TD 10 : Circuits linéaires du 2nd ordre

LYCÉE JEAN BART PHYSIQUE - PCSI
I. Tester ses connaissances et sa compréhension du cours
1) Définir et établir un modèle d'oscillateur harmonique en électricité.
2) Dans un second temps, tenir compte des frottements.
3) Rappeler et établir l'analogie entre les oscillateurs électriques et mécaniques.
4) Représenter graphiquement les réponses indicielles d'un circuit RLC série.
5) Que nous apporte l'étude des portraits de phase ?
6) Rappeler les 3 types de régime transitoire possible selon la valeur de l'amortissement.
II. Questions de réflexion – Physique pratique
1) Exemples de régimes transitoires
Donner des exemples de situations concrètes provoquant un régime transitoire pour le fonctionnement
d'un réfrigérateur. Et pour un cœur humain ?
2) Observation de la charge et de l'intensité
On considère un circuit RLC série qui comporte aussi un générateur délivrant un signal en créneaux.
Préciser sur un schéma les montages permettant d'observer l'intensité ou la charge en même temps que
la tension du générateur. On précisera particulièrement la position de la masse.
3) Pseudo-période
Dans le cas d'un régime pseudo-périodique, la pseudo-période est-elle plus ou moins élevée qu'en
l'absence de frottements (régime harmonique), les paramètres autres que les frottements restant fixés ?
4) Temps caractéristiques en électrocinétique
Donner et interpréter les trois temps que l'on peut dimensionnellement construire avec une résistance
R, une inductance L et une capacité C.
III. Exercices d'entraînement
1) Étude de portraits de phase
On considère trois circuits permettant d’étudier la réponse d’un circuit RLC soumis à un échelon de
tension E.
Dans chaque cas, l’interrupteur bascule à t = 0 de la position 1 à la position 2.
Pour chacun des trois circuits, on étudie l'évolution temporelle de la tension aux bornes du
condensateur et on trace le portrait de phase en portant uC(t) en abscisses et i(t) en ordonnées.
(Les échelles sont modifiées d’une figure à l’autre pour plus de lisibilité)
On donne : C = 0,1 µF et L = 100 mH
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1. Associer trois des quatre portraits de phase aux trois circuits étudiés.
2. Pour le portrait de phase restant, proposer des conditions initiales cohérentes.
3. Que peut-on dire du facteur de qualité de ce système ?
4. A l'aide des portraits de phase, déterminer les valeurs numériques de E et R.
5. En déduire les valeurs du facteur de qualité ainsi que la pulsation propre du système.
6. Quel est le temps de réponse du système ?

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2) Caractérisation d'un système linéaire
On étudie la réponse d'un système linéaire d'ordre 2 soumis à une entrée e(t) selon :
L'équation différentielle reliant le signal d'entrée et de sortie est :
8d2s
dt2+8ds
dt +2s(t)=e(t)
1. On soumet ce système à un échelon de tension. Quelle est la courbe correspondant à la réponse
indicielle ?
2. Déterminer l'expression de s(t) sachant que
s(t=0)=0
et
ds
dt (0)=0
3) Interprétation énergétique du facteur de qualité
On considère le circuit ci-contre constitué d'un
condensateur parfait de capacité C, d'une
inductance L en série avec un résistor R et d'un
générateur de tension continue E.
Le commutateur K est initialement en position (1).
Le condensateur sera donc chargé sous la tension E.
Système d'ordre 2
e(t) s(t)
C
R
L
i(t)
E
K
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A l'instant t = 0, le commutateur K est basculé dans la position (2).
La charge q(t) est portée par l'armature proche de l'interrupteur et i(t) est l'intensité dans la branche de
la bobine.
1. Établir l'équation différentielle satisfaite par la charge q du condensateur quand le commutateur K
est basculé dans la position (2)
On se place dans la suite dans le cas d'un amortissement faible, soit Q >> 1.
2. Exprimer q(t) sachant qu'à t = 0 le commutateur K est basculé dans la position (2) et qu'à cet instant
la charge vaut q0
3. Évaluer la pseudo-période T, ainsi que l'ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
4. Représenter l'évolution du système sous la forme q(t) ainsi que dans le plan
(q , ˙ q)
5. Évaluer E(t) l'énergie contenue dans le circuit à l'instant t. Que dire du signe de
dE
dt
?
6. Évaluer la variation relative d'énergie contenue dans le circuit pendant une pseudo-période :
= Et−EtT
Et
7. En déduire une caractérisation du facteur de qualité Q.
4) Régime pseudo-périodique
Un circuit électrique est composé d'une résistance R, d'une
bobine d'inductance pure L et d'un condensateur de capacité
C. Ces dipôles sont disposés en série et on soumet le circuit
à un échelon de tension tel que:
➢pour t < 0, on a e(t) = 0
➢pour t > 0, on a e(t) = E
On pose :
γ= R
2L
et
ω0=1
√
LC
1. Expliquer simplement pourquoi à t = 0 - la charge q et le courant i sont nuls.
2. Établir l'équation différentielle vérifiée par la charge q(t) du condensateur pour t > 0.
Préciser, en les justifiant, les valeurs initiales de la charge q(0+) et de sa dérivée.
Le circuit présente différents régimes suivant les valeurs de R, L et C.
On suppose dans la suite, la condition ω0 > γ réalisée.
3. Montrer que l'expression de la charge pour t > 0 peut se mettre sous la forme
qt= Acos tBsin te− tD
où on déterminera ω, A, B et D en fonction de C, E, ω0 et γ.
4. Exprimer le courant i(t) dans le circuit pour t > 0 en fonction de C, E, ω0 et γ.
R L
C
UC
UL
UR
e(t)
i

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5. Donner l'allure des courbes q(t) et i(t).
Quelles sont leurs valeurs à la fin du régime transitoire ?
Justifier par des considérations simples ces valeurs atteintes.
6. Déterminer l'énergie totale EG fournie par le générateur ainsi que l'énergie ELC emmagasinée dans la
bobine et le condensateur à la fin du régime transitoire en fonction de C et E.
En déduire l'énergie dissipée par effet Joule dans la résistance.
Ces résultats dépendent-ils du régime particulier dans lequel se trouve le circuit ?
Interpréter le résultat paradoxal qui apparaît dans le cas limite R→0.
5) Circuit RLC soumis à une tension créneau
On considère un circuit RLC série dans lequel initialement le condensateur est déchargé.
A t = 0, on ferme l’interrupteur K. La tension E > 0 imposée par le générateur est stationnaire.
1. Déterminer toutes les tensions et les courants lorsque le nouveau régime stationnaire est atteint.
2. Le facteur de qualité du circuit est voisin de 10. Déterminer la tension uC (t) à chaque instant.
Le circuit est maintenant soumis à une tension créneau imposée par un GBF (il n’y a alors plus
d’interrupteur dans le montage). On obtient la trajectoire de phase suivante de l’oscillateur.
3. Interpréter le portrait de phase.
4. A partir du portrait de phase, tracer l’allure de la tension uC (t).
5. On donne les paramètres du circuit :
➢résistance de la bobine rL =36,1 Ω
➢inductance de la bobine L = 100 mH
➢résistance du conducteur ohmique R = 102,2 Ω
➢capacité du condensateur C = 0,11μF
Est-ce cohérent avec l’allure du portrait de phase ? On justifiera la réponse avec des calculs simples.