
en
elliptiques
isomorphes (p.
Les schémas
j
en un
tel que
de la courbe universelle
dans la droite affine
Mn
compactifie
Spec(Z[1/n]) .
étale de
de
Spec(Z[1/m]) .
x
Le schéma
et lisse sur
projectif
Y
F
elliptiques
sont
sur un
inversibles,
est étale
sur
S
schéma
S, de même inva-
alors le schéma
([8] 6.3).
Isom(S;E,F)
Dans le
diagramme
là
où j 1
U , 1728 ,
par descente
et
u
sont étales
v
diviseur
régulier,
diviseur j
de
P~
de
projective
point générique
Il résulte alors d’un théorème
régulier.
= eo ,
dans
t-adique
cohomologie
Sym R f *7
l,
c.
c.
p1 ~ Aj
d’Abyankhar
sur
0 ,t dans
(voir [5])
p1 ,
Spec(Z[1/n])
sur
caractéristique
Z -faisceaux
sont modérément ramifiés à l’infini. De
en
étale et,
est
que,
est
schéma
un
long de
le
et que le normalisé
ce
M* n
(4.1).Q
Du même théorème résulte que les
sation
de
est modérément ramifié
M
vérifie
Mn
pr1
est étale.
plate, j
La section à l’infini de la droite
un
donc
surjectifs,
là,
(voir [5]),
l,
(4.1)
de
c,
et des théorèmes de
1/-l]) ,
sont des
de formation
compatible à
M
n[1/l]
spéciali-
Symk(R1fn *Zl)) ,
il résulte que
et donc
sur
sur
c.
tout
2 -faisceaux
changement de
base.
COROLLAIRE 3.2.- Le module
Q
1/l])
de
Il est
non
Soient
ramifié
sur
en
galoisien
les deux
n
et de
point géométrique
est la fibre en le
-
du Q -faisceau 1.
dehors de
Mn ~ Fp
W
c,
c.
8 . 0
diagrammes commutatifs
,
--
Symk(R1fn *Zl)) ~ Ql.
où
est le
F
de Frobenius et
morphisme
diagrammes définissent des morphismes
morphismes
finis,
sont
V ,
et
’1
tant que section de
en
transposé,
son
$~ 2
de
q1
ou
le
"Verschiebung".
dans
M n,p
p
q2 ,
.
Ces
Ces
et définissent un mor-
phisme
_
$
Soit
n,p
correspondant
p
Soit
th
trique de
S ,
schéma
Ker(tcp) ,
purement infinitésimal,
de
p
(i)
caractéristique
q’2
(iii)
Le
Le schéma
où
p
h
F :
Ker( cp)
bien
E2 étant
E -~
M*
=
de
se
03A6’ : Mn ~ Fp Mn ~ Fp
n
h
non
et
p
nul.
elliptiques d’invariant
S . La
"
ou
bien
propriété "
sur
S ,
ou
son
Ker((p)
bien
l’est. Le seul sous-groupe
Frobenius, dans
et dans le
E(P~ -~
S ,
de
point géomé-
p . En chaque
le noyau de
est lisse sur
M
second,
t~
le
est
E . 0
Spec(Z)
en
dehors des
points
0 .
et
q1
morphisme 1
L ’ automorphisme
ou
ntP
morphismes
du normalisé
est étale sur
donc à V :
E -~
PROPOSITION 4.4.-
M 0 F
de
de sorte que, localement
ou
E1
isomorphe à
est
Mn,p
est étale sur
de ~
propriété ouverte,
infinitésimal d’ordre
Les
de caractéristique
S
bien le noyau
ou
premier cas, ~
entre courbes
p-isogénie
une
sur un
est une
est
et
et
isomorphisme.
un
Cartier, isomorphe à
est étale"
(ii)
H
ouverts de
aux
~
courbes d’invariant de Hasse
aux
est
E~ -~ E~
Hasse inversible
de
p
pn
n
PROPOSITION 4.3.-
dual de
2 n
la restriction de t
0 F
M
1
q
M
induisent des
dans
factorise par
morphismes
finis et plats
q’1
M
un
morphisme surjectif
~ M’n,p ~ Fp .
a
de
(3.15) échange 03C6
et
t03C6 ,
de sorte
qu’il
suffit de
(i)
prouver
en
les
infinitésimal : il
elliptique
et la
Là où
p
réduite à
un
=
h
de
points
n’y
a
partie
caractéristique
(3.15)
de sorte que l’ouvert de lissité de M
point,
M’ est partout de dimension
EGA
16.5.1 et 17.3.5
2 . Le schéma
le
morphisme
est fini et
$
de Hecke
L’endomorphisme
le tensorisé par
(ii),
que
ce
T
de
de la fibre
Ql
désigné
par la
une
au
q. : *L
M n 0 Fp
W ,
tel
une
qu’il
T )
de
M
n
est
M
n,P
étant
M
-~
régulier, d’après
’
est
n
plat. Enfin,
courbe normale. D
est
explicité
point géométrique Q
par
p.
est dense dans
n
M’ n,p
-~
courbe
n,P
M
n,p
résulte de
q.
: M
i
n,p
’
"
est
cp
infinitésimale du noyau de la multiplication par
0 , la fibre du morphisme fini
=
oit le noyau de
M
n,p
pas d’obstruction à relever infinitésimalement
et que
(iii)
de
p
de
en
(3.18),
est
Spec(Z[1/n, 1/l])
R1ã(Mn , symk(R1fn*(Zl) )
défini
"correspondance"
Les
endomorphismes
LEMME 4.6.- Soient
X , Y ,
gnons par
Z1 , Z2 ,
a
Rp
sur un
F un
et
1
s’interprêtent
schéma noethérien
Zl-faisceau
sur
S
de
même.
quatre schémas séparés de type fini
X , G un
chacune des flèches structurelles de
Zl-faisceau
X , Y ,
Z~
ou
sur
Z
Y
dans
et dési-
S.
Soient
un
Supposons
finis et
de
s
diagramme commutatif
que
plats,
dans
fibre (pour
Alors,
=
et que,
x1 )
que
des
S-schémas,
et
y~
pour tout
x-12(x2(s))
fibre
sa
z ,
de
et des
morphismes
sont propres,
y~
point géométrique
est
égale à
points géométriques
la
de
somme
Z1
de
s
des
que
de faisceaux :
et
x
Z2 ,
la
x
sont
multiplicité
multiplicités
image réciproque de
dans leur
s
par
f.
le diagramme
est commutatif.
Ce lemme résulte des lemmes
des
premiers carrés
et on revient
analogues pour
R1a,
et
R1a* .
La commutativité
est triviale. Le dernier se réécrit
à la définition de la trace pour vérifier que le carré
(4.7)
On
du
R1ã(Mn ,
la formation du
1. c. c.
Symk R1 fn*Zl) |Spec(F)
morphisme
à partir de la fibre
en
r
trace pour un
sorte que
FpP
de
induit par
la restricTp
R1 ã(Mn , Symk
R1 fn*Zl) . On a
R1 ã(Mn ~ Fp , Symk R1 fn*Zl) ;
sur
°
fini et
morphisme
peut
se
plat
construire,
la "correspondance"
(4.5).
est
sur
compatible
le modèle
Le lemme
au
(3.18),
(4.6), appliqué
diagramme commutatif
fournit alors
par les deux
où
l’endomorphisme
Z
changement de base, de
au
T_%Fp
désignera par
F
une
décomposition
de
en
la
somme
géométrique
x
endomorphismes définis
correspondances suivantes :
est le Frobenius absolu. On reconnait dans cette
La flèche
des
est la flèche
composée
P
correspondance
le Frobenius
est donc le
L’endomorphisme correspondant
PROPOSITION 4.8.- On
a
201420142014
(i)
F
p
!""
F
laire
(iii)
et
V
sont
FV =
l’exposé
mes
F
+
I*V
,
P
et
-
agissant
sur
Fp ,
’
n -f’
l’un de l’autre relativement
transposés
cpP
.
,
n
2014201420142014201420142014201420142014201420142014
("arithmétique")
au
produit
sca-
(3.20).
VF =
Pour la relation
à
/F P =
P
de
s’identifie à l’inverse de l’élément de Frobenius
du groupe de Galois
(ii)
T
composé
.
(i)
de C. Houzel
entre Frobenius
(SGA 5.XV).
Le
géométrique
VF
composé
et
arithmétique,
est le
composé
des
on
renvoie
homomorphis-
déduits des flèches suivantes :
La flèche
F*EV*E = (FEVE)*
SymkR1f n~Z~ ,
est de
degré
=
de sorte que
p .
(p.1E)*
VF
=
agit
pk.TrF
par
°
pk
sur
puisque
F :
multiplication par
F* =
pk,p
=
Mn
n
~ nn
Par
dans
transport de
~~ ,
~~(-k =
structure, p
sur
groupe
respecte le produit scalaire
agit
lequel p
~3.20~ ~
valeur
On a
multiplication
par
donc
Le théorème
THÉORÈME
Q
de
à
de
4.9
non
relativement
F
Si
p
au
algébrique
mier distinct de
n
remonte à Eichler.
Soient
et l ,
produit
Kn
la
plus grande sous-extension
élément de Frobenius relatif
03C6-1p de nW l
(3.20).
scalaire
e
un
03C6p
l’endomorphisme
F
distinct de
X
p .
sont des entiers
premier
de
F ,
et on posera
le
V
et
transposé
Alors,
X
et
=
schéma
F : X -~
par
X
un
X 0
F
P
X
F ,
on
F
désignera par
l’endomorphisme
de Frobenius
désignera toujours
~
;
sur
un
nombre pre-
p .
"conjectures
Soient
absolue
congruence).-
dehors de
est un nombre
("géométrique"),
-
en
(4.$},
implique Ramanujan.
clôture
Par
de
synonyme de
Gal(Kn l/Q) ,
N° 5 - Weil
une
(Formule
ramifiée
dans
p
suivant,
un
de
Weil",
schéma
Alors,
on
entendra l’énoncé suivant :
projectif
et
lisse
sur
les valeurs propres de
algébriques
dont tous les
F
et l
un
F*
l’endomorphisme
conjugués complexes
nombre premier
de
sont de valeur
p~‘2 .
Avec les
hypothèses
et notations de
4.9,
on
a
(rappelons
que
(p,n)
=
1
):
THÉORÈME 5.1.de
Si les
sont)
propres de
Soit
ouvert dans
un
l’endomorphisme
de
(module
.
F*
schéma lisse
un
schéma
projectif
de
qui puisse
sur
et lisse
se
repré-
X* . Alors, les valeurs
sont des entiers
Hic(X,Ql)
A’~
F*
Soient
S
dans
Hi(X,Ql)
se
algébriques
de
Hi(X*,Ql) :
factorise par
est
S .
Supposons
projectif
schéma lisse
un
sur
201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014
-
schéma
géométrique
conju-
pk+1/2
)-module, i(X,Ql)
’
sur
un
tous les
quotient d’un sous-objet
0
schéma abélien
dans
un
X
tant que
Hi(X*,Ql) .
LEMME 5.3
(dont
.
La flèche naturelle de
qu’en
algébriques
pi/2
valeur absolue
de sorte
alors les valeurs propres
vraies,
sont des entiers
de valeur absolue
(modulo
senter comme
de Weil sont
conjectures de Weil.
Admettons les
LEMME 5.2
knWl
de
F
l’endomorphisme
gués complexes
conjectures
A
que
et lisse sur
de
a
puisse
~p .
se
FpP
f : A
et
-~
S
représenter
un
2014
2014
comme un ouvert
Alors, l’endomorphisme de Frobenius
pour valeurs propres des entiers
algébriques
de valeur absolue pi+j/2 .
Soit
m
un
entier
L’endomorphisme
de
E
et
E
de
> 1
,
et considérons les suites
multiplication
qui s’insèrent clans
par
un
m : 03C8m
=
diagramme
m1
,
spectrales
définit des
commutatif :
de Leray
endomorphismes
Sur
agit par multiplication par
t
Eijr
et
(r & 2)
d
de
E
et
commutent à
(resp.
avec j
s’identifie
au
/
est la
t*
E,
j’ .
Elles sont donc
=
m~
et
on
comme
applique
Les flèches
dans
nulles,
(resp.
module
(5.2).
Eij2 (resp.
et
Hi+jc(A,Ql) )
de
les termes
sur
par
Eijr (resp.
et envoient
s’identifie,
où .
multiplication
t*,
sous-espace de
Dès lors,
de sorte que
galoisien,
au
où
t*
=
mj .
sous-espace de
L’astuce utilisée ici est due à
Lieberman. 0
Soit
f : E ~
Mn ~ F
la courbe elliptique universelle
P
soit
f , : Ek ~ Mn ~ F
son
produit fibre itéré
k-uple
La formule de Kunneth montre que le
direct la
tient
facteur direct le
comme
(5.3)
donc de
tensorielle
puissance
sur
n
avec
admet
0 -faisceau
k-ième de R f
comme
Q; celle-ci à
son
facteur
tour con-
Le théorème 5.1 résulte
? -faisceau
E,
est un ouvert d’un schéma
projectif
Eg
et lisse
F .
P
E*
Soit
E*
P
et du
LEMME 5.4.- Le schéma
20142014
et
sur
projectif
est
de
le modèle minimal de Néron de
E
forment
et lisse sur
un
E
n
F . Puisque
revêtement trivial de
M~ 0F
sur
n ~
3
p
(4.1).
et que les
M 0 F ,
n
ce
Le schéma
points d’ordre
modèle de Néron est
p
"semi-stable"
la
projection
en ces
points,
(cas
a
ou
m
f : E* ~
f
est non
n
dans la classification de
b
M*
n’a
qu’un
nombre fini de
dégénérée (présente
une
Néron).
points
de
En
particulier,
non
lissité,
singularité quadratique
et
ordi-
Soit
il suffit de résoudre les
E*
k-uple de
produit fibre itéré
le
E**
de
singularités
toucher à l’ouvert
sans
(5.4),
Pour prouver
M* .
sur
Ek .
Prou-
tout d’abord :
vons
LEMME 5.5.- Soit
la sous-variété de
V
affine
l’espace
sur un
(coordon-
k
corps
nées
X1Y1 =
Soit
l’idéal
m
Xi
par
1
i=o
une
...
engendré
°
par les mon6mes
(0 S
V
variété
i s:
r) .
singulier
Alors,
V
en
m
=
QV
éclatant
le
dehors du lieu
singulier de
m
est lisse sur
k .
où quatre coordonnées
V
défini par l’élément
k~Y~X1 , X~/X~ , X1/X2
V ,
et la
Y. X. Y. (i / j)
X.
II Xi
l’idéal
à éclater
de
vérifier,
noter que
Xr , T1
,...,
et
=
1
On montre maintenant que, localement pour la
sont
E**
de définir
Une
paires
spectre de l’anneau régulier
est le
idéal,
des
en
est le lieu
s’annulent. L’ouvert affine de
de
déduisent du monôme
se
permutation des coordonnées qui respecte l’ensemble
déduite de
Le lieu
(pour
qui
2014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014
(X.,Y.}
m
XrY.r
=
on
sur
isomorphes à
E**
obtient
un
E~ .
approximation
THÉORÈME 5.6.-
Les
celles de
idéal
m
(pour
V
5.5
en
...
résulte. C
topologie étale,
r =
k - 1
analogue à l’idéal
m
),
les
singularités
et que ceci
de
(5.5).
permet
Eclatant cet
C1
du théorème suivant
conjectures
Notons tout d’abord que
de Weil
(5.1)
a
été démontrée par Ihara
impliquent
la
reste vrai pour
n
conjecture
= 1
, car
de
[2] :
Ramanujan.
est le
sous-
mWkl
module galoisien de
tité,
et
(4.8)
se
PX+
F
endomorphismes
det(l L’action de
ble à la
laires
de
Tp
V
et
sont
FX ;
sur
transposés l’un
det(l -
=
’"W
la
en
induit l’iden-
de
Vautre,
de sorte que
k1Wl) .
VX ;
somme
SL (2f) ,
Du caractère hermitien de
T
P
on
J*
est induite par son action sur
paraboliques relatives à
(3.19),
Sur
(1 - FX)(1 - VX) .
=
décomposition de
conjugué.
GL2(Z/(m)) .
réduit à
1 - T
Les
invariant par
de
de
l’espace
poids
(pour
le
k
+
2 ,
produit
est
compati-
Sk+2
des formes modu-
et de
l’espace complexe
scalaire de
Peterson)
déduit alors que
p~~X~ ?
T~X ~ p~~X~ ;
~) =
S~)~ ,
et
S~)~ =
TpX +
det(1 -
~W~)~
FX ;
soit
p~~X~ ; S~) =
(5.7)
Reprenons
de Hecke et de
les notations du n~ 1
(3.19), (5.7)
et faisons
~) .
°
k
=
10 . En vertu de la théorie
réécrit
se
~~)
et on
applique
(5.1).
D
On vérifie de même que les
par Peterson de la
conjecture
conjectures
de
Ramanujan.
de Weil
impliquent
la
généralisation
et
172
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J. of
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P.
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Ramanujan, Sém. Delange-Pisot-Poitou,
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XIII de SGA 1
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goût du jour par
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Bourbaki,
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février
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Sigles :
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DIEUDONNÉ,
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Notes
miméographiées