1 Produits tensoriels 2 Convolution

Université Pierre et Marie Curie
Master de Mathématiques, M1
Analyse réelle, MM003
Année universitaire 2014-2015
Ayman Moussa
[email protected]
TD no 8 – Produits tensoriels et convolutifs.
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Produits tensoriels
Exercice 1.1:
Pour α P Nd , et a P Rd que vaut
Âd
pαi q
i“1 δai
?
Exercice 1.2: Distribution ne dépendant pas d’une variable
Soit T P D 1 pRd q (d ě 2).
1. Démontrer que, s’il existe S P D 1 pRd´1 q tel que T “ 1 b S, alors Bx1 T “ 0.
2. Réciproquement on suppose que Bx1 T “ 0.
(a) Démontrer que, pour tout ψ P DpRd´1 q il existe une unique constante Spψq telle que
ż
@ϕ P DpRq, xT, ϕ b ψy “ Spψq ϕpxqdx.
R
Indication : La fonction ψ étant fixée, démontrer que la forme linéaire ` définie sur DpRq par
@ϕ P DpRq,
x`, ϕy :“ xT, ϕ b ψy
est une distribution et que `1 “ 0.
(b) Démontrer que l’application ψ ÞÑ Spψq est une distribution sur Rd´1 et que T “ 1 b S.
Indication : Soit χ P DpRq d’intégrale 1. Alors Spψq “ xT, χ b ψy.
Exercice 1.3:
1. Résoudre dans D 1 pRq, xT “ 0.
Indication : Fixer θ P DpRq valant 1 en 0. Vérifier alors que pour toute fonction test ϕ P DpRq,
ϕ ´ ϕp0qθ s’écrit xψ où ψ P DpRq.
2. Résoudre maintenant x1 T “ 0 dans D 1 pRd q.
Exercice 1.4: Heaviside
On note H :“ 1R` la fonction de Heaviside.
Âd
1. Pour J Ă t1, . . . , du, on considère H J :“ i“1 HiJ où HiJ “ H si i P J, δ0 sinon. De quel opérateur
différentiel H J est-elle une solution fondamentale ?
2. Calculer la dérivée d’ordre n de fn pxq “ xn Hpxq (dimension 1).
3. En déduire une solution fondamentale de l’opérateur B α pour α P Nd .
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Convolution
Même si ce n’est pas explicitement mentionné, on vérifiera systématiquement que les produits de
convolution manipulés sont bien définis.
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Exercice 2.1: Généralités
1. Soit T P D 1 pRd q. Soit θ P DpRd q, égale à 1 dans un voisinage de 0, on note θn pxq :“ θpx{nq. Soit
pαn qnPN P DpRd q une approximation de l’unité que l’on suppose paire (pour simplifier, mais ce n’est
pas nécessaire). Vérifier que ϕn :“ pT ‹ αn qθn P DpRd q et que pϕn qnPN á T dans D 1 pRd q.
Remarque : On a bien sûr un résultat similaire pour un ouvert Ω quelconque.
2. Vérifier que pour tout a P Rd , l’opérateur de translation τa est en fait un opérateur de convolution,
i.e. qu’il existe une distribution Sa tels que τa T “ T ‹ Sa .
Indication : Calculer T ‹ δa ...
3. Reprendre la question précédente avec les opérateurs de dérivations B α , où α P Nd .
4. Pour x, y P Rd , calculer δx ‹ δy . Calculer (en dimension 1) δ01 ‹ δ01 .
5. En considérant la fonction de Heaviside (i.e. H :“ 1R` ), la dérivée de la masse de Dirac et la fonction
constante égale à 1, montrer que, sans hypothèses sur les supports, le produit de convolution de
trois distributions peut ne pas être associatif.
Remarque : On peut étendre la définition de « convolutivité » au cas d’un nombre fini quelconque
de distributions. Dans ce cas, si la famille est convoluable (dans son ensemble), alors le produit est
bien associatif. Le problème ici est justement que 1 et H ne sont pas convoluables et du coup la
famille p1, H, δq non plus !
Exercice 2.2: Densité des polynômes
1. Soit T une distribution de D 1 pRd q. Montrer qu’il existe une suite de distributions pTn qnPN à support
compact tendant vers T dans D 1 pRd q.
2. Soit T une distribution et m un entier naturel non nul tels que pour tout multi-indice α vérifiant
|α| ě m, B α T “ 0. Montrer que T est une fonction polynômiale (de plusieurs variables) de degré
total inférieur ou égal à m ´ 1.
Indication : Le cas m “ 1 est en fait un résultat du cours, que l’on pourra utiliser tel quel : si
Bxi T “ 0 pour tout i P J1, dK, alors T est une constante.
3. Soit T une distribution à support compact et P un polynôme. Montrer que la distribution T ‹ P
est en fait un polynôme.
4. On considère la suite de polynômes de d variables
nd
Pn pxq :“ ? d
π
ˆ
˙n3
}x}2
1´
.
n
(a) Montrer que, pour tout u P Rd , lim n´d Pn pu{nq “
nÑ`8
?
π
´d ´}u}2
e
.
(b) Montrer que la suite pPn qnPN converge dans D 1 pRd q et calculer la limite.
ż
2
e´t dt “
Indication : On pensera au changement de variable u “ nx. On rappelle que
?
π.
R
5. Déduire de tout ce qui précède la densité des polynômes dans D 1 pRd q.
Exercice 2.3: Commutants
1. Soit L : DpRd q Ñ C 8 pRd q une application linéaire continue qui commute avec les opérateurs de
translations τx . Démontrer qu’il existe une distribution T P D 1 pRd q telle que pour tout ϕ P DpRd q,
Lpϕq :“ T ‹ ϕ.
Indication : Observer que, nécessairement, xT, ϕy “ Lpϕ̌qp0q.
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2. Soit maintenant M : DpRd q Ñ C 8 pRd q une application linéaire continue qui commute avec les
opérateurs de dérivations Bxj , j P J1, dK.
(a) On fixe ϕ P DpRd q et u P Rd . On pose hpxq :“ pτ´x M τx qpϕqpuq.
(i) On considère la fonction
Φ : Rd ˆ Rd ÝÑ R
”
ı
pa, bq ÞÝÑ pτ´a M τb qpϕqpuq “ M z ÞÑ ϕpz ´ bq pu ` aq.
Vérifier que Φ est dérivable par rapport à ses d premières variables et calculer l’expressions
des dérivées partielles correspondantes.
(ii) Faire de même pour les d dernières variables.
Indication : On reviendra à la définition à partir des taux d’accroissements directionnels.
On rappelle que pour ϕ P DpRd q, h´1 pτ´hei ϕ ´ ϕq ÝÑ Bxi ϕ dans DpRd q.
hÑ0
(iii) En déduire que h est constante puis que M commute avec les opérateurs de translations.
(b) Prouver finalement l’existence de T P D 1 pRd q telle que pour tout ϕ P DpRd q, M pϕq :“ T ‹ ϕ.
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Solutions fondamentales
Exercice 3.1: Hypoellipticité
Le but de cet exercice est de démontrer qu’un opérateur différentiel à coefficient constant admettant
une solution fondamentale dont le support singulier est réduit à t0u vérifie une propriété de régularisation
intéressante. Soit donc P pBq un tel opérateur, E une solution fondamentale supposée égale à une fonction
C 8 sur Rd zt0u. Nous allons montrer que si T P D 1 pRd q vérifie P pBqpT q “ f P C 8 pRd q, alors T P C 8 pRd q.
1. Soit η P DpRd q égale à 1 sur Bp0, 1q. Montrer que ψ :“ P pBqpηEq ´ δ P DpRd q.
2. Prouver que pour T P D 1 pRd q, on a T “ pηEq‹P pBqpT q´ψ‹T et en déduire que si P pBqpT q P C 8 pRd q
alors T est effectivement une fonction C 8 pRd q.
3. Donner des exemples d’opérateurs différentiels vérifiant cette propriété.
Remarque : De manière un peu plus générale, un opérateur différentiel P pBq est dit hypoelliptique si
pour toute distribution T on a SingSupppP pBqpT q “ SingSupppT q. On peut remarquer que l’inclusion
SingSupppP pBqpT q Ď SingSupppT q est toujours vérifiée, si bien que l’hypoellipticité se ramène à montrer
l’inclusion inverse. C’est ce que nous avons fait dans cet exercice, dans le cas particulier où P pBqpT q est
une fonction lisse, ce qui veut dire que son support singulier est l’ensemble vide.
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Exercice 3.2: L’algèbre D`
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On pose D`
:“ tT P D 1 pRq : SupppT q Ă r0, `8ru.
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1. Montrer que D`
est une algèbre de convolution unitaire contenant H, la fonction de Heaviside 1R` .
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2. Déterminer l’inverse (pour ‹) dans D`
de H, δ 1 et δ 1 ´ λδ pour λ P C. Lorsque l’inverse de T P D`
´1
existe on le note T .
3. Si P pdq est un opérateur différentiel à coefficients constants (une variable). Que représente l’élément
rP pdqpδqs´1 si il existe ?
4. Soit P un polynôme non nul de racines z1 , . . . , zm . Exprimer P pdqpδq comme un produit de convo1
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lution de m éléments de D`
. En déduire que P pdqpδq possède un inverse dans l’algèbre D`
que l’on
déterminera. Qu’en déduit-on ?
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