Alg`ebre de Boole et Logique - Département informatique de l`IUT

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Math´ematiques Pour
l’Informatique I :
Alg`ebre de Boole et Logique
Serge Iovleff
14 janvier 2005

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Table des mati`eres
1 Alg`ebre de Boole 5
1.1 Alg`ebres de Boole ................................ 5
1.1.1 D´efinition ................................. 5
1.1.2 Exemples ................................. 7
1.1.3 D´eveloppements et Simplifications en Alg`ebre de Boole ....... 8
1.1.4 R`egles de Calcul dans les Alg`ebres de Boole .............. 9
1.1.5 Principe de Dualit´e ............................ 11
1.1.6 R`egles sur les ´egalit´es .......................... 12
1.2 Les Fonctions Bool´eennes et leurs Formes Canoniques ............ 15
1.2.1 D´efinitions ................................ 15
1.2.2 Indexation et Nombre de mintermes et maxtermes .......... 17
1.2.3 Propri´et´es des mintermes et maxtermes ................ 18
1.2.4 Formes canoniques d’une fonction bool´eenne ............. 20
1.2.4.1 Formes canoniques conjonctives et disjonctives ....... 20
1.2.4.2 D´etermination des formes canoniques ............ 21
1.2.4.2.1 D´etermination Alg´ebrique .............. 21

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1.2.4.2.2 Code des poids .................... 22
1.2.5 Passage d’une forme canonique `a une autre .............. 23
1.2.6 Application aux calculs sur les ´egalit´es ................. 24
1.3 Simplification des fonctions Bool´eennes ..................... 25
1.3.1 Diagrammes de Karnaugh ........................ 25
1.3.1.1 Diagrammes de Karnaugh pour 4 variables ......... 25
1.3.1.2 Diagrammes de Karnaugh pour 5 variables ......... 25
1.3.1.3 Utilisation des diagrammes de Karnaugh .......... 26
1.3.2 M´ethode de Quine-Mc Cluskey ..................... 26
1.3.2.1 M´ethode de Quine ....................... 26
1.3.2.2 M´ethode de Mc Cluskey .................... 31
1.4 Les Fonctions bool´eennes sur variables binaires ................ 33
1.4.1 D´efinitions ................................ 33
1.4.2 Num´erotation des fonctions bool´eennes ................ 35
1.4.3 Fonctions de plusieurs variables binaires ................ 36
1.4.3.1 Fonctions de une variable ................... 36
1.4.3.2 Fonctions de deux variables .................. 37
1.4.3.3 Fonctions de trois variables .................. 38
1.5 Applications aux Circuits ............................ 40
1.5.1 Les op´erations duales NOR et NAND ................. 40
1.5.1.1 D´efinitions ........................... 40
1.5.1.2 Propri´et´es ........................... 40
1.5.2 La disjonction exclusive ......................... 43
1.5.2.1 D´efinitions ........................... 43
1.5.2.2 Propri´et´es de la disjonction exclusive ............ 43
1.5.2.3 Calcul Galoisien ........................ 45

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2 Logique 46
2.1 La Logique Propositionnelle ........................... 46
2.1.1 D´efinitions et Notations ......................... 46
2.1.2 Connecteurs logiques ........................... 48
2.1.3 Cons´equences logiques .......................... 51
2.1.4 D´emonstration de formules ....................... 53
2.1.4.1 Tables de V´erit´e ........................ 53
2.1.4.2 Arbres de Beth ......................... 53
2.2 La Logique des Pr´edicats ............................ 54
2.2.1 Motivations ................................ 54
2.2.1.1 Vers la logique des pr´edicats ................. 54
2.2.1.2 Les variables et les quantificateurs .............. 55
2.2.2 Le Langage L1des pr´edicats ...................... 56
2.2.2.1 R`egles de grammaire ..................... 56
2.2.2.2 Variables libres et variables li´ees ............... 57
2.2.2.3 Substitution et instantiation ................. 57
2.2.3 S´emantique du calcul des pr´edicats ................... 58
2.2.3.1 Interpr´etation d’un vocabulaire ................ 58
2.2.3.2 Interpr´etation des formules .................. 59
2.2.3.3 Mod`eles et cons´equences logiques .............. 60
2.2.4 Manipulations syntaxiques ........................ 61

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Chapitre 1
Alg`ebre de Boole
1.1. Alg`ebres de Boole
1.1.1. D´efinition
D´efinition 1.1.1 Soit Bun ensemble contenant au moins deux ´el´ements que l’on convient
de noter 0et 1, et muni :
– D’une op´eration binaire appel´ee «somme »et not´ee +:
+ : B×B−→ B
(a, b)7→ a+b
– D’une op´eration binaire appel´ee «produit »et not´ee .:
.:B×B−→ B
(a, b)7→ a.b