1 L`espace de Schwartz - Les pages perso du Crans

Université Pierre et Marie Curie
Master de Mathématiques, M1
Analyse réelle, MM003
Année universitaire 2010-2011
Ayman Moussa
[email protected]
Rappels de Cours – Distributions tempérées.
αd
1
Pour α pα1 , . . . , αd q PP Nd , on note |α| α1 αd , et pour x px1 , . . . , xd q P Rd , xα : xα
1 xd .
Pour f P L1 pRd q on note fˆ ou bien F pf q sa transformée de Fourier.
1
L’espace de Schwartz
Définition : Une fonction f : Rd Ñ R est dite à décroissance rapide si elle est indéfiniment différentiable et si pour tout α, β P Nd , pα,β pf q : sup |xα B β f pxq| 8. L’ensemble des fonctions à décroissance
P
x Rd
rapide est l’espace de Schwartz, noté S pRd q.
Remarque : Il est facile de voir qu’une fontion est à décroissance rapide si et seulement si le produit de
toutes ses dérivées par n’importe quel polynôme tend vers 0 en l’infini.
Définition : Une fonction f : Rd Ñ R est dite à croissance lente si elle est indéfiniment différentiable
et si pour tout α P Nd , il existe Cα P R et qα P N tels que |B α f pxq| ¤ Cα p1 }x}qqα . Cet espace est noté
OM pRd q.
Remarque : Les fonctions à croissance à lente sont donc, elles et leurs dérivées, à croissance au plus
polynômiale à l’infini.
Proposition : S pRd q muni de la famille dénombrable de semi-normes ppα,β qpα,β qPNd Nd est un espace
de Fréchet qui s’injecte continûment dans C0 pRd q et Lp pRd q, pour tout p P r1, 8s.
Remarque : Il est parfois plus commode de remplacer les semi-normes pα,β pf q
famille qm,β pf q : sup p1
P
x Rd
sup |xα B β f pxq| par la
P
x Rd
}x}2 qm |Bβ f pxq| où m parcoure N, on obtient bien sûr la même topologie.
Les fonctions tests sont un cas particulier de fonctions à décroissance rapide :
Proposition : D pRd q ãÑ S pRd q avec injection continue et image dense.
S pRd q est un espace de Montel :
Proposition : Les compacts de S pRd q sont les fermés bornés.
Théorème :
Tous les opérateurs suivants sont des applications linéaires continues de S pRd q dans lui-même :
(i) les translations τa pour a P Rd : τa f pxq : f px aq,
(ii) les dilatations dλ pour λ P R : dλ f pxq : f px{λq,
(iv)
(v)
(vi)
»
Bα pour α P Nd , Bα f : Bxα Bxα f ,
la convolution par un élément g P S pRd q : g f pxq :
g px y qf py qdy,
R
la multiplication par un élément g P OM pRd q : pgf qpxq g pxqf pxq,
la transformation de Fourier : F pϕq fˆpξ q :
f pxqeixξ dx. Cette dernière est même un
R
ˇ
isomorphisme d’algèbre de pS pRd q, q sur pS pRd q, q dont l’inverse est F 1 : ϕ ÞÑ p2π qd ϕ̂.
(iii) les dérivations
1
1
d
d
»
d
d
1
Remarque 1 : Le point piv q peut-être précisé légèrement : en réalité si g est une fonction dont le produit
avec tout polynôme est intégrable ( i.e. g P L1S pRd q - voir le cours), alors la convolution par g définit
également un opérateur linéaire continu de S pRd q dans lui-même (sans aucune hypothèse de régularité
sur g).
Remarque 2 : Les deux derniers points sont les principales différences avec D pRd q. La stabilité par transformée de Fourier va nous permettre d’étendre celle-ci à une classe particulière de distributions.
2
2.1
Distributions tempérées
Définition et premières propriétés
Définition : Le dual topologique de S pRd q est noté S 1 pRd q, c’est l’espace des distributions tempérées. On le munit dans toute la suite de la topologie faible-.
L’injection D pRd q ãÑ S pRd q se renverse quand on passe au dual :
Proposition : Si S P S 1 pRd q, la restriction T de S à D pRd q est une distribution sur Rd vérifiant pour
une certaine constante C, un certain entier q P N et toute fonction test ϕ :
|xT, ϕy| ¤ C
sup
P | |¤q
x Rd , α
p1 }x}q q|Bα ϕpxq|.
Inversement, une distribution T vérifiant une une inégalité de la forme précédente se prolonge de façon
unique en une distribution tempérée.
Proposition : Une distribution à support compact est tempérée. Une distribution tempérée est nécessairement d’ordre fini.
On sait que tout élément de L1loc pRd q définit une distribution. Ce résultat tombe en défaut dans le cas
des distributions tempérées : il faut imposer une condition de comportement à l’infini aux fonctions pour
s’assurer que celles-ci définissent bel et bien une distribution tempérée :
Proposition : Il existe des fonctions f P L1loc pRd q telles que Tf ne se prolonge pas en une distribution
tempérée. Une condition suffisante pour assurer que Tf se prolonge en une distribution tempérée est
l’existence de m P N et de p P r1, 8s tels que la fonction x ÞÑ p1 }x}2 qm f pxq appartiennent Lp pRd q.
2.2
Opérations sur les distributions tempérées
Proposition : Soit T une distribution tempérée et α P Nd . La distribution
tempérée. L’opérateur T ÞÑ B α T est continu de S 1 pRd q dans lui-même.
Bα T
est une distribution
Proposition-Définition : Soit T une distribution tempérée et g une fonction à croissance lente. L’application définie sur S pRd q par ϕ ÞÑ xT, gϕy est une distribution tempérée appelée produit de T par g et
notée g.T . L’opérateur T ÞÑ g.T est continu de S 1 pRd q dans lui-même.
Comme S pRd q est stable par convolution, on peut définir gratuitement le produit de convolution d’une
distribution tempérée et d’une fonction à décroissance rapide :
Proposition-Définition : Soit T P S 1 pRd q et ψ P S pRd q. L’application définie sur S pRd q par
ϕ ÞÑ xT, ψ̌ ϕy est une distribution tempérée appelée produit de convolution de T par ψ et notée ψ T .
L’opérateur T ÞÑ ψ T est continu de S 1 pRd q dans lui-même.
Remarque 1 : Dans le même esprit qu’une remarque effectuée précédemment, cette définition peut-être
considérablement généralisée : la convolution peut-être définie exactement de la même manière avec un
élément de L1S pRd q.
2
2.3
Transformée de Fourier des distributions tempérées
Théorème-Définition : Soit T P S 1 pRd q. L’application définie sur S pRd q par ϕ
distribution tempérée appelée transformée de Fourier de T et notée T̂ ou F pT q.
ÞÑ xT, ϕ̂y est une
Théorème :
Soit T P S 1 pRd q. L’application définie sur S pRd q par ϕ ÞÑ xT, F 1 pϕqy est une distribution tempérée
appelée transformée de Fourier inverse de T et notée F 1 pT q. Les applications linéaires F et F 1 sont
continues de S 1 pRd q dans lui-même et inverses l’une de l’autre.
Comme d’habitude toutes ces définitions prolongent le cadre fonctionnel déjà vu. Les formules connues
se généralisent :
{
Proposition : Soit T une distribution tempérée. Pour tout k
ixk .T .
y
P J1, dK on a Bk T iξk .T̂
et
Bk T̂ Remarque : Les produits sont biens définis car les distributions sont tempérées et les fonctions polynômiales !
Proposition : Soient T
z
P S 1 pRd q et ϕ P S pRd q, alors ϕ T ϕ̂.T̂ .
Théorème : Si T est une distribution à support compact, sa transformée de Fourier est une fonction
à croissance lente, i.e. T̂ P OM pRd q et une expression de celle-ci est donnée par T̂ pξ q : xT, eξ y où
eξ : x ÞÑ eixξ .
Remarque : On sait que l’ensemble des distributions à supports compacts coïncide avec le dual de C 8 pRd q :
le crochet a bien un sens.
Proposition : Soit T une distribution à support compact. La convolution par T est un opérateur linéaire
continu de S pRd q dans lui-même et de S 1 pRd q dans lui-même.
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