Alg`ebre de Boole et Logique - Département informatique de l`IUT

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Mathématiques Pour
l’Informatique I :
Algèbre de Boole et Logique
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Serge Iovleff
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14 janvier 2005
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Table des matières
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Sommaire
1 Algèbre de Boole
1.1 Algèbres de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Développements et Simplifications en Algèbre de Boole
1.1.4 Règles de Calcul dans les Algèbres de Boole . . . . . . .
1.1.5 Principe de Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Règles sur les égalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Les Fonctions Booléennes et leurs Formes Canoniques . . . . .
1.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Indexation et Nombre de mintermes et maxtermes . . .
1.2.3 Propriétés des mintermes et maxtermes . . . . . . . . .
1.2.4 Formes canoniques d’une fonction booléenne . . . . . .
1.2.4.1 Formes canoniques conjonctives et disjonctives
1.2.4.2 Détermination des formes canoniques . . . . .
1.2.4.2.1 Détermination Algébrique . . . . . . .
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1.2.4.2.2 Code des poids . . . . . . . . . . .
1.2.5 Passage d’une forme canonique à une autre . . . . .
1.2.6 Application aux calculs sur les égalités . . . . . . . .
Simplification des fonctions Booléennes . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Diagrammes de Karnaugh . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1.1 Diagrammes de Karnaugh pour 4 variables
1.3.1.2 Diagrammes de Karnaugh pour 5 variables
1.3.1.3 Utilisation des diagrammes de Karnaugh .
1.3.2 Méthode de Quine-Mc Cluskey . . . . . . . . . . . .
1.3.2.1 Méthode de Quine . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2.2 Méthode de Mc Cluskey . . . . . . . . . . .
Les Fonctions booléennes sur variables binaires . . . . . . .
1.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Numérotation des fonctions booléennes . . . . . . .
1.4.3 Fonctions de plusieurs variables binaires . . . . . . .
1.4.3.1 Fonctions de une variable . . . . . . . . . .
1.4.3.2 Fonctions de deux variables . . . . . . . . .
1.4.3.3 Fonctions de trois variables . . . . . . . . .
Applications aux Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Les opérations duales NOR et NAND . . . . . . . .
1.5.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 La disjonction exclusive . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.2 Propriétés de la disjonction exclusive . . .
1.5.2.3 Calcul Galoisien . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Logique
2.1 La Logique Propositionnelle . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Définitions et Notations . . . . . . . . . . .
2.1.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Conséquences logiques . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Démonstration de formules . . . . . . . . .
2.1.4.1 Tables de Vérité . . . . . . . . . .
2.1.4.2 Arbres de Beth . . . . . . . . . . .
2.2 La Logique des Prédicats . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.1 Vers la logique des prédicats . . .
2.2.1.2 Les variables et les quantificateurs
2.2.2 Le Langage L1 des prédicats . . . . . . . .
2.2.2.1 Règles de grammaire . . . . . . .
2.2.2.2 Variables libres et variables liées .
2.2.2.3 Substitution et instantiation . . .
2.2.3 Sémantique du calcul des prédicats . . . . .
2.2.3.1 Interprétation d’un vocabulaire . .
2.2.3.2 Interprétation des formules . . . .
2.2.3.3 Modèles et conséquences logiques
2.2.4 Manipulations syntaxiques . . . . . . . . . .
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Chapitre 1
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Algèbre de Boole
1.1.
Algèbres de Boole
1.1.1.
Définition
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Définition 1.1.1 Soit B un ensemble contenant au moins deux éléments que l’on convient
de noter 0 et 1, et muni :
– D’une opération binaire appelée « somme » et notée + :
+ : B × B −→ B
(a, b)
7→
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a+b
– D’une opération binaire appelée « produit » et notée . :
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. : B × B −→ B
(a, b)
7→
a.b
Quitter
– D’une opération unaire appelée « complémentation » et notée ¯ :
¯: B −→ B
a
7→
ā
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On dit que (B, +, .,¯) a une structure d’algèbre de Boole si les axiomes de structure
suivants sont vérifiés :
Axiome 1 : Les deux opérations binaires sont commutatives :
∀a, b ∈ B, a + b = b + a
a.b = b.a
Axiome 2 : Les deux opérations binaires sont associatives :
∀a, b, c ∈ B, (a + b) + c = a + (b + c)
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(a.b).c = a.(b.c)
Axiome 3 : 0 est un élément neutre pour + et 1 est un élément neutre pour . :
∀a ∈ B, a + 0 = a
a.1 = a
Axiome 4 : Chaque opération binaire est distributive par rapport à l’autre :
∀a, b, c ∈ B, a + (b.c) = (a + b).(a + c)
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a.(b + c) = (a.b) + (a.c)
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Axiome 5 : ∀a ∈ B, a + ā = 1
a.ā = 0
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Exemple 1.1.2 Soient E un référentiel non vide, et P(E)
l’ensemble des parties de E . Si on prend B = P(E) comme
ensemble et que l’on définit les opérations
A+C = A∪C
A.C = A ∩ C
Ā = CE A
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Sommaire
alors (P(E), ∪, ∩,¯) est une algèbre de Boole.
Exemple 1.1.3 L’ensmble {0, 1} muni des opérations booléennes + et . est une algèbre de Boole.
Exemple 1.1.4 Soit D10 l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 10.
D10 = {1, 2, 5, 10}
Soient x, y ∈ D10 . On pose
x + y = ppcm(x, y)
x.y = pgcd(x, y)
10
x̄ =
x
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1.1.3.
Développements et Simplifications en Algèbre de Boole
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Sommaire
Dans la pratique, on effectue les développements comme en
algèbre classique (dans R) et on donne la priorité à l’opérateur
« produit » ( « . »).
Les règles de suppression de parenthèses sont les mêmes que
celles de l’algèbre classique. Par exemple
– a + (b.c) s’écrira a + bc (mais on aura toujours a + bc =
(a + b)(a + c)
– (a.b) + (a.bc) s’écrira ab + abc
– (a + b).(c + d) s’écrira ac + ad + bc + bd.
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1.1.4.
Règles de Calcul dans les Algèbres de Boole
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Théorème 1.1.5 ∀a ∈ B , a est l’unique élément de B vérifiant :
a + a = 1 et a.a = 0
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Théorème 1.1.6 (Idempotence)
∀a ∈ B, a + a = a et a.a = a
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Théorème 1.1.7 0 = 1 et 1 = 0
Théorème 1.1.8 ∀a ∈ B, a + 1 = 1 et a.0 = 0
Théorème 1.1.9 ∀a ∈ B, a = a
Retour
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Théorème 1.1.10 (Absorption)
Sommaire
∀a, b ∈ B, a + a.b = a et a.(a + b) = a
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Théorème 1.1.11 (Redondance)
∀a, x, y ∈ B, a.x + a.y = a.x + a.y + x.y
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Théorème 1.1.12 (Lois de De Morgan)
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∀a, b ∈ B, a + b = a.b et a.b = a + b
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1.1.5.
Principe de Dualité
Définition 1.1.13 Dans une algèbre de Boole, tout résultat se
présente sous deux formes duales. Etant donné un résultat (P ),
son dual (P ∗ ) s’obtient en permutant systématiquement :
1. Les symboles opératoires + et .
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2. Les éléments neutres 0 et 1
Corollaire 1.1.14 Soit E un référentiel. On a vu que
(P(E), ∩, ∪,¯) a une structure d’algèbre de Boole. D’après le
principe de dualité (P(E), ∪, ∩,¯) est aussi une algèbre de
Boole.
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1.1.6.
Règles sur les égalités
Règle 1.1.15 ∀a, b, c ∈ B
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a=b ⇒ a+c=b+c
a = b ⇒ a.c = b.c
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Règle 1.1.16 ∀a, b, c ∈ B
a+c = b+c
a.c = b.c
⇒a=b
Règle 1.1.17 ∀a, b, c, d ∈ B
a = b
c = d
⇒
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a+c = b+d
a.c = b.d
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Sommaire
Règle 1.1.18 ∀a, b ∈ B, a = b ⇔ a = b
Règle 1.1.19 ∀a, b ∈ B
a.b = 1 ⇔ a = 1 et b = 1
a + b = 0 ⇔ a = 0 et b = 0
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1.2.
Les Fonctions Booléennes et
leurs Formes Canoniques
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1.2.1.
Définitions
Définition 1.2.1 Soit (B, +, .,¯) une algèbre de Boole. On appelle fonction booléenne de n variables, toute combinaison de
ces variables au moyen des trois opérations booléennes +, . et
¯.
Exemple 1 f (a, b, c) = a.b + c.(a.b + b) est une fonction booléenne des 3 variables a, b et c.
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Définition 1.2.2 On appelle « minterme » de n variables, l’un
des produits booléens de ces variables ou de leurs complémentaires. Chaque minterme est affecté d’un indice unique que l’on
déterminera au paragraphe (1.2.2).
Exemple 2 Si on considère 4 variables a, b, c et d,
– m = a.b.c.d est un minterme,
– m = a.b.c.d est un autre minterme,
– m = a.b.d n’est pas un minterme.
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Définition 1.2.3 On appelle « maxterme » de n variables,
l’une des sommes booléennes de ces variables ou de leurs complémentaires. Chaque maxterme est affecté d’un indice unique
que l’on déterminera au paragraphe (1.2.2).
Exemple 3 Si on considère 4 variables a, b, c et d,
– M = a + b + c + d est un maxterme,
– M = a + b + c + d est un autre maxterme,
– M = a + b + d n’est pas un maxterme.
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1.2.2.
Indexation et Nombre de mintermes et
maxtermes
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Pour indexer les mintermes (maxtermes) on utilise la règle suivante :
– Pour chaque minterme (maxterme) on construit un code binaire en posant 1 si une variable est présente, 0 si son complémentaire est présent.
– On convertit ce code binaire en base décimal pour obtenir
l’indice du minterme.
Exemple 4 Soit le minterme de 4 variables mi = a.b.c.d,
alors le code binaire associé à ce minterme est (1001)2 et donc
i = 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 9.
Remarque 1 Si deux mintermes sont différents, leurs codes
binaires sont différents et donc leur indice est différent.
Théorème 1.2.4 Soit Nn le nombre de mintermes de n variables. Alors Nn = 2n .
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1.2.3.
Propriétés des mintermes et maxtermes
Théorème 1.2.5 Le complémentaire d’un minterme est un
maxterme, le complémentaire d’un maxterme est un minterme
et
mi = M2n−1−i et M j = m2n−1−j
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Théorème 1.2.6 La somme booléenne de tous les mintermes
vaut 1.
n
2X
−1
mi = 1
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I
i=0
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Théorème 1.2.7 Le produit booléen de tous les maxtermes
vaut 0.
n
2Y
−1
Mj = 0
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j=0
Théorème 1.2.8 Le produit de deux mintermes différents vaut
0 et la somme de deux maxtermes différents vaut 1.
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Théorème 1.2.9 Deux sommes de mintermes sont égales si et
seulement si les mintermes qui ne sont pas communs aux deux
sommes sont égaux à 0.
Théorème 1.2.10 Deux produits de maxtermes sont égaux si
et seulement si les maxtermes qui ne sont pas communs aux
deux produits sont égaux à 1.
Théorème 1.2.11 Soit e une expression booléenne écrite sous
la forme d’une somme de mintermes (respectivement d’un produit de maxterme) alors son complémentaire e est la somme
de tous les mintermes (respectivement le produit de tous les
maxtermes) qui ne figurent pas dans l’écriture de e.
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1.2.4.
Formes canoniques d’une fonction booléenne
Soit f une fonction booléenne de n variables.
1.2.4.1.
Formes canoniques conjonctives et disjonctives
Définition 1.2.12 Ecrire f sous forme canonique disjonctive
(ou première forme canonique) revient à l’écrire comme la
somme de mintermes des n variables.
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Définition 1.2.13 Ecrire f sous forme canonique conjonctive
(ou deuxième forme canonique) revient à l’écrire comme le produit de maxtermes des n variables.
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Théorème 1.2.14 Tout fonction booléenne de n variables peut
être mise de manière unique sous forme canonique disjonctive
(respectivement conjonctive).
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1.2.4.2.
Détermination des formes canoniques
On se concentrera sur les formes canoniques disjonctives, le cas
conjonctif étant semblable.
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1.2.4.2.1. Détermination Algébrique Il s’agit dans un
premier temps d’utiliser le calcul booléen pour avoir une forme
développée, et ensuite dans chaque monôme, de faire apparaitre
les « variables » manquantes.
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Exemple 5 Pour 3 variables a, b et c, on aura
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ab = ab(c + c) = abc + abc
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Exemple 6 Pour 4 variables a, b, c, et d, on aura
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ab = ab(c + c) = abc + abc
= abc(d + d) + abc(d + d)
= abcd + abcd + abcd + abcd
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1.2.4.2.2. Code des poids On part de la forme développée
de la fonction sous forme de monômes, et on écrit les poids de
chaque variables. Par exemple, pour quatre variables a, b, c et
d, on aura :
a b c d
8 4 2 1
Pour chaque monôme, on applique ensuite la règle suivante :
1. Si dans l’expression du monôme une variable apparait, on
entoure le poids correspondant. Si son complémentaire apparait, on barre le poids correspondant.
2. On fait la somme des poids entouré pour obtenir l’indice
de base
3. On ajoute à l’indice de base toutes les sommes possibles des
poids non entouré et non barrés : on obtient ainsi les indices
de tous les mintermes formables à partir du monôme.
Page dáccueil
Page de Titre
Sommaire
JJ
II
J
I
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Retour
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1.2.5.
Passage d’une forme canonique à une autre
Il s’agit connaissant l’une des décompositions canonique de déterminer l’autre.
Pour cela il suffit d’utiliser l’identité f = f et le théorème
(1.2.11).
Page dáccueil
Page de Titre
Sommaire
Exemple 7 Si
JJ
II
f (a, b, c, d) = m0+m2+m4+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m14
J
I
Alors
Page 23 de 61
f (a, b, c, d) = m1 + m3 + m8 + m9 + m10 + m15
et donc
f (a, b, c, d) = f (a, b, c, d) = M14.M12.M7.M6.M5.M0
Retour
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1.2.6.
Application aux calculs sur les égalités
Page de Titre
Règle 1 Pour Démontrer une égalité booléenne, il suffit de
revenir aux décompositions canoniques disjonctives des deux
membres de l’égalité.
Règle 2 Toute égalité ou tout système d’égalités booléennes
peut s’écrire sous la forme d’une seule égalité dont le premier
membre est une décomposition disjonctive et dont le second
membre est nul.
Règle 3 Pour montrer une implication ou une équivalence booléenne, il suffit de revenir aux décompositions canoniques disjonctives.
Sommaire
JJ
II
J
I
Page 24 de 61
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1.3.
Simplification des fonctions Booléennes
1.3.1.
Diagrammes de Karnaugh
Page dáccueil
Les diagrammes de Karnaugh est une méthode graphique pour simplifier les fonctions
booléennes comportant un nombre modéré de variables (max 8). Chaque case du tableau
correspond à un des mintermes. Une case du tableau ne diffère de l’une de ces voisines que
par une variable (on utilise le code de Gray).
1.3.1.1.
Diagrammes de Karnaugh pour 4 variables
ab\cd
00
01
11
10
00
01
11
10
Page de Titre
Sommaire
JJ
II
J
I
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Retour
1.3.1.2.
Diagrammes de Karnaugh pour 5 variables
ab\cde
00
01
11
10
000
010
110
100
101
111
011
001
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1.3.1.3.
Utilisation des diagrammes de Karnaugh
Si f est une fonction booléenne, on la simplifie en deux étapes :
– On représente les mintermes qui compose f dans le diagramme à l’aide d’un signe
distinctif
– On regroupe les mintermes en blocs, les plus importants possibles.
Page dáccueil
Page de Titre
1.3.2.
1.3.2.1.
Méthode de Quine-Mc Cluskey
Méthode de Quine
La méthode de Quine consiste, en partant de la décomposition canonique disjonctive
de f , à utiliser systématiquement la formule de simplification x.y + x̄.y = y où x est un
littéral et y un monôme.
Considérons l’exemple suivant :
Sommaire
JJ
II
J
I
f (a, b, c, d) = ab + bc + ac̄ + ācd + āb̄d¯ + āb̄c
Page 26 de 61
La décomposition canonique disjonctive de f est :
f (a, b, c, d) = abcd + abcd¯ + abc̄d + abc̄d¯ + ab̄c̄d + ab̄c̄d¯ + ābcd + ābcd¯ + āb̄cd + āb̄cd¯ + āb̄c̄d¯
Retour
= 1111 + 1110 + 1101 + 1100 + 1001 + 1000 + 0111 + 0110 + 0011 + 0010 + 0000
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Etape 0 : On classe les mintermes de la décomposition canonique selon le nombre de
”1” de leur écriture : classe sans ”1”, classe avec un seul ”1”, etc... On obtient le
tableau suivant :
classes
0
Etape 0
0000
repère
Page dáccueil
Page de Titre
1
2
0010
1000
0011
0110
1001
1100
Sommaire
JJ
II
J
I
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3
4
0111
1101
1110
1111
Retour
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Quitter
Etape 1 : On additionne chaque minterme de la classe j avec chaque minterme de la
classe j + 1. Lorsqu’il est possible d’utiliser la formule x.y + x̄.y = y et d’éliminer
ainsi une variable, on consigne le résultat dans la colonne Etape 1. Le symbole ”x”
remplace la variable éliminée. On repère à l’aide du symbole ”1” dans la colonne
repère les deux mintermes concernés afin de montrer qu’ils disparaissent de la forme
ΣΠ (Somme de produits). On obtient le tableau suivant :
Page dáccueil
Page de Titre
classes
0
1
2
3
4
Etape 0
0000
repère
1
0010
1000
1
1
0011
0110
1001
1100
1
1
1
1
0111
1101
1110
1111
1
1
1
1
Etape 1
00x0
x000
001x
0x10
100x
1x00
0x11
011x
x110
1x01
110x
11x0
x111
11x1
111x
repère
Sommaire
JJ
II
J
I
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Retour
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Etape 2 : On procède comme à l’étape précédente avec les monômes des classes 0, 1,
2, etc... On inscrit dans la colonne Etape 2, les nouvreaux monômes obtenus. Si un
monôme a déja été obtenu, on ne le réinscrit pas, par contre on marque avec des ”1”,
les monômes dont il est issu. On obtient le tableau suivant :
classes
0
Etape 0
0000
repère
1
1
0010
1000
1
1
2
0011
0110
1001
1100
1
1
1
1
3
4
0111
1101
1110
1111
1
1
1
1
Etape 1
00x0
x000
001x
0x10
100x
1x00
0x11
011x
x110
1x01
110x
11x0
x111
11x1
111x
repère
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Etape 2
Page dáccueil
repère
Page de Titre
0x1x
1x0x
x11x
11xx
Sommaire
JJ
II
J
I
Page 29 de 61
Retour
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Etape 3 (et suivantes) : On réitère le processus jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de simplifications. Dans l’exemple, il n’y a pas d’étape 4 et on obtient :
classes
0
1
2
3
4
Etape 0
0000
0010
1000
repère
1
1
1
0011
0110
1001
1100
1
1
1
1
0111
1101
1110
1111
1
1
1
1
Etape 1
00x0
x000
001x
0x10
100x
1x00
0x11
011x
x110
1x01
110x
11x0
x111
11x1
111x
repère
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Etape 2
0x1x
1x0x
repère
0
0
Page dáccueil
Page de Titre
Sommaire
x11x
11xx
0
0
Les monômes qui ont pour repère 0 sont les implicants premiers de f . Ici les implicants
premiers de f sont : 00x0 ; x000 ; 0x1x ; 1x0x ; x11x ; 11xx ; soit encore :
f (a, b, c, d) = āb̄d¯ + b̄c̄d¯ + āc + ac̄ + bc + ab
JJ
II
J
I
Page 30 de 61
Retour
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1.3.2.2.
Méthode de Mc Cluskey
La forme simplifiée de f n’est pas optimale car il y subsiste des redondances. On
construit alors la grille de Mc Cluskey ci-dessous :
abcd abcd¯ abc̄d abc̄d¯ ab̄c̄d ab̄c̄d¯ ābcd ābcd¯ āb̄cd āb̄cd¯ āb̄c̄d¯
ab
@
@
@
@
ac̄
@
@
@
@
@
@
@
@
Page de Titre
@
@ @
@
āc
bc
@
@
Page dáccueil
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
āb̄d¯
@
@
b̄c̄d¯
@
@
m15 m14 m13 m12 m9
m8
Sommaire
@
@ @
@
m6
m3
m2
II
J
I
@
@
@
@
m7
JJ
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m0
Retour
Les barres verticales représentent les mintermes de la décomposition disjonctive de f
et les barres horizontales ses implicants premiers. Les mintermes construits à partir des
implicants premiers sont marqués d’une croix.
Lorsqu’il n’y a qu’une croix sur une ligne verticale, elle est entourée. Cela signifie que
les implicants premiers correspondants doivent figurer impérativement dans l’expression
simplifiée de f . On a donc :
f (a, b, c, d) = ac̄ + āc + . . .
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On remarque ensuite qu’avec ac̄ et āc, on peut construire tous les mintermes de f sauf
abcd, abcd et abcc. Pour les couvrir, on a le choix entre
¯ ou (ab + b̄c̄d)
¯ ou (bc + āb̄d)
¯ ou (bc + b̄c̄d)
¯
(ab + āb̄d)
Page dáccueil
ce qui donne les quatre formes simplifiées minimales de f :
f (a, b, c, d) = ac̄ + āc + ab + āb̄d¯
f (a, b, c, d) = ac̄ + āc + ab + b̄c̄d¯
f (a, b, c, d) = ac̄ + āc + bc + āb̄d¯
f (a, b, c, d) = ac̄ + āc + bc + b̄c̄d¯
Remarque : Si aucune croix n’est entourée, on choisit judicieusement un certain nombre
d’implicants premiers de manière à englober le plus de mintermes possibles.
Page de Titre
Sommaire
JJ
II
J
I
Page 32 de 61
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1.4.
1.4.1.
Les Fonctions booléennes sur
variables binaires
Définitions
Page de Titre
Sommaire
Soit l’ensemble {0, 1} muni des deux opérations binaires :
+ 0 1
0 0 1
1 1 1
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. 0 1
0 0 0
1 0 1
et posons que 0 = 1 et 1 = 0, alors ({0, 1}, +, .,¯) est une
algèbre de boole.
JJ
II
J
I
Page 33 de 61
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Définition 1.4.1 Une fonction booléenne de n variables binaires est une application de l’ensemble {0, 1}n vers {0, 1}.
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Les valeurs prises par une fonction booléenne de plusieurs variables peuvent être lues dans une table de vérité. Par exemple
pour le OU exclusif, on a la table suivante :
a b a⊕b
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
Tab. 1.1 – Table de vérité du OU exclusif
On en déduit que a ⊕ b = āb + ab̄.
Page de Titre
Sommaire
JJ
II
J
I
Page 34 de 61
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Page dáccueil
1.4.2.
Numérotation des fonctions booléennes
Pour n variables binaires, il existe 2N fonctions booléennes avec
N = 2n. Pour les distinguer chaque fonction est affectée d’un
exposant et d’un indice :
– L’exposant correspond au nombre de variables dont dépend
la fonction.
– L’indice est déterminé comme suit : En respectant l’ordre
décroissant des indices des mintermes présent dans la décomposition canonique disjonctive de la fonction, on pose 1 si le
minterme est présent, 0 sinon.
On obtient un nombre qui est l’écriture binaire de l’indice.
Page de Titre
Sommaire
JJ
II
J
I
Page 35 de 61
Retour
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1.4.3.
Fonctions de plusieurs variables binaires
Page de Titre
1.4.3.1.
Fonctions de une variable
Sommaire
Il existe 4 fonctions de 1 variable résumées dans le tableau
suivant :
JJ
II
Tab. 1.2 – Les 4 fonctions booléennes de 1 variable
J
I
Fonction dans {0, 1} Appellation
f01(x) = 0
constante nulle
1
f1 (x) = x
complémentation
f21(x) = x
identité
f31(x) = 1
constante unité
fonctions duales
1
x
x
0
Page 36 de 61
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1.4.3.2.
Fonctions de deux variables
Il existe 16 fonctions de 2 variables résumées dans le tableau suivant :
Page dáccueil
Tab. 1.3 – Les 16 fonctions booléennes de 2 variables
Expression dans
Fonction dans {0, 1} Appellation
toute algèbre de Boole
f02 (x, y) = 0
constante nulle
f12 (x, y) = x̄ȳ
de Pierce, NI, NOR
x↓y
f22 (x, y) = x̄y
inhibition
f32 (x, y) = x̄
négation
2
f4 (x, y) = xȳ
inhibition
f52 (x, y) = ȳ
négation
f62 (x, y) = xȳ + x̄y
Ou exclusif, XOR
x⊕y
f72 (x, y) = x̄ + ȳ
de Sheffer, ON, NAND x ↑ y
f82 (x, y) = xy
ET, multiplication
x.y
2
f9 (x, y) = xy + x̄ȳ
équivalence
xy =x↔y
2 (x, y) = y
f10
2 (x, y) = x̄ + y
f11
implication
x→y
2
f12 (x, y) = x
2 (x, y) = x + ȳ
f13
implication
x←y
2
f14 (x, y) = x + y
OU, addition
x+y
2 (x, y) = 1
f15
constante unité
fonctions duales
1
x↑y
x→y
x̄
x←y
ȳ
xy
x↓y
x+y
x⊕y
y
x̄y
x
xȳ
xy
0
Page de Titre
Sommaire
JJ
II
J
I
Page 37 de 61
Retour
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1.4.3.3.
Fonctions de trois variables
Page dáccueil
Tab. 1.4 – Table des fonctions Majorité et Minorité
x y z Maj(x, y, z)
x y z Min(x, y, z)
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
On en déduit que :
Maj(x, y, z) = x̄yz + xȳz + xy z̄ + xyz = xy + yz + xz
Min(x, y, z) = x̄ȳ z̄ + x̄ȳz + x̄y z̄ + xȳ z̄ = x̄ȳ + ȳ z̄ + x̄z̄
Page de Titre
Sommaire
JJ
II
J
I
Page 38 de 61
Retour
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Tab. 1.5 – Table des fonctions Clés de Parité
x y z P(x, y, z)
x y z I(x, y, z)
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
Page dáccueil
Page de Titre
Sommaire
JJ
II
J
I
Page 39 de 61
On en déduit que :
Retour
P(x, y, z) = x̄ȳ z̄ + x̄yz + xȳz + xy z̄
Full Screen
et que
I(x, y, z) = x̄ȳz + x̄y z̄ + xȳ z̄ + xyz
Ces fonctions s’écrivent de manière très simples à l’aide de l’opération ⊕.
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1.5.
Applications aux Circuits
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1.5.1.
Les opérations duales NOR et NAND
Page de Titre
1.5.1.1.
Définitions
Dans une algèbre de Boole quelconque (B, +, .,¯) on définit les
opération NOR (↓) et NAND (↑) par :
∀a, b ∈ B, a ↓ b = a + b = a.b
∀a, b ∈ B, a ↑ b = a.b = a + b
Sommaire
JJ
II
J
I
Page 40 de 61
Les deux opérations NOR et NAND sont duales.
Retour
1.5.1.2.
Propriétés
Full Screen
Proposition 1 Dans toute algèbre de Boole, les opérations
NOR et NAND sont commutatives mais ne sont pas associatives.
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Proposition 2 Soient a et b deux éléments d’une algèbre de
boole, alors
a + b = (a ↓ b) ↓ (a ↓ b)
a.b = (a ↓ a) ↓ (b ↓ b)
a = a↓a
et
a.b = (a ↑ b) ↑ (a ↑ b)
a + b = (a ↑ a) ↑ (b ↑ b)
a = a↑a
Page de Titre
Sommaire
JJ
II
J
I
Page 41 de 61
Retour
Full Screen
Les opérations NOR et NAND sont donc universelles.
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La conversion en opérateur NOR et NAND d’une expression
booléenne est un exercice parfois difficile, conduisant à des
formes lourdes à manier.
Souvent l’incertitude demeure sur la possibilité d’obtenir une
forme plus simple.
Page dáccueil
Page de Titre
Sommaire
JJ
II
J
I
Page 42 de 61
Retour
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1.5.2.
1.5.2.1.
La disjonction exclusive
Définitions
Dans une algèbre de Boole quelconque (B, +, .,¯) on définit les
opérations disjonction exclusive ⊕ et équivalence par :
Page dáccueil
Page de Titre
Sommaire
∀a, b ∈ B, a ⊕ b = a.b + a.b
∀a, b ∈ B, a b = a.b + a.b
Ces deux opérations sont duales et complémentaires l’une de
l’autre.
1.5.2.2.
Propriétés de la disjonction exclusive
Théorème 1.5.1 Soit (B, +, .,¯) une algèbre de Boole. L’ensemble (B, ⊕) est un groupe commutatif dont l’élément nul
est 0 et dont chaque élément est son propre symétrique (i.e.
a ⊕ a = 0).
JJ
II
J
I
Page 43 de 61
Retour
Full Screen
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Page dáccueil
On en déduit un premier corollaire utile sur l’existence d’une
soustraction :
Corollaire 1.5.2 Dans (B, ⊕), tout élément est régulier, c’est
à dire :
∀a, b, c ∈ B,
a⊕c=b⊕c⇔a=b
La soustraction que l’on peut définir dans (B, ⊕) est identique
à l’addition :
Corollaire 1.5.3
∀a, b, x ∈ B,
Page de Titre
Sommaire
JJ
II
J
I
Page 44 de 61
Retour
a⊕x=b⇔x=a⊕b
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1.5.2.3.
Calcul Galoisien
Théorème 1.5.4 Soit (B, +, .,¯) une algèbre de Boole. L’ensemble (B, ⊕, .) est un anneau commutatif unitaire dont l’élément nul pour ⊕ est 0 et dont l’élément neutre pour . est 1 (i.e.
a.1 = a).
Page de Titre
Sommaire
Corollaire 1.5.5
∀a, b ∈ B,
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a + b = a ⊕ b ⊕ a.b et a = 1 ⊕ a
D’une manière générale, toute expression booléenne comportant un nombre fini d’opérations +, . et ¯ peut s’exprimer à
l’aide des deux opérations ⊕ et « . ».
Règle 4 Soient a1 , . . . an des élements d’une algèbre de Boole
tels que ai aj = 0 dés que i 6= j , alors :
JJ
II
J
I
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Retour
Full Screen
a1 + a2 + . . . + an = a1 ⊕ a2 ⊕ . . . ⊕ an
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En particulier, on peut se ramener à la décomposition canonique disjonctive pour passer d’une écriture à l’autre.
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Chapitre 2
Logique
2.1.
La Logique Propositionnelle
2.1.1.
Définitions et Notations
Définition 2.1.1 Dans le cadre d’une théorie, une proposition de base ou formule atomique ou atome est un énoncé qui est soit vrai, soit faux mais pas les deux.
Chaque proposition p a une valeur de vérité, ou valuation ν qui est soit le vrai et on
note ν(p) = 1, soit le faux et on note ν(p) = 0.
Page de Titre
Sommaire
JJ
II
J
I
Page 46 de 61
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Full Screen
On note P = {p, q, r, . . .} l’ensemble des atomes.
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Page de Titre
Sommaire
Exemple 8 Voici trois propositions en zoologie :
p : « Les poules ont des dents »
q : « Les crabes sont des mammifères »
r : « Les poules sont carnivores »
JJ
II
J
I
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2.1.2.
Connecteurs logiques
Il y a cinq connecteurs de propositions (ou connecteurs logiques) utilisés en logique propositionnelle :
Symbole Nom
¬
NON
∧
ET
∨
OU
→
SI ... ALORS
↔
SI ET SEULEMENT SI
Utilisation
¬p est appelé
« négation de p »
p ∧ q est appelé
« conjonction de p et q »
p ∨ q est appelé
« disonjonction de p et q »
p → q se lit
« Si p alors q » ou
« p implique q »
p ↔ q se lit
« p si et seulement si q »
Tab. 2.1 – Les connecteurs logiques
A partir des connecteurs logiques, on peut construire de nouvelles propositions.
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Page de Titre
Sommaire
JJ
II
J
I
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Remarque 2 Il faut distinguer les connecteurs logiques → et
↔ des symboles usuels ⇒ et ⇔.
Page dáccueil
Définition 2.1.2 Les formules bien formées (fbf ) où formules
ou proposititions sont définies récursivement :
Page de Titre
1. Un atome est une formule
Sommaire
2. Si P est une formule alors ¬P est une formule
3. Si P et Q sont des formules alors P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q
et P ↔ Q sont des formules
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4. Toutes les formules sont générées en appliquant ces règles.
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L’ordre d’une formule est le nombre maximal de fois où les
règles de formation sont appliquées. Par exemple la formule :
Retour
F = ((¬((p → q) ∨ r)) ↔ (p ↔ q))
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est une formule d’ordre 4.
On note P rop(P) l’ensemble des propositions qui peuvent être
construites à l’aide de ces règles.
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La table de vérité des connecteurs logiques est la suivante :
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ν(p) ν(q) ν(¬p) ν(p ∨ q) ν(p ∧ q) ν(p → q) ν(p ↔ q)
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
On remarque que p → q = ¬p ∨ q et que p ↔ q = (p ∨ ¬q) ∧
(¬p ∨ q).
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2.1.3.
Conséquences logiques
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Définition 2.1.3 Soit une formule F , et soient p1 , . . . , pn les
atomes intervenant dans F . Une interprétation de F est une
affectation des valeurs (0, 1) à p1 , . . . , pn .
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Sommaire
Parmi toutes les formules bien formées possibles, certaines ont
des propriétés plus intéressantes.
Définition 2.1.4 Une formule est dite valide ou appelée une
tautologie si elle est vraie quelque soit son interprétation.
Une formule est dite inconsistante ou appelée une antilogie ou
une contradiction, si elle est fausse quelque soit son interprétation.
Exemple 9 Soient p et q deux propositions :
p ∧ q → p est une tautologie,
(p → q) ∧ (p ∧ ¬q) est une antilogie.
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Définition 2.1.5 Soient p et q deux propositions, on dit que p
implique q si la proposition p → q est une tautologie. On ecrit
alors p ⇒ q .
On dit que p est équivalent à q si p → q et q → p sont des
tautologies. On écrit alors p ⇔ q
Théorème 2.1.6 Une proposition p implique une proposition
q si pour chaque interprétation où p est vraie, alors q est vraie.
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2.1.4.
2.1.4.1.
Démonstration de formules
Tables de Vérité
Si la formule possède n atomes, il faut considérer 2n interprétations...
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2.1.4.2.
Arbres de Beth
Sommaire
Un arbre de Beth est une méthode pour démontrer qu’une formule est une antilogie. Pour montrer que la formule F est une
tautologie, il suffit de montrer que ¬F est une antilogie. Pour
cela on développe ¬F en construisant un arbre (de Beth) de la
manière suivante :
Expression Arbre
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Expression Arbre
Retour
P ∨Q
P
@
@
@
P
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Q
P ∧Q
Q
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P →Q
P
@
@
@
P
Q
¬(P → Q)
Quitter
Q
2.2.
2.2.1.
2.2.1.1.
La Logique des Prédicats
Motivations
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Vers la logique des prédicats
Page de Titre
Regardons de plus près les propositions atomiques. En général,
elles sont composées d’objets (ce dont on parle) et d’un prédicat
(ce qu’on en dit). Par exemple :
– « Socrate est mortel », le prédicat est mortel s’applique à
l’objet Socrate.
– « Socrate boit la ciguë », le prédicat boit s’applique aux objets
Socrate et ciguë.
On pourrait réécrire les propositions ci-dessus sous une forme
qui met en évidence le prédicat et les objets :
– « Socrate est mortel » s’écrira est mortel(Socrate)
– « Socrate boit la ciguë » s’écrira boit(Socrate,ciguë)
Dans certains domaines, dont les mathématiques, des notations
particulières ont été inventées pour exprimer certains prédicats.
On écrit par exemple 3 < 46 plutôt que inférieur(3,46) ou
1/2 = 3/6 plutôt que égal(1/2,3/6).
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2.2.1.2.
Les variables et les quantificateurs
L’introduction de variables permet de formuler deux types
d’énoncer.
1. Des énoncés universels dans lesquels les variables représentent tous les objets d’un domaine. Par exemple :
– être humain(X) → est mortel(X) exprime le fait que si
X est un être humain alors X est mortel.
– X < X + 1 pour des nombres entiers exprime le fait que
si X est un nombre alors il est strictement inférieur à
X + 1.
2. Des énoncés exprimant l’existence de quelque chose,
sans qu’on connaisse encore précisément cette chose. Par
exemple :
– Dans l’équation 3X − 8 = 22, X représente un nombre
encore inconnu, qui existe et qui a la propriété que si on
le multiplie par 3 et qu’on lui retranche 8, on obtient 22.
– Dans père(Paul,X), X représente la personne qui est le
père de Paul.
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2.2.2.
Le Langage L1 des prédicats
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2.2.2.1.
Règles de grammaire
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Pour écrire des formules de logique, on commence par se donner
un vocabulaire W composé de symboles de différents types :
{x, y, z, x1, y1, z1, . . .}
{a, b, c, a1, b1, c1, . . .}
{f, g, h, f1, g1, h1, . . .}
{P, Q, R, P1, Q1, R1, . . .}
{¬, ∧, ∨, →, ↔}
{(...); , }
{∃, ∀}
:
:
:
:
:
:
:
des
des
des
des
des
des
des
variables
constantes
fonctions
prédicats
connecteurs logiques
séparateurs
quantificateurs
A chaque symbole de fonction et de prédicat est
associé une arité qui est un entier positif ou nul
a(f ), a(g), . . . , a(P ), a(Q), . . ..
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A partir de ce vocabulaire W , on construit les termes, les
atomes et les formules bien formées (fbf).
1. Les termes sont définis récursivement sur W par :
– Toute variable et toute constante est un terme
– Si f est une fonction n-aire et t1 , t2 , . . . , tn sont des
termes alors f (t1 , t2 , . . . , tn ) est un terme.
2. Si P est un prédicat k -aire et t1 , t2 , . . . , tk sont des termes
alors P (t1 , t2 , . . . , tk ) est un atome.
3. Les formules bien formées (fbf) ou prédicats sont définies
récursivement par :
– Les prédicats atomiques sont des fbf,
– Si F est une fbf, alors (F ) est une fbf,
– Si F est une fbf et x est une variable, alors ∀x, (F ) et
∃x, (F ) sont des fbf,
– Si F et G sont des fbf, alors (F ), ¬F , (F ∧ G), (F ∨ G),
(F → G), (F ↔ G) sont des fbf.
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2.2.2.2.
Variables libres et variables liées
Les variables qui apparaissent dans une formule sont dites libres
ou liées, selon le principe suivant :
– toutes les variables d’une formule sans quantificateurs sont
libres,
– si x est libre dans F , alors x est liée dans ∀x, (F ) et ∃x, (F ).
Une formule dont toutes les variables sont liées est dite fermée.
Par exemple :
∀x, (P (x) → ∃y, (Q(x, y)))
Si ce n’est pas le cas, la formule est dite ouverte.
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2.2.2.3.
Substitution et instantiation
L’opération de substitution consiste à remplacer certaines variables libres d’une formule F par des termes.
On dira qu’une substitution instancie x si elle remplace x par
un terme où n’apparaı̂t aucune variable.
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2.2.3.
2.2.3.1.
Sémantique du calcul des prédicats
Interprétation d’un vocabulaire
Pour interpréter une formule construite avec le vocabulaire W ,
on se donne une interprétation de chaque symbole.
Une interprétation I est constituée de :
1. un ensemble non-vide D appelé domaine de l’interprétation,
2. une fonction IC de l’ensemble des constantes dans D,
3. une fonction IF associant à chaque fonction à n arguments
une application de Dn dans D,
4. une fonction IP associant à chaque prédicat à n arguments
un sous-ensemble de Dn appelé ensemble de véracité de P
et noté VP .
Par abus de notation, les fonctions d’interprétation IC , IF , IP
sont souvent notées I .
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2.2.3.2.
Interprétation des formules
Pour interpréter une formule, il faut :
1. Assigner des valeurs de D aux variables libres
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2. Interpréter les fonctions
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f (t1, t2, . . . , tn) = f
I
(tI1 , tI2 , . . . , tIn)
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3. Valuer les prédicats atomiques
P (t1, t2, . . . , tk )I = vrai si (tI1 , tI2 , . . . , tIk ) ∈ VP
4. Valuer les formules composées comme en logique propositionnelle, par exemple :
¬F I = vrai si F I = faux
5. Valuer les formules quantifiées avec :
∀x, (F )I = vrai ssi F (x)I = vrai pour tout x ∈ D
∃x, (F )I = vrai ssi F (x)I = vrai
pour au moins un élément x ∈ D
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2.2.3.3.
Modèles et conséquences logiques
Définition 2.2.1 Soit F = {F1 , . . . , Fn } un ensemble de formules fermées, un modèle de F est une interprétation I tel que
F1I = vrai, F2I = vrai,..., FnI = vrai.
Définition 2.2.2 Un ensemble de formule fermées F est dite
satisfaisable s’il existe au moins un modèle de F , autrement on
dit que F est inconsistante où une antilogie.
Par exemple F = {P (a, b), ¬∃y, (P (a, y))} est inconsistante.
Définition 2.2.3 On appellera tautologie une formule F qui
est vraie pour n’importe quelle interprétation.
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2.2.4.
Manipulations syntaxiques
Les formes suivantes sont équivalentes
¬∀x, (F )
¬∃x, (F )
∀x, (F ∧ G)
∀x, (F ∨ G)
=
=
=
=
∃x, (¬F )
∀x, (¬F )
∀x, (F ) ∧ G si x n’apparaı̂t pas dans G
∀x, (F ) ∨ G si x n’apparaı̂t pas dans G
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Définition 2.2.4 Une formule est dite en forme prenex, si
tous les quantificateurs apparaissent au début.
Théorème 2.2.5 Toute formule peut se mettre sous forme prenex.
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