corrigé des exercices 6

L3 Lettres Modernes – L3 PST - Année 2010-2011
UE67-3 Culture mathématique – géométrie
Muriel Fénichel
1
Constructions géométriques élémentaires et rappel des propriétés des figures
élémentaires : corrigé des exercices 6 à 12
Exercice 6
Pour construire une droite parallèle à une droite donnée D
DD
D
1
11
1
passant par le point B, il suffit de choisir arbitrairement
un point A de la droite puis un point C de cette droite tel que AC = AB et de construire le quatrième sommet D d'un
losange en traçant les cercles de centres A, C et de rayon AB. Un losange étant un parallélogramme particulier a
donc ses côtés parallèles deux à deux, (AC) = D
DD
D
1
11
1
est parallèle à (BD). (BD) est donc la droite parallèle à D
DD
D
1
11
1
passant par B.
Pour construire une droite parallèle à une droite donnée D
DD
D
2
22
2
, il suffit de choisir un point B arbitraire en dehors de
cette droite et de tracer une droite parallèle à D
DD
D
2
22
2
passant par B.
Exercice 7
a) [AM] et [IE] sont les diagonales du rectangle cherché. On va construire un
quadrilatère dont les diagonales sont de même longueur et se coupent en leur
milieu.
On trace le cercle de diamètre [AM]. Pour en trouver le centre, on construit la
médiatrice du segment [AM]. Ce cercle recoupe la droite D
DD
D en E. On trace le
diamètre passant par E qui coupe le cercle en I. Le quadrilatère AIME a deux
diagonales de même longueur (diamètre du cercle) et ces dernières se coupent en
leur milieu (le centre du cercle), c’est donc un rectangle (condition suffisante pour
qu’un quadrilatère soit un rectangle).
Remarque : Les noms des points E et I peuvent être permutés.
b) [AM] et [MI] sont deux côtés consécutifs du rectangle
cherché. On va donc s’appuyer sur la propriété des côtés d’un
rectangle.
On trace la perpendiculaire à (AM) en A qui recoupe la droite
D
DD
D en E. On construit la droite perpendiculaire à (AM) passant
par M. Sur cette droite, on construit le point I de l’autre côté de
D
DD
D par rapport à A, tel que MI = AE. Le quadrilatère AMIE a
deux côtés opposés [AE] et [MI] parallèles et de même
longueur, c’est donc un parallélogramme. Comme il possède
un angle droit (AMI), c’est un rectangle.
- On aurait pu aussi construire la perpendiculaire à (AE) qui
passe par E et construire sur cette droite le point I tel que
EI = AM.
- On aurait pu aussi placer I grâce à la propriété des
diagonales : elles sont de même longueur et se coupent en
leur milieu, en plaçant le milieu de [ME] puis en construisant le
symétrique de A par rapport à ce milieu.
c. [AM] et [ME] sont deux côtés consécutifs du losange
cherché. On va construire un quadrilatère dont les quatre côtés
ont la même longueur. Etant donné la place disponible, deux
solutions sont possibles.
Solution 1 : On trace le cercle C
CC
C
1
11
1
de centre M et de rayon AM.
Ce cercle coupe D
DD
D en deux points. On choisit un des deux
points que l’on désigne par E. Le cercle C
CC
C
2
22
2
de centre E et de
rayon ME = AM coupe le cercle C
CC
C
3
33
3
de centre A et de rayon MA
en R. AMER est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de la
même longueur (condition suffisante pour qu’un quadrilatère
soit un losange).
A
M
E
R
D
DD
D
C
CC
C
1
11
1
C
CC
C
2
22
2
C
CC
C
3
33
3
A
M
I
E
D
DD
D
D
DD
D

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2
Solution 2 : On trace le cercle C
CC
C
1
11
1
de centre A et de rayon
AM. Ce cercle recoupe la droite en un point que l’on appelle
R. On trace les cercle C
CC
C
2
22
2
et C
CC
C
3
33
3
de centres respectifs M et R
de même rayon AM=AR, Ils se coupent en A et en un
deuxième point que l’on appelle E. AMER est un
quadrilatère dont les quatre côtés sont de la même
longueur (condition suffisante pour qu’un quadrilatère soit
un losange ).
d. [AM] et [RE] sont les diagonales du rectangle cherché. On va
construire un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et
se coupent en leur milieu. On trace la médiatrice de [AM] qui coupe la
droite D
DD
D en E et le segment [AM] en son milieu I. On construit le point R
sur cette médiatrice de telle sorte que I soit le milieu de [ER] (R est le
symétrique de E par rapport à I). Le quadrilatère ARME a deux
diagonales perpendiculaires se coupant en leur milieu (condition
suffisante pour qu’un quadrilatère soit un losange).
2) Résolution de problèmes
Exercice 8
Les quadrilatères qui ont
quatre côtés égaux sont
des losanges. Parmi eux, il
en existe un particulier : le
carré. Il existe deux
quadrilatères dont les
côtés ont pour longueur 5
cm : un carré et un
losange.
Il existe plusieurs
quadrilatères dont deux côtés
ont pour longueur 6 cm et
deux côtés pour longueur 4
cm : un parallélogramme et
un rectangle
Ces deux quadrilatères ont
deux côtés opposés de
longueur 6 cm et deux côtés
opposés de longueur 4 cm.
C
CC
C
1
11
1
C
CC
C
2
22
2
C
CC
C
3
33
3
D
DD
D
D
DD
D
I

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Des « cerfs-volants » dont deux côtés adjacents ont pour longueur 4 cm et deux autres côtés adjacents ont pour
longueur 6 cm.
Exercice 9
Quadrilatères ayant des diagonales perpendiculaires
Exercice 10
Il faut donner la mesure d’une des diagonales du quadrilatère
3) Construction géométrique et pliage
Exercice 11
La droite perpendiculaire à D
DD
D qui passe par le point A : on plie la droite D
DD
D sur elle-même de telle sorte que le point
A coïncide avec lui-même. Le pli matérialise la droite perpendiculaire à D
DD
D passant par A.
La droite parallèle à D
DD
D qui passe par le point B : on construit la droite D’
D’ D’
D’ perpendiculaire à D
DD
D passant par B. Pour
cela, on plie D
DD
D sur elle-même de telle sorte que le point B coïncide avec lui-même. Le pli matérialise la droite D’
D’ D’
D’
perpendiculaire à D
DD
D passant par B. On construit en utilisant la même méthode la droite D’’
D’’D’’
D’’ perpendiculaire à D’
D’ D’
D’
passant par B. D
DD
D et D’’
D’’D’’
D’’ sont perpendiculaires à une même droite D’
D’D’
D’ : elles sont parallèles entre elles.
Exercice 12
Le centre O du cercle circonscrit au triangle est le point d’intersection des médiatrices des côtés du triangle. Pour
l’obtenir, il suffit de construire les médiatrices de deux côtés du triangle comme indiqué dans le corrigé de
l’exercice 1 ci-dessus.
Le centre I du cercle inscrit au triangle est le point d’intersection des bissectrices des angles du triangle. Pour
l’obtenir, il suffit de construire les bissectrices de deux angles du triangle.
Pour construire la bissectrice de l’angle BAC
, on plie de
manière à amener la droite (AB) sur la droite (AC) en
de sorte que le point A coïncide avec lui-même.
On fait de même pour construire la bissectrice de l’angle ACB
.
A
B
C

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L’orthocentre H du triangle est le point d’intersection des hauteurs du triangle. Pour l’obtenir, il suffit de construire
deux hauteurs, par exemple la hauteur issue du point A (perpendiculaire à la droite (BC) passant par A) et celle
issue du point C (perpendiculaire à la droite (AB) passant par C). On construit ces perpendiculaires, comme
indiqué dans le corrigé de l’exercice 1 ci-dessus.
Le centre de gravité G du triangle est le point d’intersection des médianes du triangle. Pour l’obtenir, il suffit de
construire les médianes issues de deux sommets du triangle (dans un triangle, une médiane est le segment qui
joint un sommet au milieu du côté opposé). Pour construire les milieux de deux côtes, il suffit de construire les
médiatrices de ces côtés, comme indiqué ci-dessus. Pour obtenir les médianes, on plie la feuille de manière à ce
que le sommet et le milieu du côté opposé coïncident avec eux-mêmes.
Remarque :
Le centre de gravité, l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit à un triangle appartiennent à une même droite,
appelée droite d’Euler.