1 L`espace de Schwartz - Les pages perso du Crans

Université Pierre et Marie Curie Analyse réelle, MM003
Master de Mathématiques, M1Année universitaire 2010-2011
Ayman Moussa
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Rappels de Cours – Distributions tempérées.
Pour α α1, . . . , αdNd, on note α α1αd, et pour x x1, . . . , xdRd,xα:xα1
1xαd
d.
Pour fL1Rdon note ˆ fou bien Ffsa transformée de Fourier.
1 L’espace de Schwartz
Définition : Une fonction f:RdRest dite à décroissance rapide si elle est indéfiniment différen-
tiable et si pour tout α, β Nd,pα,β f: sup
xRd
xα β f x . L’ensemble des fonctions à décroissance
rapide est l’espace de Schwartz, noté SRd.
Remarque : Il est facile de voir qu’une fontion est à décroissance rapide si et seulement si le produit de
toutes ses dérivées par n’importe quel polynôme tend vers 0en l’infini.
Définition : Une fonction f:RdRest dite à croissance lente si elle est indéfiniment différentiable
et si pour tout αNd, il existe CαRet qαNtels que αf x Cα1xqα. Cet espace est noté
OMRd.
Remarque : Les fonctions à croissance à lente sont donc, elles et leurs dérivées, à croissance au plus
polynômiale à l’infini.
Proposition : SRdmuni de la famille dénombrable de semi-normes pα,β α,β NdNdest un espace
de Fréchet qui s’injecte continûment dans C0Rdet LpRd, pour tout p1,.
Remarque : Il est parfois plus commode de remplacer les semi-normes pα,β fsup
xRd
xα β f x par la
famille qm,β f: sup
xRd
1x2m β f x où mparcoure N, on obtient bien sûr la même topologie.
Les fonctions tests sont un cas particulier de fonctions à décroissance rapide :
Proposition : DRdSRdavec injection continue et image dense.
SRdest un espace de Montel :
Proposition : Les compacts de SRdsont les fermés bornés.
Théorème :
Tous les opérateurs suivants sont des applications linéaires continues de SRddans lui-même :
(i) les translations τapour aRd:τaf x :f x a ,
(ii) les dilatations dλpour λR:dλf x :f x λ ,
(iii) les dérivations αpour αNd,αf:α1
x1
αd
xdf,
(iv) la convolution par un élément gSRd:g f x :
Rd
g x y f y dy,
(v) la multiplication par un élément gOMRd:gf x g x f x ,
(vi) la transformation de Fourier : Fϕˆ f ξ :
Rd
f x e ix ξdx. Cette dernière est même un
isomorphisme d’algèbre de SRd,sur SRd,dont l’inverse est F1:ϕ2πdˇ ˆϕ.
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Remarque 1:Le point iv peut-être précisé légèrement : en réalité si gest une fonction dont le produit
avec tout polynôme est intégrable ( i.e. gL1
SRd- voir le cours), alors la convolution par gdéfinit
également un opérateur linéaire continu de SRddans lui-même (sans aucune hypothèse de régularité
sur g).
Remarque 2:Les deux derniers points sont les principales différences avec DRd. La stabilité par trans-
formée de Fourier va nous permettre d’étendre celle-ci à une classe particulière de distributions.
2 Distributions tempérées
2.1 Définition et premières propriétés
Définition : Le dual topologique de SRdest noté SRd, c’est l’espace des distributions tem-
pérées. On le munit dans toute la suite de la topologie faible- .
L’injection DRdSRdse renverse quand on passe au dual :
Proposition : Si SSRd, la restriction Tde SàDRdest une distribution sur Rdvérifiant pour
une certaine constante C, un certain entier qNet toute fonction test ϕ:
T, ϕ C sup
xRd, α q
1xq αϕ x .
Inversement, une distribution Tvérifiant une une inégalité de la forme précédente se prolonge de façon
unique en une distribution tempérée.
Proposition : Une distribution à support compact est tempérée. Une distribution tempérée est néces-
sairement d’ordre fini.
On sait que tout élément de L1
loc Rddéfinit une distribution. Ce résultat tombe en défaut dans le cas
des distributions tempérées : il faut imposer une condition de comportement à l’infini aux fonctions pour
s’assurer que celles-ci définissent bel et bien une distribution tempérée :
Proposition : Il existe des fonctions fL1
loc Rdtelles que Tfne se prolonge pas en une distribution
tempérée. Une condition suffisante pour assurer que Tfse prolonge en une distribution tempérée est
l’existence de mNet de p1,tels que la fonction x1x2mf x appartiennent LpRd.
2.2 Opérations sur les distributions tempérées
Proposition : Soit Tune distribution tempérée et αNd. La distribution αTest une distribution
tempérée. L’opérateur TαTest continu de SRddans lui-même.
Proposition-Définition : Soit Tune distribution tempérée et gune fonction à croissance lente. L’ap-
plication définie sur SRdpar ϕ T, gϕ est une distribution tempérée appelée produit de Tpar get
notée g.T . L’opérateur T g.T est continu de SRddans lui-même.
Comme SRdest stable par convolution, on peut définir gratuitement le produit de convolution d’une
distribution tempérée et d’une fonction à décroissance rapide :
Proposition-Définition : Soit TSRdet ψSRd. L’application définie sur SRdpar
ϕ T, ˇ ψ ϕ est une distribution tempérée appelée produit de convolution de Tpar ψet notée ψ T .
L’opérateur T ψ T est continu de SRddans lui-même.
Remarque 1:Dans le même esprit qu’une remarque effectuée précédemment, cette définition peut-être
considérablement généralisée : la convolution peut-être définie exactement de la même manière avec un
élément de L1
SRd.
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2.3 Transformée de Fourier des distributions tempérées
Théorème-Définition : Soit TSRd. L’application définie sur SRdpar ϕ T, ˆϕest une
distribution tempérée appelée transformée de Fourier de Tet notée ˆ Tou FT.
Théorème :
Soit TSRd. L’application définie sur SRdpar ϕ T, F1ϕest une distribution tempérée
appelée transformée de Fourier inverse de Tet notée F1T. Les applications linéaires Fet F1sont
continues de SRddans lui-même et inverses l’une de l’autre.
Comme d’habitude toutes ces définitions prolongent le cadre fonctionnel déjà vu. Les formules connues
se généralisent :
Proposition : Soit Tune distribution tempérée. Pour tout kJ1, dKon a kT iξk.ˆ Tet kˆ T
ixk.T .
Remarque : Les produits sont biens définis car les distributions sont tempérées et les fonctions polynômi-
ales !
Proposition : Soient TSRdet ϕSRd, alors ϕ T ˆϕ. ˆ T.
Théorème : Si Test une distribution à support compact, sa transformée de Fourier est une fonction
à croissance lente, i.e. ˆ TOMRdet une expression de celle-ci est donnée par ˆ T ξ :T, eξoù
eξ:x e ix ξ.
Remarque : On sait que l’ensemble des distributions à supports compacts coïncide avec le dual de CRd:
le crochet a bien un sens.
Proposition : Soit Tune distribution à support compact. La convolution par Test un opérateur linéaire
continu de SRddans lui-même et de SRddans lui-même.
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