s3670

Solution – Nombres Complexes – Applications Géométriques – Forme Trigonométrique – s3670

→

→
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; i ; j ) ; (unité : 2 cm ).
→
→
On dit qu'un triangle équilatéral ABC est direct si et seulement si ( AB ; AC ) =
π
[2π
π] . On pose j = e2iππ/3.
3
1-a) Vérifier que 1 , j et j2 sont solutions de l'équation z3 = 1 .
z = 1 ⇒ z3 = 1 ;
3
z = j = e2iπ/3 ⇒ z3 = j3 = (e2iπ/3) = e2iπ = e0 = 1 ;
z = j2 ⇒ z3 = (j2)3 = (j3)2 = 12 = 1 .
Comme une équation complexe du 3ème degré ne peut admettre plus de trois racines, on peut dire que les racines
cubiques de l'unité sont : {1 ; j ; j2} solutions de z3 = 1 .
b) Calculer (1 – j)(1 + j + j2) . En déduire que 1 + j + j2 = 0 .
(1 – j)(1 + j + j2) = (1 + j + j2) – j(1 + j + j2) = 1 + j + j2 – j – j2 – j3 = 1 – j3 = 1 – 1 = 0 .
(1 – j)(1 + j + j2) = 0 hors j ≠ 1 , donc : 1 + j + j2 = 0 .
c) Vérifier que eiππ/3 + j2 = 0 .
2
On sait : j2 = (e2iπ/3) = e4iπ/3 = cos
d'où : j2 = -(cos
 cos (π + a) = -cos a
4π
4π
π
π
+ isin
= -cos – isin
puisque 
 sin (π + a) –sin a
3
3
3
3
,
π
π
+ isin ) = -eiπ/3 ⇒ eiπ/3 + j2 = 0 .
3
3
2/ Dans le plan complexe, on considère trois points A , B et C , deux à deux distincts, d'affixes respectives a , b et c .
a) Démontrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si :
c–a
= eiππ/3 .
b–a
c–a
 AB = AC ⇔ AC
 c–a
=1 ⇔ b–a =1
AB
ABC équilatéral direct ⇔ 
 ⇔ b–a=e
c
–
a
π
π
 ( AB ; AC ) = 3 [2π] ⇔ Arg b – a = 3 [2π] 
→
→
iπ/3
.
b) En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement
si a + bj + cj2 = 0 .
c–a
c–a
= eiπ/3 ⇔
= -j2 d'après 1-c) ⇔ c – a = -(b– a)j2 ⇔ c – a(1 + j2) + bj2 = 0 ;
b–a
b–a
1 + j + j2 = 0 ⇔ 1 + j2 = -j , d'où : c + aj + bj2 = 0 .
En multipliant les deux membres par j2 ≠ 0 , on obtient aj3 + bj4 + cj2 = 0 , et sachant j3 = 1 , on déduit :
a + bj + cj2 = 0 .
3/ A tout nombre complexe z ≠ 1 , on associe les points R , M et M' d'affixes respectives 1 , z et z .
a) Pour quelles valeurs de z les points M et M' sont-ils distincts ?
M et M' seraient confondus si et seulement si z = z , soit : x – iy = x + iy ⇔ y = 0 .
z = z ⇔ Im (z) = 0 ⇔ z réel, soit M sur l'axe x'x .
Les points M et M' sont distincts si et seulement si M n'appartient pas à l'axe x'x .
1
b) En supposant que la condition précédente est réalisée, montrer que l'ensemble (∆
∆) des points M d'affixe z tels que le
triangle RMM' soit équilatéral direct est une droite privée d'un point.
Le triangle RMM' est équilatéral direct si et seulement si a + bj + cj2 = 0 ⇔ 1 + zj + z j2 = 0 .
1
1
3
3
1 + ze2iπ/3 + z e-2iπ/3 = 0 ⇔ 1 + (x + iy)- + i  + (x – iy)- – i  = 0 ⇔ (1 – x – y 3) + 0i = 0 .
2 2
2 2
On déduit : x + y 3 – 1 = 0 , équation de la droite (∆) dont il faut priver son point d'intersection (1 ; 0) avec l'axe des
abscisses x'x puisque z = 1 ⇔ z = 1 ⇔ Le triangle RMM' se réduit à un point.
2