elle pourra

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chap 3 : La machine à courant continu
Chapitre 3
La machine à courant continu
1. INTRODUCTION
La machine à courant continu est totalement réversible : elle pourra fonctionner en moteur ou en
génératrice.
2. CONSTITUTION
La vue en coupe fait apparaître deux parties principales : le stator (partie fixe) et le rotor (partie
tournante) :
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1 : cornes polaires
2 : carcasse
3 : rotor
4 : carcasse
5 : entrefer
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chap 3 : La machine à courant continu
6 : bobinage inducteur
7 : pôles
8 : axe x’x
9 : axe y’y
10 : conducteur de l’induit
11 : encoche rotorique
12 : collecteur
13 : balai
Du point de vue électrique, nous avons aussi deux parties bien distinctes :
a) L'inducteur : (source de champ magnétique) situé au stator, il est constitué soit d'un
aimant permanent, soit d'un électro-aimant (bobines enroulées autour d'un noyau de fer).
Nous allons nous intéresser maintenant à l’inducteur bobiné :
Le bobinage inducteur est traversé par un courant continu constant j (appelé courant inducteur)
G
qui crée un champ magnétique B uniforme que l’on dirige avec la règle du bonhomme
d’Ampère ou la règle du tire-bouchon.
Les cornes polaires sont donc magnétisées et on peut faire apparaître un pôle Nord et un pôle Sud
(machine bipolaire).
Les
pôles
auxiliaires
permettent
d’améliorer notablement la commutation au
niveau du collecteur (diminution des
étincelles). Ils sont alimentés par le courant
d’induit.
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b) L'induit : situé au rotor, il est constitué d'un ensemble de conducteurs reliés de manière
"astucieuse ". (Les conducteurs diamétralement opposés sont reliés 2 à 2 pour former une spire
dont les extrémités sont reliées au collecteur).
Le collecteur est constitué de bagues conductrices où frottent 2 balais appelés charbon. Quel que
soit le type de bobinage l'induit se comporte comme une seule et même bobine lorsqu'il est alimenté
par les balais.
Les bobinages (spires) sont fermés
sur eux-mêmes :
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3. PRINCIPE DU FONCTIONNEMENT EN GENERATRICE
3.1.
Champ magnétique créé par l’inducteur :
B(θ)
N
3.2.
θ
S
Dans l’entrefer, la composante radiale du
champ magnétique vaut :
B(θ ) = BM cos θ
Ce champ est en effet maximal pour :
θ = 0 ou θ = π
BM étant fonction du courant d’excitation j.
Existence d’une force électromotrice induite (f.é.m) :
Chaque spire de l’induit est soumise au champ B(θ) car l’induit est entraîné en rotation. Chaque
spire est donc le siège d’une force électromotrice induite (f.é.m.) alternative.
Si la rotation est uniforme, et comme le champ magnétique radial possède une forme sinusoïdale,
alors, la f.é.m induite sera aussi de forme sinusoïdale d’après la loi de Faraday :
G G
dΦ
e=−
avec Φ(t ) = B ⋅ n ⋅ S = B(θ ) ⋅ S et θ = Ω t
dt
G
n étant la normale à la spire et S la surface de la spire.
donc
3.3.
e = BM ⋅ S ⋅ Ω ⋅ sin Ω t = φ M ⋅ Ω ⋅ sin Ω t
Rôle du collecteur et des balais :
Le collecteur est constitué d’un certain nombre de lames de cuivre isolées entre elles par du mica ; il
fait parti du rotor car il est entraîné en rotation.
Les balais par contre sont fixes et appartiennent au stator, mais ils sont en contact électrique avec
certaines lames du collecteur.
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L’ensemble collecteur/balais joue le rôle de redresseur. En effet les spires fournissent chacune
une tension sinusoïdale déphasée par rapport à la précédente. Les balais en commutant de spire en
spire permettent de rester à un niveau maximum de tension.
3.4.
Expression de la f.é.m :
La force électromotrice (valeur moyenne de u(t)) peut être mesurée aux bornes de l’induit avec un
voltmètre magnétoélectrique s’il n’y a pas de charge.
La force électromotrice s’exprime par :
E = k '⋅Ω ⋅ Φ( j )
E en volts (V)
Ω : vitesse angulaire en rad.s-1
k’ : constante de la machine
La vitesse angulaire Ω (en rad/s) est liée à la vitesse de rotation n (en tr/s) par : Ω = 2 π n
Souvent, nous sommes amenés à travailler à flux constant (en maintenant le courant d’excitation j
constant) ; alors la f.é.m est proportionnelle à la vitesse :
E = k ⋅Ω = K ⋅n
3.5.
avec
K = 2π k
Représentation en régime permanent :
En régime permanent, l’induit est représenté par un générateur de tension de f.é.m E en série avec
une résistance R appelée résistance de l’induit.
L’inducteur est représenté sur le schéma par une bobine, mais comme ce bobinage est alimenté en
courant continu j, il est donc équivalent à une résistance appelée résistance d’inducteur.
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En fonctionnement génératrice, l’emploi de la convention générateur s’impose :
R
I
U = E − R⋅I
E
j
inducteur
3.6.
U
induit
Puissance électromagnétique et puissance utile :
La puissance électromagnétique est définie par :
Pem = E ⋅ I
Elle est supérieure à celle dont on dispose aux bornes de l’induit, il faut en effet retrancher les
pertes Joule dans l’induit :
p JI = R I 2
Donc la puissance électrique fournie par la génératrice (que l’on appellera puissance utile) vaut :
Pfournie = U ⋅ I = Pem − pJI = Pu
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4. PRINCIPE DU FONCTIONNEMENT EN MOTEUR
4.1.
Existence d’un couple moteur :
Expérience de Laplace :
G
Un conducteur (une barre) de longueur l qui est placé dans un champ magnétique B et est parcouru
par un courant I, est alors soumis à une force électromagnétique de Laplace.
G G
G
F = Il ∧B
Pour le moteur à courant continu, le conducteur l se trouve à la périphérie du rotor et comme chaque
spire comporte un brin aller et un brin retour, nous avons donc deux forces égales et opposées, ce
qui crée un moment de couple entraînant l’induit en rotation.
G
F
I
N
G
B
I
S
G
F
Deux solutions existent pour inverser le sens de rotation :
• Inverser le courant d’induit I (en inversant la tension d’alimentation U),
G
• Inverser le sens de B (en inversant la tension d’alimentation de l’inducteur).
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4.2.
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Force électromotrice et loi d’Ohm :
Les conducteurs sont le siège d’une force électromotrice E’ comme pour le fonctionnement en
génératrice (on emploie quelquefois le terme de force contre-électromotrice pour le fonctionnement
en moteur).
on a :
et si on maintient le flux constant :
E ' = E = k '⋅Ω ⋅ Φ( j )
E' = E = k ⋅ Ω = K ⋅ n
Le fonctionnement en moteur impose en général le choix d’une convention récepteur. Si de plus, le
moteur se trouve dans un fonctionnement en régime permanent, les grandeurs employées sont les
valeurs moyennes :
R
E’
j
inducteur
4.3.
I
U = E '+ R ⋅ I
U
induit
Vitesse angulaire de rotation Ω :
A partir des deux formules précédentes, on écrit : Ω =
E'
U − R⋅I
=
k '⋅ Φ( j ) k '⋅ Φ( j )
Donc pour un flux constant, la vitesse baisse si on charge le moteur (augmentation de I).
En négligeant la résistance R (qui de toute façon reste faible de l’ordre de l’ohm), on en déduit :
Ω=
U
k '⋅ Φ ( j )
•
Pour un flux constant, on règle la vitesse comme la tension U ( Ω augmente si U
augmente).
•
Pour une tension d’induit U constante, on règle la vitesse avec le courant
d’excitation j de façon inversement proportionnelle ( Ω augmente si le flux donc j
diminue).
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Attention toutefois à garder une excitation minimale car pour j = 0 la
vitesse devient théoriquement infinie : on dit que le moteur s’emballe et il y
a danger !
4.4.
Couple électromagnétique Cem :
La puissance électromagnétique Pem est reliée au couple électromagnétique Cem par :
Pem = Cem ⋅ Ω = E'⋅I
donc :
Cem =
E'⋅I
= k '⋅Φ( j ) ⋅ I
Ω
Si le moteur fonctionne à flux constant (comme ce sera souvent le cas dans les asservissements de
vitesse ou avec des moteurs à aimants permanents), alors :
Cem = k ⋅ I
car
E' = k ⋅ Ω
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5. GENERATRICE A EXCITATION SEPAREE
Le montage utilisé est le suivant, on fait varier la vitesse Ω avec un moteur supplémentaire :
A
réseau
220V
pont
redresseur
V
M
j
Ω
5.1.
Caractéristique à vide E=f(j) à vitesse constante :
Zone
linéaire
5.2.
Saturation
magnétique
Caractéristique à vide E=f(Ω) à flux constant :
Cette caractéristique permet la détermination du coefficient k de la machine :
V
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5.3.
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Caractéristique en charge U=f(I) à flux constant et vitesse constante :
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6. MOTEUR A EXCITATION SEPAREE
I
A
réseau
220V
pont
redresseur
V
A
M
j
V
alimentation
continue
Le montage utilisé est le suivant :
Charge mécanique
pour imposer un
couple résistant
6.1.
Caractéristique n=f(I) à flux constant et sous tension d’induit U constante :
U = constante
flux : Φ = constante
La caractéristique n = f(Cem) possède la même allure.
6.2.
Caractéristique de couple à flux constant :
Cu
CuN
Couple
électromagnétique
flux : Φ = constante
La différence est le couple de pertes ou de
frottements :
C f = Cem − Cu
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7. BILAN DE PUISSANCES
7.1.
Fonctionnement en moteur :
Puissance absorbée
par l’induit
Pa induit = U I
Puissance
électromagnétique
(puissance mécanique)
Puissance utile
Pem = E I = Cem Ω
Pu = Pm = Cu Ω
Pertes Joule induit
Pertes fer
pJ I = R I 2
pf
Puissance absorbée
par l’inducteur
Pertes
mécaniques
pm
Pertes Joule inducteur
pJ j = R j j 2
Pa inducteur = U j ⋅ j
Puissance absorbée totale
Pa Total
7.2.
Fonctionnement en génératrice :
Puissance mécanique
absorbée sur l’arbre
Pa méca = Pm = Cm Ω
Puissance
électromagnétique
(puissance électrique)
Pem = E I = Cem Ω
Pu = U I
Pertes
Pertes fer
mécaniques
pf
pm
Puissance absorbée
par l’inducteur
Pa inducteur = U j ⋅ j
Puissance utile
Pertes Joule induit
pJ I = R I 2
Pertes Joule inducteur
pJ j = R j j 2
Puissance absorbée totale
Pa Total
7.3.
Rendement
Pu
Pu
puissance utile
=
Le rendement est donné par la formule générale : η = puissance absorbée = P
Pu + pertes
aTotal
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8. REVERSIBILITE DE LA MACHINE A COURANT CONTINU
La machine à courant continu peut passer de façon continue du fonctionnement moteur au
fonctionnement génératrice. L’excitation de la machine étant maintenue constante.
En général, on utilise la convention récepteur pour étudier un fonctionnement réversible. Les
caractéristiques n = f(I) ou n = f(Cem) à U = constante ont l’allure suivante :
n
UN
génératrice (4)
moteur (1)
UN/2
0
U=0
-UN/2
moteur (3)
génératrice (2)
-UN
On donne quelquefois les caractéristiques Cem = f(n) à U = constante :
Cem
-UN
-UN/2
U=0
UN/2
génératrice (2)
UN
moteur (1)
n
0
moteur (3)
génératrice (4)
I
Cem
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9. MODELISATION DU MOTEUR A COURANT CONTINU A FLUX CONSTANT EN
REGIME TRANSITOIRE
9.1.
Modélisation :
Le moteur ne tourne pas tout le temps à vitesse constante, notamment lors des démarrages et des
freinages. De plus, la tension d’alimentation de l’induit u(t) peut varier dans le temps.
Le modèle du moteur en régime transitoire devra prendre en compte :
• l’inertie électrique due à l’inductance propre L du bobinage induit,
• l’inertie mécanique due au moment d’inertie J de la partie tournante.
Modélisation de l’induit :
u (t ) = e(t ) + R ⋅ i (t ) + L ⋅
di(t)
dt
avec à flux constant : e(t ) = k ⋅ Ω(t )
R : résistance de l’induit,
L : inductance propre de l’induit.
Modélisation de la partie tournante :
La relation fondamentale de la dynamique pour les systèmes en rotation autour d’un axe est :
J
avec
dΩ(t )
= cm (t ) − cr (t )
dt
cm (t ) = cem (t ) − c f (t ) = k ⋅ i (t ) − c f (t )
Les frottements peuvent être de deux types :
•
frottements secs : le couple de frottement est constant : c f (t ) = K sec
•
frottements visqueux ou fluides : le couple de frottement dépend de la vitesse, on
choisit souvent la proportionnalité : cv (t ) = f ⋅ Ω(t )
J : moment d’inertie de la partie tournante par rapport à l’axe de rotation (en kg.m2),
k : constante de la machine mesurée par un essai à vide en génératrice (en V.s),
i(t) : courant d’induit du moteur (en A),
Ω (t ) : vitesse angulaire de rotation du moteur (en rad.s-1),
cm(t) : moment de couple moteur (en N.m),
cem(t) : moment de couple électromagnétique (en N.m),
cf(t) : moment de couple de frottements (en N.m),
cv(t) : moment de couple de frottements visqueux (en N.m),
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cr(t) : moment de couple résistant (en N.m),
f : coefficient de frottement visqueux ou fluide (en N.m.s),
Ksec : coefficient de frottements secs (en N.m),
9.2.
Essais de détermination du modèle :
9.2.1. Mesure de l’inductance L de l’induit :
Le moteur doit être à l’arrêt pour annuler e(t) :
• essai indiciel de tension,
• essai en sinusoïdal à l’arrêt.
9.2.2. Mesure du moment d’inertie J et des coefficients de frottements :
•
essai de lâché et essai à vide du moteur :
Le moteur tourne à vide à la vitesse Ω0 . Il absorbe un courant d’induit I = I0.
cem = k ⋅ I 0 = c f
Le couple de frottements vaut :
⇒ on coupe l’alimentation en ouvrant le circuit : i(t) = 0
On mesure le temps ∆t mis par le moteur pour s’arrêter.
a) Si la réponse est exponentielle décroissante, c’est que les frottements sont
fluides :
dΩ(t )
J
= k ⋅ i (t ) − c f (t ) − cr (t ) = − f ⋅ Ω(t )
dt
 t 
dΩ(t )
f
⇒
= − dt ⇒ Ω(t ) = Ω 0 ⋅ exp − 
Ω(t )
J
 τm 
J
avec τ m = f
Comme
constante de temps mécanique avec frottements fluides.
c f = f ⋅ Ω0
⇒
f =
k ⋅ I0
Ω0
b) Si la réponse est linéaire décroissante, c’est que les frottements sont secs :
dΩ(t )
J
= k ⋅ i (t ) − c f (t ) − cr (t ) = − K sec
dt
K
K
⇒ dΩ(t ) = − sec dt ⇒ Ω(t ) = − sec t + Ω 0 ⋅
J
J
K sec
c f = K sec = k ⋅ I 0
⇒ pente = − J
avec
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•
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essai indiciel de tension :
En considérant l’inertie mécanique, l’inertie électrique et un frottement fluide, la fonction de
transfert isomorphe du moteur est du second ordre passe-bas :
k
2
KM
Ω( p )
k + f ⋅R
T ( p) =
=
=
2
U ( p)
 L⋅J  2
 J ⋅R + L⋅ f 
 p
m
 p
 p +  2
1 +  2
p +  
1+ 2
k
f
R
k
f
R
+
⋅
+
⋅




ωn
ω
 n
Dans la plupart des cas, ce second ordre est factorisable (amortissement m > 1) et assimilable à un
premier ordre passe-bas. Cela revient en fait à négliger l’inductance L :
T ( p) =
avec
τ em =
J ⋅R
k + f ⋅R
et
KM =
k
k + f ⋅R
2
Ω( p )
KM
=
U ( p) 1 + τ em p
constante de temps électromécanique.
2
A l’aide du relevé Ω(t ) assimilable à un premier ordre, on mesure τ em et KM. On peut en déduire J
et f. On peut aussi calculer f avec le courant d’induit I0 mesuré en régime permanent.