1 L`espace de Schwartz
Université Pierre et Marie Curie Analyse réelle, MM003
Master de Mathématiques, M1 Année universitaire 2014-2015
Ayman Moussa
Rappels de Cours – Distributions tempérées.
Pour α“ pα1,...,αdq PP Nd, on note |α| “ α1`¨ ¨ ¨ αd, et pour x“ px1,...,xdq P Rd,xα:“xα1
1¨¨¨xαd
d.
Pour fPL1pRdqon note ˆ
fou bien Fpfqsa transformée de Fourier.
1 L’espace de Schwartz
Définition : Une fonction f:RdÑRest dite à décroissance rapide si elle est indéfiniment différen-
tiable et si pour tout α, β PNd,pα,β pfq:“sup
xPRd
|xαBβfpxq| ă 8. L’ensemble des fonctions à décroissance
rapide est l’espace de Schwartz, noté SpRdq.
Remarque : Il est facile de voir qu’une fontion est à décroissance rapide si et seulement si le produit de
toutes ses dérivées par n’importe quel polynôme tend vers 0en l’infini.
Définition : Une fonction f:RdÑRest dite à croissance lente si elle est indéfiniment différentiable
et si pour tout αPNd, il existe CαPRet qαPNtels que |Bαfpxq| ď Cαp1` }x}qqα. Cet espace est noté
OMpRdq.
Remarque : Les fonctions à croissance à lente sont donc, elles et leurs dérivées, à croissance au plus
polynômiale à l’infini.
Proposition : SpRdqmuni de la famille dénombrable de semi-normes ppα,β qpα,βqPNdˆNdest un espace
de Fréchet qui s’injecte continûment dans C0pRdqet LppRdq, pour tout pP r1,8s.
Remarque : Il est parfois plus commode de remplacer les semi-normes pα,β pfq “ sup
xPRd
|xαBβfpxq| par la
famille qm,β pfq:“sup
xPRd
p1` }x}2qm|Bβfpxq| avec pm, βq P NˆNd, on obtient bien sûr la même topologie.
Les fonctions tests sont un cas particulier de fonctions à décroissance rapide :
Proposition : DpRdqãÑSpRdqavec injection continue et image dense.
SpRdqest un espace de Montel :
Proposition : Les compacts de SpRdqsont les fermés bornés.
Théorème :
Tous les opérateurs suivants sont des applications linéaires continues de SpRdqdans lui-même :
(i) les translations τapour aPRd:τafpxq:“fpx´aq,
(ii) les dilatations dλpour λPR˚:dλfpxq:“fpx{λq,
(iii) les dérivations Bαpour αPNd,Bαf:“ Bα1
x1¨¨¨Bαd
xdf,
(iv) la convolution par un élément gPSpRdq:g‹fpxq:“żRd
gpx´yqfpyqdy,
(v) la multiplication par un élément gPOMpRdq:pgf qpxq “ gpxqfpxq,
(vi) la transformation de Fourier : Fpϕq “ ˆ
fpξq:“żRd
fpxqe´ix¨ξdx. Cette dernière est même un
isomorphisme d’algèbre de pSpRdq,‹q sur pSpRdq,ˆq dont l’inverse est F´1:ϕÞÑ p2πq´dˇ
ˆϕ.
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Remarque 1:Le point pivqpeut-être précisé légèrement : en réalité si gest une fonction dont le produit
avec tout polynôme est intégrable ( i.e. gPL1
SpRdq- voir le cours), alors la convolution par gdéfinit
également un opérateur linéaire continu de SpRdqdans lui-même (sans aucune hypothèse de régularité
sur g).
Remarque 2:Les deux derniers points sont les principales différences avec DpRdq. La stabilité par trans-
formée de Fourier va nous permettre d’étendre celle-ci à une classe particulière de distributions.
2 Distributions tempérées
2.1 Définition et premières propriétés
Définition : Le dual topologique de SpRdqest noté S1pRdq, c’est l’espace des distributions tempé-
rées. On le munit dans toute la suite de la topologie faible-‹.
L’injection à image dense DpRdqãÑSpRdqse renverse quand on passe au dual :
Proposition : Si SPS1pRdq, la restriction Tde SàDpRdqest une distribution sur Rdvérifiant pour
une certaine constante C, un certain entier qPNet toute fonction test ϕ:
|xT, ϕy| ď Csup
xPRd,|α|ďq
p1` }x}qq|Bαϕpxq|.
Inversement, une distribution Tvérifiant une une inégalité de la forme précédente se prolonge de façon
unique en une distribution tempérée.
Proposition : Une distribution à support compact est tempérée. Une distribution tempérée est néces-
sairement d’ordre fini.
On sait que tout élément de L1
locpRdqdéfinit une distribution. Ce résultat tombe en défaut dans le cas
des distributions tempérées : il faut imposer une condition de comportement à l’infini aux fonctions pour
s’assurer que celles-ci définissent bel et bien une distribution tempérée :
Proposition : Il existe des fonctions fPL1
locpRdqtelles que Tfne se prolonge pas en une distribution
tempérée. Une condition suffisante pour assurer que Tfse prolonge en une distribution tempérée est
l’existence de mPNet de pP r1,8s tels que la fonction xÞÑ p1` }x}2q´mfpxqappartiennent LppRdq.
2.2 Opérations sur les distributions tempérées
Proposition : Soit Tune distribution tempérée et αPNd. La distribution BαTest une distribution
tempérée. L’opérateur TÞÑ BαTest continu de S1pRdqdans lui-même.
Proposition-Définition : Soit Tune distribution tempérée et gune fonction à croissance lente. L’ap-
plication définie sur SpRdqpar ϕÞÑ xT, gϕyest une distribution tempérée appelée produit de Tpar get
notée g.T . L’opérateur TÞÑ g.T est continu de S1pRdqdans lui-même.
Comme SpRdqest stable par convolution, on peut définir gratuitement le produit de convolution d’une
distribution tempérée et d’une fonction à décroissance rapide :
Proposition-Définition : Soit TPS1pRdqet ψPSpRdq. L’application définie sur SpRdqpar
ϕÞÑ xT, ˇ
ψ‹ϕyest une distribution tempérée appelée produit de convolution de Tpar ψet notée ψ‹T.
L’opérateur TÞÑ ψ‹Test continu de S1pRdqdans lui-même.
Remarque 1:Dans le même esprit qu’une remarque effectuée précédemment, cette définition peut-être
considérablement généralisée : la convolution peut-être définie exactement de la même manière avec un
élément de L1
SpRdq.
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2.3 Transformée de Fourier des distributions tempérées
Théorème-Définition : Soit TPS1pRdq. L’application définie sur SpRdqpar ϕÞÑ xT, ˆϕyest une
distribution tempérée appelée transformée de Fourier de Tet notée ˆ
Tou FpTq.
Théorème :
Soit TPS1pRdq. L’application définie sur SpRdqpar ϕÞÑ xT, F´1pϕqy est une distribution tempérée
appelée transformée de Fourier inverse de Tet notée F´1pTq. Les applications linéaires Fet F´1sont
continues de S1pRdqdans lui-même et inverses l’une de l’autre.
Comme d’habitude toutes ces définitions prolongent le cadre fonctionnel déjà vu. Les formules connues
se généralisent :
Proposition : Soit Tune distribution tempérée. Pour tout kPJ1, dKon a y
BkT“iξk.ˆ
Tet Bkˆ
T“
{
´ixk.T .
Remarque : Les produits sont biens définis car les distributions sont tempérées et les fonctions polynô-
miales !
Proposition : Soient TPS1pRdqet ϕPSpRdq, alors z
ϕ‹T“ˆϕ. ˆ
T.
Théorème : Si Test une distribution à support compact, sa transformée de Fourier est une fonction
à croissance lente, i.e. ˆ
TPOMpRdqet une expression de celle-ci est donnée par ˆ
Tpξq:“ xT, eξyoù
eξ:xÞÑ e´ix¨ξ.
Remarque : On sait que l’ensemble des distributions à supports compacts coïncide avec le dual de C8pRdq:
le crochet a bien un sens.
Proposition : Soit Tune distribution à support compact. La convolution par Test un opérateur linéaire
continu de SpRdqdans lui-même et de S1pRdqdans lui-même.
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