Introduction à la mécanique des solides CIDO

Introduction à la mécanique
des solides
CIDO – Saint-Etienne
P. Badel
Introduction générale
2
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Quelle mécanique ?
Comment la mettre en œuvre ?
En quoi est elle utile ?
3
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Notions de système et de modèle
 Notre environnement est fait de systèmes qui interagissent entre eux
• Interactions électriques,
•
chimiques,
•
magnétiques,
•
mécaniques…
 Grande complexité !
En science, souvent, on ne considère que certaines interactions, on néglige les
autres  Différentes disciplines de la physique.
4
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Notions de système et de modèle
 On est toujours amenés à faire des hypothèses, limiter les études
On construit des modèles
Il s’agit d’interprétations physiques de la réalité
- fondées sur des hypothèses,
- basées sur des lois mathématiques.
?
⇔
 Modèle = représentation imparfaite de la réalité
5
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Objectifs concernant l’aspect mécanique
 Ce cours est un cours de base à :
• l’étude des interactions mécaniques entre solides rigides (en statique)
 Applications typiques
• Robotique,
• automobile,
• biomécanique musculo-squelettique…
6
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Quel intérêt pour l’ostéopathe ?
7
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La mécanique comme source de pathologies
 Exemple : La maladie d'Osgood-Schlatter
«
La maladie d'Osgood-Schlatter est une cause banale de douleur du genou chez le grand enfant et
l'adolescent sportif.
Elle toucherait près de 20 % des enfants sportifs, et 5 à 10 % des enfants non sportifs.
Il s'agit d'une souffrance de l’insertion basse du ligament rotulien »
[Wikipedia]
[Wikipedia]
8
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La mécanique comme source de pathologies
 Exemple : La maladie de Sever
« Trouble de la croissance du noyau secondaire d'ossification postérieure du calcanéum, en
rapport avec un surmenage du pied.
Elle est directement liée à la surexploitation de l'os par le tendon d'Achille.
Elle est superposable à la maladie d'Osgood-Schlatter au niveau du genou »
[Wikipedia]
[http://www.anps-france.com]
 Autres idées d’exemples ?
9
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La mécanique comme vecteur de développement
 Exemple : formation du processus mastoïde
[Wikipedia]
10
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La mécanique comme vecteur de développement
 Tubérosité occipitale
externe
11
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interne
Structure anatomique ↔ fonction mécanique
 Exemple : membrane
interosseuse antébrachiale
 Exemple : artères
[Kinesiology of the Musculoskeletal System, 2010, D.A. Neumann]
12
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[www.larousse.fr]
Quels outils pour comprendre
et étudier ces situations ?
13
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 Le pouvoir de la Force…
 Illustration : maquette de tenségrité
14
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Cadre/contenu de ce cours
(Applications en 2D)
PARTIE 1 : PARTIE PRINCIPALE
 Rappels indispensables
 Etude de l’équilibre statique des particules/points
 Etude de l’équilibre statique des solides rigides
et Application à l’étude du système musculo-squelettique
 Le concept de tenségrité
PARTIE 2 : OUVERTURE
 Milieux déformables, notions de contrainte et déformation en mécanique du
solide, notions de comportement
ANNEXES
15
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PARTIE 1
Mécanique des solides rigides
16
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Rappel des hypothèses et limites de la mécanique classique
 Hypothèses de base
• Systèmes matériels non variables.
• Un système matériel est constitué d’éléments individualisables : les points matériels.
• Un ensemble de points matériels dont les distances entre points sont constantes
= un solide indéformable (ou rigide).
• La masse ne dépend que de la nature du matériau.
 Limitations (on sort du domaine de validité des modèles)
• Très petits systèmes matériels. Exemple : taille < µm.
• Vitesses proches de celle de la lumière.
• Autres interactions physiques qui peuvent être non négligeables.
17
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Méthodologie générale en mécanique du solide rigide
Dans un système, on va s’intéresser à chacun des solides :




18
Isoler chaque solide
(Analyser ses mouvements)
Analyser les actions mécaniques extérieures appliquées sur ce solide
Analyser les relations entre ces actions mécaniques
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Ch. 0 Rappels : outils utiles
19
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L’outil fondamental : le vecteur
 Définition
Un vecteur est caractérisé par :
• Une direction (droite support + sens)
• Une longueur (intensité)
 Propriétés
• On somme des vecteurs par le principe du parallélogramme

• On note un vecteur F , F ou F
• L’intensité donne la longueur du vecteur représenté en construction
graphique, celle-ci est notée F

F
20
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
L’outil fondamental : le vecteur
 Opérations sur les vecteurs : somme (graphique)

M
 
MN
 
NM
 
MN
  
MNP
21
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
N

P
La base : la base
 Définir et dimensionner notre espace
• Une base permet de définir des orientations dans le plan où l’on travaille
• Elle permet de définir aussi une échelle
 Elle permet de orienter/mesurer tous les éléments de l’étude
22
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La base : la base
 Illustration : en 2D, deux vecteurs non colinéaires suffisent
• Notation habituelle :
23
 
i et j
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Le répère
 Un repère = une base + un point de référence
 
j
• Notation habituelle : O, i ,
24

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Le repère
Nous allons utiliser
des bases orthonormées directes (en 2D)
Nous allons utiliser
des repères orthonormées directs (en 2D)
25
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Les coordonnées d’un point
 On peut repérer n’importe quel point
26
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Les composantes d’un vecteur
 On peut définir n’importe quel vecteur
27
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Les composantes d’un vecteur

 Soit le repère orthonormé direct O,i, j


  


u  ux  uy  ux i  uy j

 ux et uy sont les composantes de u dans cette base.
y
y

u


u y  uy j

j
θ


ux  ux i
28
x
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vecteurs unitaires

i
x
Les composantes d’un vecteur
 Rappel de trigonométrie : SOH, CAH, TOA
29
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Les composantes d’un vecteur
 Calcul des composantes
y

u


u y  uy j
θ


ux  ux i
u
tan θ = uy
ux = u cos θ
uy = u sin θ
30
x
x
u = ux² + uy²
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Opérations sur les vecteurs
 Somme, soustraction, produit : calcul analytique
31
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Opérations sur les vecteurs : résumé
 Addition de vecteurs
• Suivre le principe de construction par parallélogramme
•
 
Attention, rappel norme de P  Q  P  Q
(somme des vecteurs ≠ somme des intensités)
•
   
Commutation : P  Q  Q  P
•
  

P  Q  P  Q
•
  
     
Somme de plusieurs vecteurs : A  B  C  A  B  C  A  B  C
 




 Produit par un scalaire
32
•
 

P  P  2P
•


Généralisation : nP est de même direction et sens que P et d’intensité nP
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Opérations sur les vecteurs : résumé
 Dernière remarque
• Des vecteurs égaux ont même direction et même intensité
•
33



 
Opposé d’un vecteur : u est l'opposé de u. Il vérifie u  u  0
 
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Ch. 1 Vecteur force
34
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Forces sur une particule
 Définition
force = action d’un corps sur un autre
Elle est caractérisée par :
• Un point d’application
• Une direction (droite support + sens)
• Une intensité (→ unité Newton N)
 Représentation graphique
échelle
35
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Forces sur une particule
 La somme de forces n’est pas la somme des intensités !
La somme de forces suit le principe du parallélogramme.
On représente une force par un vecteur
 Remarque : déplacements, vitesses, accélérations (et autres grandeurs
physiques) sont aussi représentés par des vecteurs
36
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Vecteur force
 Vecteur force
Un vecteur force représente une force appliquée sur un point.
Il est caractérisé par :
- Un point d’application
- Un vecteur
 Remarque cela implique :
• Forces égales : les vecteurs forces sont égaux



 
• Opposée d’une force : F est l'opposé de F et vérifie F  F  0
 
37
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Vecteur force
 Exemples
• Poids, force appliquée par un muscle
38
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Vecteur force
 Il est pratique de savoir décomposer les forces…
  


F  Fx  Fy  Fx i  Fy j
 ... Ainsi :
Fx = F cos θ
Fy = F sin θ
x
F = Fx² + Fy²

• Si on connait une composante → on ob ent l’autre car la somme vaut F
(en représentation graphique, fermeture du triangle)
• on peut projeter la force pour connaitre ses composantes
 Exemple : poids, muscle
39
F
tan θ = Fy
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Forces sur une particule
 Résultante de 2 forces
• 2 forces agissant sur un point peuvent être remplacées par une seule force
• Elle est obtenue par construction selon addition des vecteurs

R

Q

P

 
R est la résultante de P et Q
40
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Résultante de plusieurs forces
 Forces concourantes en un point A
   
• PQ S R

Q
A

P

S
La somme peut être exprimée par un seul vecteur :

la résultante R des forces
41
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Résultante de forces – somme de composantes



R  Rx i  R y j
   
R  A B  C
Rx = Ax + Bx + Cx
Ry = Ay + By + Cy


R  F
Rx = ∑ Fx
Ry = ∑ Fy
y

Q
A

P

S
42
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x
Ch. 2 Statique des particules
43
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Introduction
 Notion de particule ou de point
• Notion utilisée en mécanique du point
• Ne s’adresse pas qu’à l’étude de particules infiniment petites, mais aussi aux
cas suivants :
La taille et la forme des solides considérés n’affecte pas le problème
On peut considérer que les forces sont appliquées en un même point
• Peut s’appliquer à de nombreuses situations réelles
44
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Equilibre d’une particule
 1ère loi de Newton
Une particule est à l’équilibre quand la résultante de
toutes les forces sur la particule est nulle
Alors la particule reste au repos (si initialement au repos), ou se déplace
linéairement à vitesse constante (si se déplace initialement)

 
R  F  0
45
∑ Fx = 0
∑ Fy = 0
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Equilibre d’une particule
 Statique graphique
Bien choisir le point à isoler…
On soulève une caisse de 75 kg. Quelles sont les tensions en AC et AB ? (qui
force le moins…)
46
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En 3D
 Tout peut s’étendre en 3D !




F  Fx i  Fy j  Fz k
F = Fx² + Fy² + Fz²
Attention, les angles sont moins simples à définir et manipuler
47
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Ch. 3 Forces sur un solide rigide
48
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Introduction
 Rappel : point matériel
Portion de l’espace pourvue de matière et assez petite pour être considérée ponctuelle.
 Solide indéformable
Solide indéformable
=
Domaine contenant un ensemble de points matériels gardant
des distances fixes entre eux au cours du temps
• Remarque: il s’agit d’un modèle…. Tout solide est déformable !
49
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Introduction
 Rappel
•
•
Seul effet d’une force sur un point = translation (une rotation n’a pas de sens)
Cette force est caractérisée par :
• Un vecteur
• Un point d’application (ou point de passage)
•
Somme de plusieurs forces = somme vectorielle
 L’action est identique tout le long de la ligne d’action (analogie avec la ficelle)
• Pour un solide rigide, une force est donc caractérisée par :
• Un vecteur
• Une ligne d’action

F
P
P’

F
50
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P
P’
Moment d’une force par rapport à un point
 Effets d’une force sur un solide
Δ
• Entrainement en translation

R

F2
Lorsque la somme des actions se résume à
une force, tous les points du solide ont
tendance à suivre la translation définie par Δ

F1

F
A
• Entrainement en rotation
Pour le traduire, on utilise le vecteur moment en P.
P
51
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H
Moment d’une force par rapport à un point
Le moment (action d’entraînement en rotation) est d’autant plus fort que :
 F est grand
 Le bras de levier PH est grand

M P, F = PH.F.signerotation
 
 Le signe indique le sens de la rotation qu’il entraine.
 Unité : Newton mètre, noté N.m ou Nm

F
A
P
52
H
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Moment d’une force par rapport à un point
 Remarques :

─ Il ne dépend pas du point d’application, si celui-ci est sur la ligne d’action de F
─ Le moment seul ne permet pas de connaitre où est appliquée la force.

─ Le bras de levier est la distance du point de calcul à la droite d’action de F
─ Le bras de levier est calculé en projetant le point d’application A sur la
perpendiculaire à la droite d’action passant par le point de calcul P. On obtient H.
 


Pour un solide, deux forces sont équivalentes si F = F' et M P, F = M P, F'
   

A F
P
53
H

F'
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Moment d’un système de forces par rapport à un point
 Moment résultant de plusieurs forces
  
   
M P, F1 , F2 , ...  M P, F1  M P, F2  ...


 
 

F1

F1
A
A1

F2
P
54
A2
P
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
F2
Système force-moment en un point
 Action mécanique équivalente
Action qui a le même effet mécanique sur le solide

F
A
A

F
P
55
P
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MP
Système force-moment équivalent
 Bilan des actions sur un solide
• Entrainement en translation
• Entrainement en rotation
 caractérisé par la somme des forces
 caractérisé par la somme des moments
La somme des actions mécaniques sur un solide s’écrit en un point.
Elle est alors donnée par :


 Une résultante : R   F
 Un moment résultant en un point P : MP 
 MP
Ce couple suffit à déterminer totalement l’action
mécanique sur un solide.
56
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Ch 4 Statique des solides rigides
57
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Principe fondamental de la statique (PFS)
Le comportement
 d’un solide soumis à n actions est défini, en un point O, par
une résultante R   F et un moment résultant MP   MP
Un solide est en équilibre statique si
 
 F  0 et  M0  0
Nota on avec les composantes : ∑ Fx = 0 ; ∑ Fy = 0 ; ∑ M(O) = 0)
Un système de plusieurs solides est en équilibre statique
si chacune de ses parties est en équilibre
58
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Appliquer le PFS
 (0 – Construire le modèle et ses hypothèses)
 1 - Isoler le solide
S1
S
S2
S
 2 - Lister les efforts extérieurs (forces, moments) connus et inconnus
• Actions mécaniques à distance  écrire force/moment
Exemple : gravité
• Actions mécaniques de contact  écrire force/moment
 3 - Reste plus qu’à écrire/satisfaire la condition d’équilibre !
59
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Appliquer le PFS
 Déterminer les actions extérieures au solide
 On a besoin du principe des actions mutuelles (réciprocité)

F1 2

F2 1
S2
S1


F1/2  -F2/1
et


M1/2 P  M2/1 P
60
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Efforts dans les liaisons extérieurs
 Force seule, ligne d’action connue : appui simple
•
•
•
•
Appui ponctuel
Surface plane sans frottement
Roulement parfait
Câble
 Force seule, ligne d’action inconnue : pivot ou articulation
• Articulation
• Surface rugueuse
 Force + moment : encastrement
• Encastrement
• Liaison fixe
61
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Equilibre 2D d’un solide
 Principe fondamental de la statique en 2D
• ∑ Fx = 0 ; ∑ Fy = 0 et ∑ M(O) = 0
• Donc 3 équations à disposition
 On peut ne déterminer, au plus, que 3 inconnues
Exemple :
62
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Cas particulier : solide soumis à 2 forces

F1
A

F2
B
 Ecrire les équations d’équilibre en A…
Solide soumis à 2 forces ⇒ Forces colinéaires, de sens opposées, de même norme
63
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Cas particulier : solide soumis à 2 forces
 Statique graphique
Exemple des structures en treillis
64
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Cas particulier : solide soumis à 3 forces 
F1
A
I
B
C

F3

F2
 Ecrire les conditions d’équilibre du solide au point I intersection
des directions de F1 et F2…
Solide soumis à 3 forces ⇒ Forces concourantes, de somme vectorielle nulle
65
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Cas particulier : solide soumis à 3 forces
 Statique graphique
66
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Exemple de résolution graphique
• Effort nécessaire pour couper le boulon
1500 daN
• Liaisons parfaites
 Déterminer l’effort de compression
sur la vis
67
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel

F3 1

F2 1
68
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
69
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel


F3 1  F1 3
70

F1 3
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
F2 3

F5 3
71

F1 3
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel

F1 2
72

F4 2

F3 2
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
F6 4
73
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel

F2 4

F7 4

F4 6 
F6 vis
74
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Ch 5 Concept de tenségrité
75
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
 Contenu à venir
76
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
PARTIE 2
Mécanique du solide déformable
77
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Limite de la mécanique du solide rigide
• La statique ne renseigne pas sur les efforts intérieurs
• Comment se déforme le solide ?
• Même à résultante d’efforts nulle, le solide peut se déformer
• Casse d’un solide est un problème d’efforts intérieurs
78
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Loi de comportement des matériaux
 Définition
• Soit un effort, noté, F sur solide donné
• Soit le changement de forme = déformation, noté D
• La loi de comportement du matériau permet de décrire l’un en fonction de
l’autre :
D = f(F)
état déformé
F4
F1
F2
79
état initial
F3
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Loi de comportement des matériaux
 Solide ou fluide ?
Solides
─
─
─
─
Certaine mémoire de la géométrie initiale, retour élastique
Résistance au cisaillement
Force constante Déformation constante
Sur des temps COURTS, pas/peu de réarrangements de molécules
Fluides
─
─
─
─
Réarrangements irréversibles, pas de retour élastique
Prend la forme du récipient
Force constante  Déformation croissante et vitesse de déformation constante
Sur des temps LONGS, réarrangements de molécules
 En pratique tout matériau est solide et fluide !
Tout est question d’échelle de temps « caractéristique » :
Glace : solide < 1 h ; fluide > 24 h
Verre : solide < 1 an ; fluide > 100 ans
Pâte à modeler : solide < 1 s ; fluide > 10 s
80
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Ch 1 Notion de contrainte et
déformation
81
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Contrainte
 Effort intérieur sur une surface
On suppose la répartition de l’effort homogène
sur la surface

─ On isole la partie (1)  calcul de F2/1

F
(2)

F
S
Section S
(1)
(1)

F
82

F
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Contrainte
 Vecteur contrainte – contraintes normale et tangentielle
On définit le vecteur contrainte comme :

 F
T
S

T

σ

τ

t

n
On peut le décomposer :
 F  F 
T  N n T t
S
S
(1)

F



T  σn  τ t
Contrainte normale
83
Contrainte tangentielle
(cisaillement)
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Contrainte
 La contrainte est en fait une grandeur locale


dF
T M 
dS
M

dS dF

 Attention, T dépend de l’orientation
de la surface



dF
T M, n 
dS
 
M
dS

n

dF
Il existe un formalisme mathématique pour écrire la contrainte locale 3D
(basé sur les matrices et opérations associées)
84
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Déformation
 Déformation longitudinale = déformation en 1D
x
x=0
x = l0
ε=
x + u(x)
x=0
85
Δl
x=l
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Δl
l0
Déformation
 La déformation longitudinale peut être non homogène
 Besoin d’une définition locale en x
Elle est liée aux déplacements relatifs des particules du matériau
Isolons un petite portion autour de x :
x
x + dx
ε(x) =
x + u(x)
Δl u(x+dx)
=
l0
dx
x + dx + u(x+dx)
ε(x) =
86
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
du
dx
u(x)
Déformation
 Généralisation, formalisme similaire à la contrainte
• Allongements et variations d’angle (cisaillement)
87
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Ch 2 Notions de comportement
des matériaux
88
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Essais mécaniques unidirectionnels
 Essais de traction simple
L0
S0
F
F
L
F
F
rupture
ΔL
89
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
L - L0
Essais mécaniques unidirectionnels
 Essais de traction simple… et comparaisons avec un même matériau
L0
F
2S0
2Fmax
L0
2L0
S0
S0
Fmax
ΔLel
90
2ΔLel
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
L - L0
Essais mécaniques unidirectionnels
 Essais de traction simple… Notion de contrainte
On pose σ = F / S = contrainte
Unité : N /m² = Pa (pascal)
F / S0
σmax
ΔLel
91
2ΔLel
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
L - L0
Essais mécaniques unidirectionnels
 Essais de traction simple… Notion de déformation
On pose ε = (L - L0) / L0 = déformation
Sans unité, parfois exprimée en %
σ
σmax
εel
92
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
ε
Notions de comportement des matériaux
 Elasticité, plasticité…
σ
σrup
σel
Zone
élastique
Déformations
réversibles
Zone
plastique
Déformations
irréversibles
εel
εrup
ε
 Module d’élasticité ou module de Young
• En zone élastique, le modèle le plus courant d’élasticité linéaire est le
modèle de Young :
σ=Eε
93
E est le module de Young
(Pa, ou souvent Mpa)
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Notions de comportement des matériaux
 Non linéarité…
• Elasticité non linéaire
σ
σ
typique des tissus mous biologiques
ε
polymères
 Viscosité…
• La réponse mécanique (force, contrainte) dépend de la vitesse de
déformation (donc du temps).
• Exemples …
94
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
ε
Notions de comportement des matériaux
 Déformation transverse - Coefficient de Poisson
L0
S0
d
S
d0
L L
ε1 = L 0
0
Déformation
longitudinale
d d
ε2 = d 0 = ε3
0
Déformation
transverse
L
On constate expérimentalement
ε2, ε3
ε2 = -υ ε1
-υ
95
ε1
υ est le coefficient de Poisson du matériau
(sans unité)
0 < υ < 0,5
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Notions de comportement des matériaux
 Loi de comportement d’un matériau « simple »
• Matériau élastique
• Linéaire
• Isotrope
 La loi de comportement est entièrement définie par E et υ.
 Cas plus généraux
• Anisotrope : plusieurs paramètres pour caractériser les différentes directions
• Non linéaire : autres paramètres pour caractériser la non linéarité
• Plasticité, viscosité…
96
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Annexes : introduction à quelques
approfondissements
97
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Annexe 1 Cinématique
98
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Introduction
 Rappels
─ Point matériel : portion de l’espace pourvue de matière, assez petite pour être
considérée comme ponctuelle
─ Solide rigide ou indéformable : domaine D de l’espace contenant un ensemble de
points matériels gardant des distances constantes entre eux.
On peut donc installer un repère sur D
─ Temps : t supposé s’écouler de manière identique pour tous les solides
 Cinématique = étude des mouvements indépendamment de leur causes
Préalable à l’étude des liens entre forces et mouvements
 !! Notion relative !!
On étudie le mouvement par rapport à un référentiel (ou repère, ou observateur)
99
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Cinématique du point - Repérage
On utilise des repères orthonormés directs (r.o.n.d = 1 point + 1 base o.n.d)
 
 Repérage d’un point P donné dans le repère R  O,i, j,k

   
OP  xi  yj  zk

O
y
R
On peut obtenir les coordonnées par projection :
 
x  OP.i
 
y  OP.j
 
z  OP.k

On peut noter : OP  x, y, z
100
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
P
x
z
Cinématique du point - Vitesse
 Définition
(t)
Soit P mobile / repère R. Sa vitesse est définie par :



PP'
ΔP  d  
V P/R  = lim
= lim
=  OP
Δt0 Δt
Δt0 Δt
 dt 
 Remarque
Définition indépendante de O pourvu qu’il soit fixe dans R.
 Expression :


 
OP = xx + yy + zz

d 
V P/R  = OP
dt
dx  dy  dz 
=
x+
y+ k
dt
dt
dt
• 
• 
•


V P/R  = xx + y y + zz
101
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
O
R
P
P’
(t+Δt)
Cinématique du point - accélération
 Définition
P
Soit P mobile / repère R. Son accélération est définie par :



V P' - V P d 
A P/R  = lim
= V P
Δt 0
Δt
dt
 Expression

•• 
•• 
•• 
A P/R  = x x + y y + z z
102
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
P’
O

V P

V P'
Cinématique du solide
x
 Repérage d’un solide
y
Besoin de 6 paramètres
─ Position de OS :
─ Orientation / R :
OS
O
z
   
OOS = xi + yj + zk
3 paramètres d’Euler ou 3 autres angles
 Difficultés…
Il faut tenir compte des rotations, ce qui complique fortement les calculs…
103
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Cinématique du solide
 Champ de vitesse d’un solide
R
A1
B1
A2
B2
=
Δt
A1
B1
A2
B’
B’
+
A2

Δθ
A2

B2
 

B'B2 = Δθ  AB
Observons le déplacement du point B :



B1B2  B1B'  B'B2  ...

  
ΔB  ΔA  BA  Δθ


 
V B  V A  BA  ω
 Champ d’accélération… à calculer pour les plus courageux…
104
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Annexe 2 Notions de dynamique
105
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Dynamique du point
 Dynamique : Etude des relations entre les mouvements et leurs causes.
 Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique (2nde loi de Newton)
(Valable dans un repère absolu ou galiléen, supposé exister)
Soit un point P de masse m.
Le principe fondamental de la dynamique (PFD) permet d’écrire :


 F  mA P

 F : Résultante des efforts sur P
 Cas particulier de la (quasi-)statique (1ère loi de Newton)
 
F  0
106
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Principe de la dynamique du solide
 Actions extérieures
Actions à distance
Actions de contact, (intérieures) et extérieures
 PFD appliqué à un solide de masse m
Une des écritures possibles :


 F  mA G

 
 MG   GP  A Pdm
S
 Dynamique d’un système de solides
Idem pour chaque solide + inclure les actions des liaisons
C’est complexe !
107
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