Théorie algébrique des nombres Feuille d`exercices n 4

Universit´ e Bordeaux I
Master de Math´ematiques 1`ere ann´ee Second semestre
Th´eorie alg´ebrique des nombres
Feuille d’exercices n◦4
Rappel : Si Kest un corps de nombres de discriminant dK, de degr´e n=r1+ 2r2,
sa constante Minkowski vaut CK=4
πr2n! nn, et toute classe d’id´eaux contient un id´eal I
v´erifiant N(I)≤CKp|dK|.
Exercice 1. On note Zl’ensemble des ´el´ements de Centiers sur Z.
(1) Montrer que pour tout x∈Q, il existe d∈N>0tel que dx ∈Z(en particulier, on
aQ= Frac Z).
(2) Montrer que l’anneau Zn’est pas noeth´erien (on pourra consid´erer l’id´eal engendr´e
par 2n
√2n∈N).
(3) Soient Kun corps de nombres et a⊆ OKun id´eal. Montrer qu’il existe un corps
de nombres Lqui contient Ket tel que aOLest principal.
(4) En d´eduire que Zest un anneau de B´ezout, i.e. que tous ses id´eaux de type fini
sont principaux.
Exercice 2. Soient Kun corps de nombres tel que # Cl(OK) = 2 et π∈ OKirr´eductible
mais pas premier. Montrer que πOK=p1p2o`u p1et p2sont deux id´eaux premiers non
nuls de OK(par forc´ement distincts).
Exercice 3. (1) Soit K=Qi√davec d∈ {3,7,11}. Montrer que hK= 1.
(2) Soit K=Q√davec d∈ {3,5,6}. Montrer que hK= 1.
(3) Soit K=Q(α), o`u α∈Cest une racine de X3+X−1. Montrer que hK= 1.
Exercice 4. (1) Soit K=Qi√43. Montrer que OKest principal.
(2) Soit K=Q3
√2. On a vu que OK=Z3
√2. Montrer que OKest principal.
Exercice 5. Soit K=Q
√10. Montrer que hK= # Cl(OK) = 2 (on montrera que
l’unique diviseur premier de 2 n’est pas principal).
Exercice 6. Soit K=Qi√23. On pose α=1+i√23
2.
(1) Soient p2et p′
2les id´eaux premiers au-dessus de 2, p3et p′ 3les id´eaux premiers
au-dessus de 3. Montrer que Cl(K) est compos´e des classes {OK,p2,p′
2,p3,p′ 3}. En
d´eduire que # Cl(K)≤5.
(2) Montrer que ni p2, ni p2
2ne sont principaux, mais que p3 2l’est (on pourra v´erifier
que 2 −αen est un g´en´erateur). En d´eduire que hK= 3.
Exercice 7. Soit K=Qi√47: on a OK=Z[α] avec α=1+i√47
2. On se propose de
d´ecrire le groupe Cl(OK).
(1) Soit pl’id´eal de OKengendr´e par 2 et α. Montrer que pet psont premiers, que ce
sont les seuls id´eaux de OKde norme 2 et que pp= 2OK.
1

2
(2) Montrer que si aest un id´eal principal de OK, alors l’´equation x2+ 47y2= 4 N(a) a
une solution dans (x, y)∈Z2. En d´eduire que p,p2,p3et p4ne sont pas principaux.
(3) Montrer qu’il existe deux id´eaux principaux de norme 32. Donner la liste des id´eaux
de norme 32 et montrer que p5est principal.
(4) Montrer qu’il y a au plus huit id´eaux entiers de norme inf´erieure ou ´egale `a 4.
Calculer la constante de Minkowski de K, et en d´eduire que Cl(OK) est cyclique
d’ordre 5.
(5) Soit ql’id´eal de OKengendr´e par 3 et α. Calculer sa norme et d´eterminer les entiers
ntels que l’id´eal pnqest principal.
Exercice 8. Soit K=Qi√21. Montrer que Cl(K)≃(Z/2Z)2(on pourra utiliser le
fait que 2 + i√21 est de norme 25.)
Exercice 9. (1) Montrer que pour d∈ {1,2,3,7,11}, l’anneau des entiers de Qi√d
est euclidien.
(2) R´esoudre les ´equations diophantiennes suivantes :
(i) y2+ 2 = x3;
(ii) y2+ 4 = x3;
(iii) x2+ 7 = 2n.
Exercice 10. Le but de cet exercice est de montrer que les couples (17,±70) sont les seules
solutions dans Z2de l’´equation
y2+ 13 = x3
On pose K=Qi√13et on note (x, y)∈Z2une solution de l’´equation.
(1) Montrer que xest impair, que yest pair et que 13 ne divise pas y.
(2) Montrer que OK=Zi√13.
(3) Soit Iun id´eal de OKcontenant des ´el´ements aet bde Zpremiers entre eux (en
tant qu’´el´ements de Z). Montrer que I=OK. En d´eduire qu’il n’existe pas d’id´eal
premier de OKcontenant y+i√13 et y−i√13 (on pourra montrer qu’un tel id´eal
premier contiendrait soit xet 2, soit yet 13).
(4) En d´eduire qu’il existe un id´eal ade OKtel que l’id´eal engendr´e par y+i√13
s’´ecrive a3.
(5) Le but de cette question est de prouver que le groupe des classes d’id´eaux de Kest
de cardinal 2.
(i) Calculer le discriminant absolu de K, ainsi que le nombre de plongements r´eels
et complexes de K.
D’apr`es la question pr´ec´edente, la constante de Minkowski de Kest <5, ce qui
implique que toute classe d’id´eaux de Kcontient un id´eal de norme <5.
(ii) Quels sont les id´eaux de norme 1 ?
(iii) En calculant OK/2OK, montrer qu’il existe un unique id´eal pde norme 2, que
l’on explicitera. Montrer que pest premier et que p2= 2OK.
(iv) En calculant OK/3OK, montrer qu’il n’existe pas d’id´eal de norme 3.
(v) D´eduire de (iii) que 2OKest le seul id´eal de norme 4 dans OK.
(vi) Conclure.

3
(6) D´eduire des questions (4) et (5) qu’il existe (a, b)∈Z2tels que
y+i√13 = a+ib√133
(7) Conclure.
Exercice 11. Soit Kun corps de nombres tel que le rang de O×
Ksoit inf´erieur `a 2. Quelles
sont les valeurs possibles pour le degr´e de Ket quels sont les groupes possibles pour µK?
Exercice 12. Soient nun entier tel que d=n2−1 est sans facteur carr´e. Montrer que
n+√dest une unit´e fondamentale de Q
√d(indication : supposer que n+√dn’est pas
une unit´e fondamentale, en d´eduire qu’il existe pun entier premier et u, v ∈Ztels que
u+v√dp=n+√d, montrer que v∈ {±1}et conclure).
Exercice 13. Soit K⊂Rune extension de Qde degr´e 3 ayant un plongement r´eel (c’est
l’identit´e) et deux plongements complexes conjugu´es.
(1) Quel est le rang de O×
K? D´eterminer le groupe µKdes racines de l’unit´e de K.
(2) Soit u∈ O×
Kpositive. Montrer que NK/ Q(u) = 1.
(3) Soit u∈ O×
Kavec u > 1. On note u2et u3les conjugu´es de u. On ´ecrit u2=exp(iθ)
x
avec x, θ ∈R. Montrer que u3=exp(−iθ)
xet u=x2. En d´eduire une expression
de p|D(1, u, u2)|en fonction de xet de θ. On admettra que cela entraine que
|dK| ≤ 4u3+ 45.
(4) Application : on pose α=3
√2 et K=Q(α). On rappelle que OK=Z[α] et que
dK=−108. Montrer que u= 1 + α+α2est une unit´e fondamentale de K.
Exercice 14. Soient Kun corps de nombres et x∈Ktel que (∀n∈N>0) (∃y∈K)x=yn.
Montrer que x∈ {0,1}.
Exercice 15. Soient ∈N>2et ζune racine primitive n-i`eme de l’unit´e. On pose K=Q(ζ),
et L=Qζ+ζ−1(par exemple, si ζ=e2iπ/n, on a L=Qcos 2π
n).
(1) Calculer le nombre de plongements r´eels et le nombre de plongements complexes
de K.
(2) Mˆemes questions pour L.
(3) Montrer, `a partir de ce qui pr´ec`ede, qu’il existe un entier m > 0 tel que pour tout
u∈ O×
K, on ait um∈L.
Exercice 16. Soient Kune extension cubique de Qet pun nombre premier. On suppose
que pOK=p1p2p3o`u p1,p2et p2sont des id´eaux premiers deux-`a-deux distincts. Soit
α∈ OKtel que TrK/ Q(α) = 0 et α∈p1p2. Montrer que α∈pOK(indication : si α6∈ Z,
donner la forme du polynˆome minimal de αsur Qet montrer que ses coefficients non
dominants sont divisibles par pen utilisant la norme pour le coefficient constant puis les
valuations vpipour i∈ {1,2,3}).