L3 Lettres Modernes – L3 PST - Année 2010-2011 UE67-3 Culture mathématique – géométrie Constructions géométriques élémentaires et rappel des propriétés des figures élémentaires : corrigé des exercices 6 à 12 Exercice 6 Pour construire une droite parallèle à une droite donnée D1 passant par le point B, il suffit de choisir arbitrairement un point A de la droite puis un point C de cette droite tel que AC = AB et de construire le quatrième sommet D d'un losange en traçant les cercles de centres A, C et de rayon AB. Un losange étant un parallélogramme particulier a donc ses côtés parallèles deux à deux, (AC) = D1 est parallèle à (BD). (BD) est donc la droite parallèle à D1 passant par B. Pour construire une droite parallèle à une droite donnée D2, il suffit de choisir un point B arbitraire en dehors de cette droite et de tracer une droite parallèle à D2 passant par B. Exercice 7 a) [AM] et [IE] sont les diagonales du rectangle cherché. On va construire un quadrilatère dont les diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu. On trace le cercle de diamètre [AM]. Pour en trouver le centre, on construit la médiatrice du segment [AM]. Ce cercle recoupe la droite D en E. On trace le diamètre passant par E qui coupe le cercle en I. Le quadrilatère AIME a deux diagonales de même longueur (diamètre du cercle) et ces dernières se coupent en leur milieu (le centre du cercle), c’est donc un rectangle (condition suffisante pour qu’un quadrilatère soit un rectangle). D Remarque : Les noms des points E et I peuvent être permutés. b) [AM] et [MI] sont deux côtés consécutifs du rectangle cherché. On va donc s’appuyer sur la propriété des côtés d’un rectangle. On trace la perpendiculaire à (AM) en A qui recoupe la droite D en E. On construit la droite perpendiculaire à (AM) passant par M. Sur cette droite, on construit le point I de l’autre côté de D par rapport à A, tel que MI = AE. Le quadrilatère AMIE a deux côtés opposés [AE] et [MI] parallèles et de même longueur, c’est donc un parallélogramme. Comme il possède un angle droit (AMI), c’est un rectangle. - On aurait pu aussi construire la perpendiculaire à (AE) qui passe par E et construire sur cette droite le point I tel que EI = AM. - On aurait pu aussi placer I grâce à la propriété des diagonales : elles sont de même longueur et se coupent en leur milieu, en plaçant le milieu de [ME] puis en construisant le symétrique de A par rapport à ce milieu. A E M D I C3 c. [AM] et [ME] sont deux côtés consécutifs du losange cherché. On va construire un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur. Etant donné la place disponible, deux solutions sont possibles. Solution 1 : On trace le cercle C1 de centre M et de rayon AM. Ce cercle coupe D en deux points. On choisit un des deux points que l’on désigne par E. Le cercle C2 de centre E et de rayon ME = AM coupe le cercle C3 de centre A et de rayon MA en R. AMER est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de la même longueur (condition suffisante pour qu’un quadrilatère soit un losange). Muriel Fénichel R A E C1 D M C2 1 L3 Lettres Modernes – L3 PST - Année 2010-2011 UE67-3 Culture mathématique – géométrie C1 C3 C2 D Solution 2 : On trace le cercle C1 de centre A et de rayon AM. Ce cercle recoupe la droite en un point que l’on appelle R. On trace les cercle C2 et C3 de centres respectifs M et R de même rayon AM=AR, Ils se coupent en A et en un deuxième point que l’on appelle E. AMER est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de la même longueur (condition suffisante pour qu’un quadrilatère soit un losange). d. [AM] et [RE] sont les diagonales du rectangle cherché. On va construire un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. On trace la médiatrice de [AM] qui coupe la droite D en E et le segment [AM] en son milieu I. On construit le point R sur cette médiatrice de telle sorte que I soit le milieu de [ER] (R est le symétrique de E par rapport à I). Le quadrilatère ARME a deux diagonales perpendiculaires se coupant en leur milieu (condition suffisante pour qu’un quadrilatère soit un losange). I D 2) Résolution de problèmes Exercice 8 Les quadrilatères qui ont quatre côtés égaux sont des losanges. Parmi eux, il en existe un particulier : le carré. Il existe deux quadrilatères dont les côtés ont pour longueur 5 cm : un carré et un losange. Il existe plusieurs quadrilatères dont deux côtés ont pour longueur 6 cm et deux côtés pour longueur 4 cm : un parallélogramme et un rectangle Ces deux quadrilatères ont deux côtés opposés de longueur 6 cm et deux côtés opposés de longueur 4 cm. Muriel Fénichel 2 L3 Lettres Modernes – L3 PST - Année 2010-2011 UE67-3 Culture mathématique – géométrie Des « cerfs-volants » dont deux côtés adjacents ont pour longueur 4 cm et deux autres côtés adjacents ont pour longueur 6 cm. Exercice 9 Quadrilatères ayant des diagonales perpendiculaires Exercice 10 Il faut donner la mesure d’une des diagonales du quadrilatère 3) Construction géométrique et pliage Exercice 11 La droite perpendiculaire à D qui passe par le point A : on plie la droite D sur elle-même de telle sorte que le point A coïncide avec lui-même. Le pli matérialise la droite perpendiculaire à D passant par A. La droite parallèle à D qui passe par le point B : on construit la droite D’ perpendiculaire à D passant par B. Pour cela, on plie D sur elle-même de telle sorte que le point B coïncide avec lui-même. Le pli matérialise la droite D’ perpendiculaire à D passant par B. On construit en utilisant la même méthode la droite D’’ perpendiculaire à D’ passant par B. D et D’’ sont perpendiculaires à une même droite D’ : elles sont parallèles entre elles. Exercice 12 Le centre O du cercle circonscrit au triangle est le point d’intersection des médiatrices des côtés du triangle. Pour l’obtenir, il suffit de construire les médiatrices de deux côtés du triangle comme indiqué dans le corrigé de l’exercice 1 ci-dessus. Le centre I du cercle inscrit au triangle est le point d’intersection des bissectrices des angles du triangle. Pour l’obtenir, il suffit de construire les bissectrices de deux angles du triangle. A C Pour construire la bissectrice de l’angle BAC, on plie de manière à amener la droite (AB) sur la droite (AC) en de sorte que le point A coïncide avec lui-même. On fait de même pour construire la bissectrice de l’angle ACB. B Muriel Fénichel 3 L3 Lettres Modernes – L3 PST - Année 2010-2011 UE67-3 Culture mathématique – géométrie L’orthocentre H du triangle est le point d’intersection des hauteurs du triangle. Pour l’obtenir, il suffit de construire deux hauteurs, par exemple la hauteur issue du point A (perpendiculaire à la droite (BC) passant par A) et celle issue du point C (perpendiculaire à la droite (AB) passant par C). On construit ces perpendiculaires, comme indiqué dans le corrigé de l’exercice 1 ci-dessus. Le centre de gravité G du triangle est le point d’intersection des médianes du triangle. Pour l’obtenir, il suffit de construire les médianes issues de deux sommets du triangle (dans un triangle, une médiane est le segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé). Pour construire les milieux de deux côtes, il suffit de construire les médiatrices de ces côtés, comme indiqué ci-dessus. Pour obtenir les médianes, on plie la feuille de manière à ce que le sommet et le milieu du côté opposé coïncident avec eux-mêmes. Remarque : Le centre de gravité, l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit à un triangle appartiennent à une même droite, appelée droite d’Euler. 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