1 Produits tensoriels 2 Convolution

Université Pierre et Marie Curie Analyse réelle, MM003
Master de Mathématiques, M1Année universitaire 2014-2015
Ayman Moussa
[email protected]
TD no8– Produits tensoriels et convolutifs.
1 Produits tensoriels
Exercice 1.1:
Pour αPNd, et aPRdque vaut Âd
i“1δpαiq
ai?
Exercice 1.2: Distribution ne dépendant pas d’une variable
Soit TPD1pRdq(dě2).
1. Démontrer que, s’il existe SPD1pRd´1qtel que T“1bS, alors Bx1T“0.
2. Réciproquement on suppose que Bx1T“0.
(a) Démontrer que, pour tout ψPDpRd´1qil existe une unique constante Spψqtelle que
@ϕPDpRq,xT, ϕ bψy “ SpψqżR ϕpxqdx.
Indication : La fonction ψétant fixée, démontrer que la forme linéaire `définie sur DpRqpar
@ϕPDpRq,x`, ϕy:“ xT, ϕ bψy
est une distribution et que `1“0.
(b) Démontrer que l’application ψÞÑ Spψqest une distribution sur Rd´1et que T“1bS.
Indication : Soit χPDpRqd’intégrale 1. Alors Spψq“xT, χ bψy.
Exercice 1.3:
1. Résoudre dans D1pRq,xT “0.
Indication : Fixer θPDpRqvalant 1en 0. Vérifier alors que pour toute fonction test ϕPDpRq,
ϕ´ϕp0qθs’écrit xψ où ψPDpRq.
2. Résoudre maintenant x1T“0dans D1pRdq.
Exercice 1.4: Heaviside
On note H:“1R`la fonction de Heaviside.
1. Pour JĂ t1, . . . , du, on considère HJ:“Âd
i“1HJ
ioù HJ i“Hsi iPJ,δ0sinon. De quel opérateur
différentiel HJest-elle une solution fondamentale ?
2. Calculer la dérivée d’ordre nde fnpxq “ xnHpxq(dimension 1).
3. En déduire une solution fondamentale de l’opérateur Bαpour αPNd.
2 Convolution
Même si ce n’est pas explicitement mentionné, on vérifiera systématiquement que les produits de
convolution manipulés sont bien définis. 1

Exercice 2.1: Généralités
1. Soit TPD1pRdq. Soit θPDpRdq, égale à 1dans un voisinage de 0, on note θnpxq:“θpx{nq. Soit
pαnqnPNPDpRdqune approximation de l’unité que l’on suppose paire (pour simplifier, mais ce n’est
pas nécessaire). Vérifier que ϕn:“ pT‹αnqθnPDpRdqet que pϕnqnPNáTdans D1pRdq.
Remarque : On a bien sûr un résultat similaire pour un ouvert Ωquelconque.
2. Vérifier que pour tout aPRd, l’opérateur de translation τaest en fait un opérateur de convolution,
i.e. qu’il existe une distribution Satels que τaT“T‹Sa.
Indication : Calculer T‹δa...
3. Reprendre la question précédente avec les opérateurs de dérivations Bα, où αPNd.
4. Pour x, y PRd, calculer δx‹δy. Calculer (en dimension 1)δ1
0‹δ1 0.
5. En considérant la fonction de Heaviside (i.e. H:“1R`), la dérivée de la masse de Dirac et la fonction
constante égale à 1, montrer que, sans hypothèses sur les supports, le produit de convolution de
trois distributions peut ne pas être associatif.
Remarque : On peut étendre la définition de « convolutivité » au cas d’un nombre fini quelconque
de distributions. Dans ce cas, si la famille est convoluable (dans son ensemble), alors le produit est
bien associatif. Le problème ici est justement que 1et Hne sont pas convoluables et du coup la
famille p1, H, δqnon plus !
Exercice 2.2: Densité des polynômes
1. Soit Tune distribution de D1pRdq. Montrer qu’il existe une suite de distributions pTnqnPNà support
compact tendant vers Tdans D1pRdq.
2. Soit Tune distribution et mun entier naturel non nul tels que pour tout multi-indice αvérifiant
|α| ě m,BαT“0. Montrer que Test une fonction polynômiale (de plusieurs variables) de degré
total inférieur ou égal à m´1.
Indication : Le cas m“1est en fait un résultat du cours, que l’on pourra utiliser tel quel : si
BxiT“0pour tout iPJ1, dK, alors Test une constante.
3. Soit Tune distribution à support compact et Pun polynôme. Montrer que la distribution T‹P
est en fait un polynôme.
4. On considère la suite de polynômes de dvariables
Pnpxq:“nd
?πdˆ1´}x}2
n˙n3
.
(a) Montrer que, pour tout uPRd,lim
nÑ`8 n´dPnpu{nq “ ?π´de´}u}2.
(b) Montrer que la suite pPnqnPNconverge dans D1pRdqet calculer la limite.
Indication : On pensera au changement de variable u“nx. On rappelle que żR e´t2dt“?π.
5. Déduire de tout ce qui précède la densité des polynômes dans D1pRdq.
Exercice 2.3: Commutants
1. Soit L:DpRdq Ñ C8pRdqune application linéaire continue qui commute avec les opérateurs de
translations τx. Démontrer qu’il existe une distribution TPD1pRdqtelle que pour tout ϕPDpRdq,
Lpϕq:“T‹ϕ.
Indication : Observer que, nécessairement, xT, ϕy “ Lpˇϕqp0q.
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2. Soit maintenant M:DpRdq Ñ C8pRdqune application linéaire continue qui commute avec les
opérateurs de dérivations Bxj,jPJ1, dK.
(a) On fixe ϕPDpRdqet uPRd. On pose hpxq:“ pτ´xMτxqpϕqpuq.
(i) On considère la fonction
Φ : RdˆRdÝÑ R
pa, bq ÞÝÑ pτ´aMτbqpϕqpuq “ M”zÞÑ ϕpz´bqıpu`aq.
Vérifier que Φest dérivable par rapport à ses dpremières variables et calculer l’expressions
des dérivées partielles correspondantes.
(ii) Faire de même pour les ddernières variables.
Indication : On reviendra à la définition à partir des taux d’accroissements directionnels.
On rappelle que pour ϕPDpRdq,h´1pτ´heiϕ´ϕqÝÑ
hÑ0Bxiϕdans DpRdq.
(iii) En déduire que hest constante puis que Mcommute avec les opérateurs de translations.
(b) Prouver finalement l’existence de TPD1pRdqtelle que pour tout ϕPDpRdq,Mpϕq:“T‹ϕ.
3 Solutions fondamentales
Exercice 3.1: Hypoellipticité
Le but de cet exercice est de démontrer qu’un opérateur différentiel à coefficient constant admettant
une solution fondamentale dont le support singulier est réduit à t0uvérifie une propriété de régularisation
intéressante. Soit donc PpBq un tel opérateur, Eune solution fondamentale supposée égale à une fonction
C8sur Rdzt0u. Nous allons montrer que si TPD1pRdqvérifie PpBqpTq “ fPC8pRdq, alors TPC8pRdq.
1. Soit ηPDpRdqégale à 1sur Bp0,1q. Montrer que ψ:“PpBqpηEq ´ δPDpRdq.
2. Prouver que pour TPD1pRdq, on a T“ pηEq‹PpBqpTq´ψ‹Tet en déduire que si PpBqpTq P C8pRdq
alors Test effectivement une fonction C8pRdq.
3. Donner des exemples d’opérateurs différentiels vérifiant cette propriété.
Remarque : De manière un peu plus générale, un opérateur différentiel PpBq est dit hypoelliptique si
pour toute distribution Ton a SingSupppPpBqpTq “ SingSupppTq. On peut remarquer que l’inclusion
SingSupppPpBqpTq Ď SingSupppTqest toujours vérifiée, si bien que l’hypoellipticité se ramène à montrer
l’inclusion inverse. C’est ce que nous avons fait dans cet exercice, dans le cas particulier où PpBqpTqest
une fonction lisse, ce qui veut dire que son support singulier est l’ensemble vide.
Exercice 3.2: L’algèbre D1
`
On pose D1
`:“ tTPD1pRq:SupppTqĂr0,`8ru.
1. Montrer que D1
`est une algèbre de convolution unitaire contenant H, la fonction de Heaviside 1R`.
2. Déterminer l’inverse (pour ‹) dans D1
`de H,δ1et δ1´λδ pour λPC. Lorsque l’inverse de TPD1 `
existe on le note T´1.
3. Si Ppdqest un opérateur différentiel à coefficients constants (une variable). Que représente l’élément
rPpdqpδqs´1si il existe ?
4. Soit Pun polynôme non nul de racines z1, . . . , zm. Exprimer Ppdqpδqcomme un produit de convo-
lution de méléments de D1
`. En déduire que Ppdqpδqpossède un inverse dans l’algèbre D1 `que l’on
déterminera. Qu’en déduit-on ?
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