RÉSISTANCES ∫∫

Résistances page 1/2
RÉSISTANCES
VRAI FAUX
La force subie par un électron dans un champ magnétique
B
est
(
)
F e B
= −
La densité de charge dans le modèle 2D est usuellement notée σ.
La définition du vecteur densité de courant est
3D s
S
i J n dS
= ⋅
∫∫
L’expression du vecteur densité de courant est
3
1
n
D i
i
i
J n ev
=
=∑
L’équation locale de conservation de la charge est
(
)
rot 0
J
t
∂ρ
+ =
∂
La loi des nœuds est une conséquence de la conservation de la charge en régime station-
naire.
La loi locale d’Ohm s’écrit
x
J U e
= γ où U est la tension.
Le modèle de Drude introduit une force proportionnelle à
v
pour modéliser l’interaction
avec les ions du réseau.
La conductivité électrique du cuivre est de l’ordre de 10
7
Ω
–1
⋅ m
–1
.
Le produit
3D
J E
⋅
est la puissance instantanée reçue par les particules chargées mobiles
dans un champ électrique
E
.
Un champ électrique possède les mêmes plans de symétrie que la distribution de courant.
Un champ magnétique possède les mêmes plans de symétrie que la distribution de cou-
rant.
En tout point d’un plan de symétrie de sa source, un champ vectoriel polaire (comme le
champ électrique) est contenu dans ce plan.
En tout point d’un plan de symétrie de sa source, un champ vectoriel axial (comme le
champ magnétique) est contenu dans ce plan.
I-On considère un conducteur électrique se présentant sous la forme d’une couronne cylindrique
d’axe Oz, de hauteur h, délimitée par un cylindre intérieur de rayon r
1
et par un cylindre extérieur de rayon
r
2
. À l’aide d’une source de tension, on impose les potentiels V(r
1
) = V
1
et V(r
2
) = V
2
. On se place en régime
permanent et on néglige les effets de bord, ce qui revient à supposer que le comportement de cette couronne
est le même que si elle était infiniment haute.
L’existence de deux équipotentielles cylindriques permet d’émettre l’hypothèse que le potentiel ne
dépend que de r, ainsi
(
)
V V r
= et l’on peut montrer l’expression du champ électrique
( ) ( )
2 1
2 1
ln /
r
V V
E r e
r r r
−
=
.
La couronne cylindrique est placée dans un champ magnétique
z
B B e
= avec B > 0. Le conducteur
contient n électrons libres par m
3
. On considère de plus le modèle de Drude dans lequel chaque électron de
vitesse
v
est soumis, en plus des forces électromagnétiques, à une force de frottement s’exprimant sous la
forme
F v
= −λ
avec λ > 0.
1) Établir, pour chaque électron en régime permanent, la relation entre
v
,
B
et
E
paramétrée par λ
et la charge élémentaire e. En déduire l’expression, dans la base cylindrique
(
)
, ,
r z
e e e
θ
, des coordonnées
de
v
en fonction de e, λ, E et B puis celles du vecteur densité volumique de courant
J
.
2) Exprimer l’intensité du courant électrique traversant une surface équipotentielle de rayon r. En
déduire la résistance électrique R de la couronne, en fonction de e, n, λ, B, h, r
1
et r
2
.

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On note R
0
la résistance en l’absence de champ magnétique. Exprimer l’écart relatif
0
0
R R
R
−
ε =
en
fonction de e, B et . Calculer la valeur numérique de R
0
ainsi que celle de ε pour B = 1,0 mT, r
1
= 1,0 mm,
r
2
= 3,0 mm, h = 1,0 mm, n = 1,1 ×10
21
m
–3
et λ = 1,8×10
–17
kg⋅s
–1
. Commenter l’utilisation du phénomène
pour la mesure de champs magnétiques.
II- Début de E3A PC 2011
1) Considérons un capteur de température résistif de résistance R(T) à la température T(en K); ali-
menté par un courant I ; il fournit une tension V à ses bornes. Plaçons une résistance R
p
, indépendante de la
température, en parallèle de R(T), comme représenté ci-contre :
La linéarisation de la réponse du capteur au voisinage d’une température T
0
correspond mathémati-
quement à l’existence d’un point d’inflexion sur la variation de la résistance R
d
(T) du dipôle ainsi formé,
pour la température T
0
, soit
(
)
0
2
2
0
d
T T
d R
dT
T
=
=
.
a) Donner l’expression de la résistance R
d
(T) du dipôle formé par R(T) et R
p
.
b) Traduire la condition de linéarisation ; en déduire l’expression de la résistance R
p
permettant cette
linéarisation, en fonction de R(T
0
),
(
)
0
T T
dR
dT
T
=
et
(
)
0
2
2
T T
d R
dT
T
=
.
Le capteur est caractérisé par son coefficient thermique, noté
( )
( )
(
)
1
T
dR T
TR T dT α =
.
c) Préciser le sens physique de ce coefficient.
d) Exprimer le coefficient thermique
(
)
d
T
α en fonction de
(
)
T
α,
(
)
T
R et R
p
. Comparer
(
)
d
T
α à
(
)
T
α, puis conclure.
2) On considère une résistance de nickel modélisable, sur l’étendue de mesure de la température t (en
°C) [–50°C, 350°C], par l’expression suivante :
(
)
2
0
1
R T R At Bt
= + + , avec A et B, deux constantes de
valeurs respectives A = 5,5×10
–3
°C
–1
et B = 6,7×10
–6
°C
–2
et R
0
= 100 Ω .
a) Calculer les valeurs des résistances R(t
1
= –50°C) = R
1
et R(t
2
= 350°C) aux bornes de l’intervalle
de mesure, puis celle de la résistance R(t
0
= 150°C).
b) Tracer les variations de la résistance R(t) dans l’intervalle de mesure ; analyser ce tracé. Calculer
le coefficient thermique à la température de 150°C.
c) Déterminer l’expression de la résistance R
p
nécessaire pour l’opération de linéarisation autour de
t
0
= 150°C (en fonction de R
0
, A, B et t
0
), puis calculer sa valeur. En déduire la valeur du coefficient thermi-
que (à la température de 150°C) du dipôle linéarisé.
On étudie maintenant l’évolution de la résistance R
d
(t) du dipôle en fonction de la température.
d) Écrire l’expression de la résistance R
d
(t) du dipôle en fonction de la température et des constantes
R
0
, A, B et R
p
.
Calculer les valeurs numériques R
d
(t
1
= –50°C) = R
d 1
et R
d
(t
2
= 350°C) = R
d 2
aux bornes de
l’intervalle de mesure, puis tracer, sur le même graphe que précédemment, les variations de la résistance
R
d
(t) dans l’intervalle de mesure ; analyser ce nouveau tracé.
e) En déduire une loi affine simple du type R
d
(t) = at + b, en évaluant les constantes a et b.
Le calcul de la résistance R
p
nécessite de connaître l’expression mathématique de l’évolution de la
résistance du capteur avec la température et surtout les valeurs numériques des coefficients qu’elle ren-
ferme. L’utilisateur ne disposant pas toujours de ces données ou manquant de précision, a la possibilité de
déterminer R
p
en n’effectuant qu’un nombre limité de mesures de la caractéristique du capteur. R
p
s’obtient
avec trois mesures, à trois températures : t
0
autour de laquelle la caractéristique doit être linéaire, t
1
et t
2
,
températures extrêmes de la plage de mesure.
f) Écrire la relation liant les trois valeurs de résistance R
d
(t
0
), R
d
(t
1
) et R
d
(t
2
), en considérant que la li-
néarisation est parfaitement réalisée sur la plage [t
1
; t
2
], centrée sur t
0
.
g) En déduire l’expression de la résistance de linéarisation R
p
en fonction de R(t
0
), R(t
1
) et R(t
2
), puis
calculer sa valeur ; comparer à la méthode précédente.