s3670

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Solution – Nombres Complexes – Applications Géométriques – Forme Trigonométrique – s3670
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;
→
→→
→
i;
→
→→
→
j) ; (unité : 2 cm ).
On dit qu'un triangle équilatéral ABC est direct si et seulement si (
→
→→
→
AB ;
→
→→
→
AC) = π
ππ
π
3 [2π
ππ
π] . On pose j = e
2iπ
ππ
π/3
.
1-a) Vérifier que 1 , j et j
2
sont solutions de l'équation z
3
= 1 .
z = 1 ⇒ z
3
= 1 ;
z = j = e
2iπ/3
⇒ z
3
= j
3
=
( )
e
2iπ/3
3
= e
2iπ
= e
0
= 1 ;
z = j
2
⇒ z
3
= (j
2
)
3
= (j
3
)
2
= 1
2
= 1 .
Comme une équation complexe du 3
ème
degré ne peut admettre plus de trois racines, on peut dire que les racines
cubiques de l'unité sont : {1 ; j ; j
2
} solutions de z
3
= 1 .
b) Calculer (1 – j)(1 + j + j
2
) . En déduire que 1 + j + j
2
= 0 .
(1 – j)(1 + j + j
2
) = (1 + j + j
2
) – j(1 + j + j
2
) = 1 + j + j
2
– j – j
2
– j
3
= 1 – j
3
= 1 – 1 = 0 .
(1 – j)(1 + j + j
2
) = 0 hors j ≠ 1 , donc : 1 + j + j
2
= 0 .
c) Vérifier que e
iπ
ππ
π/3
+ j
2
= 0 .
On sait : j
2
=
( )
e
2iπ/3
2
= e
4iπ/3
= cos 4π
3 + isin 4π 3 = -cos π 3 – isin π 3 puisque
cos (π + a) = -cos a
sin (π + a) –sin a ,
d'où : j
2
= -(cos π
3 + isin π 3 ) = -e
iπ/3
⇒ e
iπ/3
+ j
2
= 0 .
2/ Dans le plan complexe, on considère trois points A , B et C , deux à deux distincts, d'affixes respectives a , b et c .
a) Démontrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si : c – a
b – a = e
iπ
ππ
π/3 .
ABC équilatéral direct ⇔
AB = AC ⇔ AC
AB = 1 ⇔ c – a
b – a = 1
(
→
AB ;
→
AC ) = π
3 [2π] ⇔ Arg
c – a
b – a = π 3 [2π]
⇔ c – a
b – a = e
iπ/3 .
b) En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement
si a + bj + cj
2
= 0 .
c – a
b – a = e
iπ/3
⇔ c – a
b – a = -j
2
d'après 1-c) ⇔ c – a = -(b– a)j
2
⇔ c – a(1 + j
2
) + bj
2
= 0 ;
1 + j + j
2
= 0 ⇔ 1 + j
2
= -j , d'où : c + aj + bj
2
= 0 .
En multipliant les deux membres par j
2
≠ 0 , on obtient aj
3
+ bj
4
+ cj
2
= 0 , et sachant j
3
= 1 , on déduit :
a + bj + cj
2
= 0 .
3/ A tout nombre complexe z ≠
≠≠
≠ 1 , on associe les points R , M et M' d'affixes respectives 1 , z et z .
a) Pour quelles valeurs de z les points M et M' sont-ils distincts ?
M et M' seraient confondus si et seulement si z = z , soit : x – iy = x + iy ⇔ y = 0 .
z = z ⇔ Im (z) = 0 ⇔ z réel, soit M sur l'axe x'x .
Les points M et M' sont distincts si et seulement si M n'appartient pas à l'axe x'x .

2
b) En supposant que la condition précédente est réalisée, montrer que l'ensemble (∆
∆∆
∆) des points M d'affixe z tels que le
triangle RMM' soit équilatéral direct est une droite privée d'un point.
Le triangle RMM' est équilatéral direct si et seulement si a + bj + cj
2
= 0 ⇔ 1 + zj + z j
2
= 0 .
1 + ze
2iπ/3
+ z e
-2iπ/3
= 0 ⇔ 1 + (x + iy) -1
2 + i3 2 + (x – iy)
-1
2 – i3 2 = 0 ⇔ (1 – x – y3) + 0i = 0 .
On déduit : x + y3 – 1 = 0 , équation de la droite (∆) dont il faut priver son point d'intersection (1 ; 0) avec l'axe des
abscisses x'x puisque z = 1 ⇔ z = 1 ⇔ Le triangle RMM' se réduit à un point.