BEH est un triangle rectangle en E. H est le milieu de [AE]. Les

3ème
Problème de synthèse
BEH est un triangle rectangle en E. H est le milieu de [AE].
Les points B, H et F sont alignés.
On donne :e
BHE = 60 ° ; HAF = 30° ; HB = 10 cm.
1. a) Démontrer que la longueur HE est égale à 5 cm.
On pourra utiliser l’extrait de table suivant :
60°
sin
0,866
cos
0,5
tan
1,732
b) Déterminer la longueur HA. Justifier.
2. Démontrer que l’angle AFH mesure 90°.
3. Les droites (AF) et (BE) se coupent en un point C.
a) Que représentent les droites (AE) et (BF) pour le triangle ABC
b) En déduire que les droites (CH) et (AB) sont perpendiculaires.
4. Sur le segment [HA], placer le point I tel que HI = 3 cm.
Sur le segment [HB], placer le point J tel que HJ = 6 cm.
Démontrer que les droites (IJ) et (AB) sont parallèles.
5. Les droites (CH) et (IJ) se coupent en un point M. En utilisant les conclusions des questions
3. et 4., prouver que JMC est un triangle rectangle en M
6. Démontrer que les quatre points J, M, C, F appartiennent à un même cercle ; préciser la
position de son centre.
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3ème
Problème de synthèse
CORRECTION
1. a) Le triangle BHE est rectangle en E.
HE
HE
Donc cos BHE =
c’est à dire cos 60° =
d’où HE = 0,5x10=5 cm
HB
10
b) Comme H est le milieu de [AE] alors AH = HE donc AH = 5 cm
2. On sait que BHE = 60° et que les angles AHF et BHE sont opposés par le sommet.
Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure.
Donc AHF = 60°
On sait que FAH = 30° et AHF = 60°
Dans le triangle AHF, la somme des trois angles est égale à 180°.
Donc AFH = 180 – (30+60) = 90°
3. a) Les droites (AE) et (BF) sont deux hauteurs du triangle ABC (définition)
b) Les deux hauteurs (AE) et (BF) se coupent en H orthocentre du triangle ABC.
La droite (CH) passant par un sommet de ABC et par l’orthocentre est la troisième hauteur de
ABC.
Donc (CH) est perpendiculaire à la droite (AB).
4. En utilisant la réciproque du théorème de Thalès :
On sait que dans les triangles HIJ et HAB, les points H, I, A d’une part et les points H,J, B
d’autre part sont alignés dans le même ordre.
HI
3
HJ
6
3



On calcule
et
HA
5
HB
10
5
HI
HJ

Comme
alors les droites (IJ) et (AB) sont parallèles.
HA
HB
5. On sait que (AB) est parallèle à (IJ) et que (CH) est perpendiculaire à (AB).
Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l’une alors elle est
perpendiculaire à l’autre.
Donc (CH) est perpendiculaire à (IJ), ce qui signifie que le triangle CMJ est rectangle en M.
6. On sait que les triangles JMC et JFC sont rectangles respectivement en M et en F.
Si un triangle est rectangle alors le centre du cercle circonscrit au triangle est le milieu de
l’hypoténuse.
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3ème
Problème de synthèse
Donc, les deux triangles rectangles JMC et JFC ayant la même hypoténuse [JC], ils sont tous
les deux inscrits dans le cercle de diamètre [JC], le centre étant le milieu de [JC].
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