3ème Problème de synthèse
CORRECTION
1. a) Le triangle BHE est rectangle en E.
Donc cos BHE =
c’est à dire cos 60° =
d’où HE = 0,5x10=5 cm
b) Comme H est le milieu de [AE] alors AH = HE donc AH = 5 cm
2. On sait que BHE = 60° et que les angles AHF et BHE sont opposés par le sommet.
Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure.
Donc AHF = 60°
On sait que FAH = 30° et AHF = 60°
Dans le triangle AHF, la somme des trois angles est égale à 180°.
Donc AFH = 180 – (30+60) = 90°
3. a) Les droites (AE) et (BF) sont deux hauteurs du triangle ABC (définition)
b) Les deux hauteurs (AE) et (BF) se coupent en H orthocentre du triangle ABC.
La droite (CH) passant par un sommet de ABC et par l’orthocentre est la troisième hauteur de
ABC.
Donc (CH) est perpendiculaire à la droite (AB).
4. En utilisant la réciproque du théorème de Thalès :
On sait que dans les triangles HIJ et HAB, les points H, I, A d’une part et les points H,J, B
d’autre part sont alignés dans le même ordre.
On calcule
et
Comme
alors les droites (IJ) et (AB) sont parallèles.
5. On sait que (AB) est parallèle à (IJ) et que (CH) est perpendiculaire à (AB).
Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l’une alors elle est
perpendiculaire à l’autre.
Donc (CH) est perpendiculaire à (IJ), ce qui signifie que le triangle CMJ est rectangle en M.
6. On sait que les triangles JMC et JFC sont rectangles respectivement en M et en F.
Si un triangle est rectangle alors le centre du cercle circonscrit au triangle est le milieu de
l’hypoténuse.
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