Sujet 1: L`algorithme du simplexe révisé et l`algorithme simplexe

Rappel Simplexe r´evis´e Simplexe avec bornes Extension
Sujet 1: L’algorithme du simplexe r´evis´e et
l’algorithme simplexe avec bornes
MSE3111: Programmation lin´eaire II
Andrew J. Miller
(d’apr`es Linear programming. Chvatal, Vasek - McGraw-Hill, 1983,
et d’apr`es les notes des cours de Programmation Lin´eaire r´edig´ees par L.A. Wolsey et F. Vanderbeck)
Last update: December 2, 2008

Rappel Simplexe r´evis´e Simplexe avec bornes Extension
Dans ce sujet...
1Rappel
2M´ethode du simplexe r´evis´e
3M´ethode du simplexe avec bornes sup´erieures
Conditions d’optimalit´e
L’algorithme
4Extension

Rappel Simplexe r´evis´e Simplexe avec bornes Extension
1Rappel
2M´ethode du simplexe r´evis´e
3M´ethode du simplexe avec bornes sup´erieures
Conditions d’optimalit´e
L’algorithme
4Extension

Rappel Simplexe r´evis´e Simplexe avec bornes Extension
Exemple
max 19 x1+ 13 x2+ 12 x3+ 17 x4
3x1+ 2 x2+ 1 x3+ 2 x4≤225
1x1+ 1 x2+ 1 x3+ 1 x4≤117
4x1+ 3 x2+ 3 x3+ 4 x4≤420
x1,x2,x3,x4≥0
Formulation ´equivalent: max{cTx:Ax =b,x≥0}, avec
c=
19
13
12
17
0
0
0
,A=
3212100
1111010
4334001
,b=
225
117
420

Rappel Simplexe r´evis´e Simplexe avec bornes Extension
Th´eor`emes des ´ecarts compl´ementaires
Th´eor`eme
Une solution primale r´ealisable x∗= (x∗
1, . . . x∗
n)est optimale ssi il existe
une solution duale r´ealisable (y∗
1,...,y∗
m)tel que
Pm
i=1 ai j y∗
i=cj,∀j:x∗
j>0 (1)
y∗
i= 0,∀i:Pn
j=1 ai j x∗
j<bi(2)
Th´eor`eme
Une solution primale basique r´ealisable x∗= (x∗
1, . . . x∗
n), avec une base
associ´ee B, est optimale ssi
¯cj≤0,∀j6∈ B,(3)
o`u ¯c=c−cT
BB−1A.