1 L`espace de Schwartz

Université Pierre et Marie Curie
Master de Mathématiques, M1
Analyse réelle, MM003
Année universitaire 2014-2015
Ayman Moussa
[email protected]
Rappels de Cours – Distributions tempérées.
αd
1
Pour α “ pα1 , . . . , αd q PP Nd , on note |α| “ α1 `¨ ¨ ¨ αd , et pour x “ px1 , . . . , xd q P Rd , xα :“ xα
1 ¨ ¨ ¨ xd .
1
d
ˆ
Pour f P L pR q on note f ou bien F pf q sa transformée de Fourier.
1
L’espace de Schwartz
Définition : Une fonction f : Rd Ñ R est dite à décroissance rapide si elle est indéfiniment différentiable et si pour tout α, β P Nd , pα,β pf q :“ sup |xα B β f pxq| ă 8. L’ensemble des fonctions à décroissance
xPRd
rapide est l’espace de Schwartz, noté SpRd q.
Remarque : Il est facile de voir qu’une fontion est à décroissance rapide si et seulement si le produit de
toutes ses dérivées par n’importe quel polynôme tend vers 0 en l’infini.
Définition : Une fonction f : Rd Ñ R est dite à croissance lente si elle est indéfiniment différentiable
et si pour tout α P Nd , il existe Cα P R et qα P N tels que |B α f pxq| ď Cα p1 ` }x}qqα . Cet espace est noté
OM pRd q.
Remarque : Les fonctions à croissance à lente sont donc, elles et leurs dérivées, à croissance au plus
polynômiale à l’infini.
Proposition : SpRd q muni de la famille dénombrable de semi-normes ppα,β qpα,βqPNd ˆNd est un espace
de Fréchet qui s’injecte continûment dans C0 pRd q et Lp pRd q, pour tout p P r1, 8s.
Remarque : Il est parfois plus commode de remplacer les semi-normes pα,β pf q “ sup |xα B β f pxq| par la
xPRd
2 m
β
d
famille qm,β pf q :“ sup p1 ` }x} q |B f pxq| avec pm, βq P N ˆ N , on obtient bien sûr la même topologie.
xPRd
Les fonctions tests sont un cas particulier de fonctions à décroissance rapide :
Proposition : DpRd q ãÑ SpRd q avec injection continue et image dense.
SpRd q est un espace de Montel :
Proposition : Les compacts de SpRd q sont les fermés bornés.
Théorème :
Tous les opérateurs suivants sont des applications linéaires continues de SpRd q dans lui-même :
(i) les translations τa pour a P Rd : τa f pxq :“ f px ´ aq,
(ii) les dilatations dλ pour λ P R˚ : dλ f pxq :“ f px{λq,
(iii) les dérivations B α pour α P Nd , B α f :“ Bxα11 ¨ ¨ ¨ Bxαdd f ,
d
(iv) la convolution par un élément g P SpR q : g ‹ f pxq :“
ż
gpx ´ yqf pyqdy,
Rd
(v) la multiplication par un élément g P OM pRd q : pgf qpxq “ gpxqf pxq,
ż
(vi) la transformation de Fourier : F pϕq “ fˆpξq :“
f pxqe´ix¨ξ dx. Cette dernière est même un
Rd
ˇ
isomorphisme d’algèbre de pSpRd q, ‹q sur pSpRd q, ˆq dont l’inverse est F ´1 : ϕ ÞÑ p2πq´d ϕ̂.
1
Remarque 1 : Le point pivq peut-être précisé légèrement : en réalité si g est une fonction dont le produit
avec tout polynôme est intégrable ( i.e. g P L1S pRd q - voir le cours), alors la convolution par g définit
également un opérateur linéaire continu de SpRd q dans lui-même (sans aucune hypothèse de régularité
sur g).
Remarque 2 : Les deux derniers points sont les principales différences avec DpRd q. La stabilité par transformée de Fourier va nous permettre d’étendre celle-ci à une classe particulière de distributions.
2
2.1
Distributions tempérées
Définition et premières propriétés
Définition : Le dual topologique de SpRd q est noté S 1 pRd q, c’est l’espace des distributions tempérées. On le munit dans toute la suite de la topologie faible-‹.
L’injection à image dense DpRd q ãÑ SpRd q se renverse quand on passe au dual :
Proposition : Si S P S 1 pRd q, la restriction T de S à DpRd q est une distribution sur Rd vérifiant pour
une certaine constante C, un certain entier q P N et toute fonction test ϕ :
|xT, ϕy| ď C
p1 ` }x}q q|B α ϕpxq|.
sup
xPRd ,|α|ďq
Inversement, une distribution T vérifiant une une inégalité de la forme précédente se prolonge de façon
unique en une distribution tempérée.
Proposition : Une distribution à support compact est tempérée. Une distribution tempérée est nécessairement d’ordre fini.
On sait que tout élément de L1loc pRd q définit une distribution. Ce résultat tombe en défaut dans le cas
des distributions tempérées : il faut imposer une condition de comportement à l’infini aux fonctions pour
s’assurer que celles-ci définissent bel et bien une distribution tempérée :
Proposition : Il existe des fonctions f P L1loc pRd q telles que Tf ne se prolonge pas en une distribution
tempérée. Une condition suffisante pour assurer que Tf se prolonge en une distribution tempérée est
l’existence de m P N et de p P r1, 8s tels que la fonction x ÞÑ p1 ` }x}2 q´m f pxq appartiennent Lp pRd q.
2.2
Opérations sur les distributions tempérées
Proposition : Soit T une distribution tempérée et α P Nd . La distribution B α T est une distribution
tempérée. L’opérateur T ÞÑ B α T est continu de S 1 pRd q dans lui-même.
Proposition-Définition : Soit T une distribution tempérée et g une fonction à croissance lente. L’application définie sur SpRd q par ϕ ÞÑ xT, gϕy est une distribution tempérée appelée produit de T par g et
notée g.T . L’opérateur T ÞÑ g.T est continu de S 1 pRd q dans lui-même.
Comme SpRd q est stable par convolution, on peut définir gratuitement le produit de convolution d’une
distribution tempérée et d’une fonction à décroissance rapide :
Proposition-Définition : Soit T P S 1 pRd q et ψ P SpRd q. L’application définie sur SpRd q par
ϕ ÞÑ xT, ψ̌ ‹ ϕy est une distribution tempérée appelée produit de convolution de T par ψ et notée ψ ‹ T .
L’opérateur T ÞÑ ψ ‹ T est continu de S 1 pRd q dans lui-même.
Remarque 1 : Dans le même esprit qu’une remarque effectuée précédemment, cette définition peut-être
considérablement généralisée : la convolution peut-être définie exactement de la même manière avec un
élément de L1S pRd q.
2
2.3
Transformée de Fourier des distributions tempérées
Théorème-Définition : Soit T P S 1 pRd q. L’application définie sur SpRd q par ϕ ÞÑ xT, ϕ̂y est une
distribution tempérée appelée transformée de Fourier de T et notée T̂ ou F pT q.
Théorème :
Soit T P S 1 pRd q. L’application définie sur SpRd q par ϕ ÞÑ xT, F ´1 pϕqy est une distribution tempérée
appelée transformée de Fourier inverse de T et notée F ´1 pT q. Les applications linéaires F et F ´1 sont
continues de S 1 pRd q dans lui-même et inverses l’une de l’autre.
Comme d’habitude toutes ces définitions prolongent le cadre fonctionnel déjà vu. Les formules connues
se généralisent :
Proposition : Soit T une distribution tempérée. Pour tout k P J1, dK on a By
k T “ iξk .T̂ et Bk T̂ “
{
´ix
.T
.
k
Remarque : Les produits sont biens définis car les distributions sont tempérées et les fonctions polynômiales !
Proposition : Soient T P S 1 pRd q et ϕ P SpRd q, alors ϕz
‹ T “ ϕ̂.T̂ .
Théorème : Si T est une distribution à support compact, sa transformée de Fourier est une fonction
à croissance lente, i.e. T̂ P OM pRd q et une expression de celle-ci est donnée par T̂ pξq :“ xT, eξ y où
eξ : x ÞÑ e´ix¨ξ .
Remarque : On sait que l’ensemble des distributions à supports compacts coïncide avec le dual de C 8 pRd q :
le crochet a bien un sens.
Proposition : Soit T une distribution à support compact. La convolution par T est un opérateur linéaire
continu de SpRd q dans lui-même et de S 1 pRd q dans lui-même.
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