La Prépa des INP : Circuits électriques

1
La Prépa des INP : Circuits électriques
TD N◦ 1
durée 3h00
Courant électrique en régime permanent continu
Exercice I : Courant électrique en régime permanent continu. Exercice à préparer
I.1. Si l’on estime que le nombre des électrons de conduction d’un métal tel que l’argent
est le même que le nombre d’atomes, quelle est la vitesse de dérive moyenne des électrons
de conduction dans un fil d’argent de 1 mm de diamètre traversé par un courant continu
d’intensité I = 30 A ?
On donne : Na = 6, 02 × 1023 mol−1 , MAg = 107, 9 g.mol−1, ρAg = 10, 5 g.cm−3 ,
e = 1, 6 × 10−19 C.
I.2. Une lampe consomme en 8 h une énergie de 600 W.h. La tension électrique à laquelle
elle est soumise en de 120 V. Calculer la puissance consommée par la lampe, la quantité
d’électricité et l’intensité du courant qui l’ont traversée.
I.3. On mesure la puissance consommée par un appareil à l’aide d’un voltmètre et d’un
ampèremètre. Le voltmètre comporte 150 divisions, le calibre utilisé est 300 V et la déviation est de 82 divisions. L’ampèremètre comporte 100 divisions, le calibre utilisé est
20 A et la déviation est de 74 divisions. Calculer la puissance consommée par l’appareil.
Quelle serait l’indication d’un wattmètre de 150 divisions si on l’ utilise sur les calibres
300 V, 15 A ?
I.4. On monte en série trois dipôles. Le courant qui les traverse a pour intensité 4 A. Au
bout de 5 min ils ont consommé respectivement 24 kJ, 42 kJ et 66 kJ. Calculer la tension
électrique qui existe aux bornes de chaque dipôle et la différence de potentiel totale.
I.5. Un moteur électrique a une puissance utile de 8,1 kW, il fonctionne sous une différence
de potentiel continue de 220 V et son rendement est de 80%. Calculer la puissance électrique absorbée par le moteur, l’intensité du courant qui le traverse. Le moteur fonctionne
pendant 6 h. Calculer son coût de son fonctionnement pour un prix du kW.h de 0,06 e .
I.6. Une pile peut fournir, sous tension électrique constante de 4,5 V, une quantité d’électricité de 3 A.h. Calculer l’énergie globale emmagasinée dans la pile, la puissance et l’intensité débitée par la pile si celle ci est totalement usée au bout de 5 h de fonctionnement.
Calculer le prix du kW.h si la pile a été achetée 2 e.
Exercice II : Conducteurs ohmiques.
II.1 Un câble en cuivre de 150 m de longueur doit être remplacé par un câble en constantan
(alliage métallique constitué de cuivre et de nickel) de même longueur, qui a la particularité d’avoir un très faible coefficient de dilatation. De combien faudra-t-il augmenter ou
2
diminuer le diamètre du conducteur pour que la résistance du câble reste la même ? La
résistivité du constantan vaut 49.10−8 Ω.m et celle du cuivre vaut 1, 7 µΩ.m (à 20°C).
II.2. Déterminer la résistance équivalente au réseau vue des points A et C et vue des
points A et D.
II.3. Le circuit ci-dessous est composé d’un générateur idéal de tension et de résistances.
Calculer la résistance équivalente de tout le circuit vue des points A et B. En déduire
l’intensité du courant qui circule dans la branche AB pour E = 5 V.
II.4. On considère différents dipôles AB. Déterminer pour chacun d’entre eux la valeur
des grandeurs suivies d’un point d’interrogation.
Exercice III : Ponts diviseurs.
III.1. Utiliser la formule du diviseur de tension pour déterminer la différence de potentiel
VB − VM en fonction de E et des résistances R1 , R2 , R3 et R4 . Déterminer l’expression du
courant I3 en utilisant le pont diviseur de courant et l’équivalence générateur linéaire de
tension et générateur linéaire de courant.
3
III.2. Déterminer le courant I4 qui circule dans la résistance R4 en fonction de Ig et des
résistances R1 , R2 , R3 et R4 en utilisant le pont diviseur de courant.
Exercice IV : Point de fonctionnement
Un dipôle D1 constitué d’une source de courant idéale (I1 = 2 A) en parallèle avec une
résistance R1 = 4Ω, est connecté à un dipôle D2 comprenant une source de tension idéale
de force électromotrice E2 = 3 V en série avec une résistance R1 = 4Ω.
IIV.1. En respectant les conventions de la figure, tracer sur un même graphe les caractéristiques U = f (I) de chacun des dipôles D1 et D2 .
IV.2. Déterminer le point de fonctionnement du circuit graphiquement et par le calcul.
IV.3. Calculer les puissances reçues (algébriquement) par les dipôles D1 et D2 .
IV.4. Calculer les puissances reçues par les quatre dipôles et préciser le type de fonctionnement de chaque dipôle (générateur ou récepteur).
4
Exercice V : Générateur de Norton
Un générateur de Norton composé d’une source idéale de courant Ig = 10 mA et d’une
résistance interne RN = 5 kΩ alimente un conducteur ohmique de résistance R réglable.
V.1. Exprimer en fonction de R l’intensité du courant I à travers le conducteur ohmique.
V.2. Tracer la courbe I = f (R).
V.3. Pour que I soit compris entre 60% et 80% de Ig , quelles valeurs limites doit-on
assigner à R ?
V.4. Exprimer la puissance P fournie au conducteur ohmique en fonction de R. Tracer la
courbe P = f (R) et calculer R pour que la puissance P soit maximale.
5
La Prépa des INP : Circuits électriques
TD N◦ 2
durée 1h30
Lois de Kirchhoff
Exercice I : Lois de Kirchhoff. Exercice à préparer
Quatre dipôles D1 , D2 , D3 et D4 sont insérés dans un réseaux électrique fonctionnant
en régime permanent continu.
I.1. Quels sont les dipôles placés en série ou en dérivation (en parallèle) ?
I.2. Représenter les tensions sur le schéma en convention récepteur pour D1 et D2 et
en convention générateur pour D3 , D4 . Dans ces conditions les tensions aux bornes des
dipôles valent respectivement 5 V, 8 V, 7 V et −4 V. Calculer les tensions UAD et UBC .
I.3. On choisit l’origine des potentiels (masse) au point D. Calculer les potentiels VA , VB
et VC . Calculer les potentiels aux points A, C et D si le point B est relié à la masse. Que
devient le l’intensité du courant qui traverse D3 si les points B et D sont tous les deux
reliés à la masse.
I.4. Les intensités qui traversent les dipôles sont respectivement I1 = 1 A, I2 = 2 A,
I3 = −1 A et I4 = −2 A. Calculer les intensités des courants I5 , I6 , I7 et I8 .
I.5. Calculer les puissances électriques mis en jeu dans chaque dipôle. Quels sont les dipôles
récepteurs, quels sont dipôles générateurs.
Exercice II : Réseau en régime continu permanent
Le circuit représenté ci-dessous comporte une source idéale de tension E constante,
une source idéale de courant constant IS et cinq résistances R1 , R2 , R3 , R4 et R5 .
6
II.1. Ecrire la loi des nœuds aux nœuds A, B, C et D.
II.2. Quelle relation existe-t-il entre le courant traversant la résistance R3 et le courant
traversant la résistance R5 ? Justifiez votre réponse.
II.3. Ecrire deux équations de mailles indépendantes et montrer que l’on peut établir le
système d’équations en I2 , I3 , E et IS suivant et dont on exprimera les coefficients en
fonction des résistances R1 , R2 , R3 , R4 et R5 :
a1 I2 + b1 I3 = c1 E
a2 I2 + b2 I3 = c2 IS
II.4. En déduire l’expression du courant I3 .
Exercice III : Pont de Wheastone
III.1. Calculer les intensités des courants dans chacune des six branches du pont de Wheastone. On donne : R1 = 3 kΩ, R2 = 1, 5 kΩ, R3 = 18 kΩ, R4 = 2, 5 kΩ, R5 = 1 kΩ,
R6 = 2 kΩ, E6 = 19 V.
III.2. R1 est maintenant une résistance variable. Calculer sa valeur pour que le pont soit
équilibré, c’est à dire que l’intensité du courant qui traverse R5 soit nulle.
7
La Prépa des INP : Circuits électriques
TD N◦ 3
durée 3 h 00
Théorèmes généraux en régime permanent continu
Exercice I : Théorèmes de Thévenin et Norton. Exercice à préparer
I.1. Deux générateurs en parallèle alimentent un conducteur ohmique de résistance R.
E1 = 120 V, R1 = 1 Ω, E2 = 135 V, R2 = 2 Ω, R = 6 Ω. Appliquer le théorème de
Thévenin en déterminant les paramètres du générateur équivalent vu des bornes A et B .
Calculer l’intensité du courant I dans la résistance R, la tension UAB à ses bornes et les
intensités des courants I1 et I2 débités par chaque générateur.
I.2. Reprendre l’exercice précédent en utilisant cette fois le théorème de Norton.
I.3. Une source de tension E = 12 V alimente un moteur de force électromotrice EM = 6 V
et de résistance interne RM = 1 Ω par l’intermédiaire d’un pont diviseur de tension formé
de deux résistances R1 et R2 . Appliquer le théorème de Thévenin en déterminant les
paramètres du générateur équivalent vu des bornes A et B. Calculer l’intensité du courant
I et la tension UAB pour R1 = 7, 5 Ω et R2 = 2, 5 Ω. On fixe R2 = 5 Ω, calculer quelle doit
être la valeur de R1 pour que le courant I soit nul.
8
Exercice II : Théorèmes de superposition et de Millman. Exercice à préparer
II.1. Déterminer la tension UAB en utilisant le théorème de superposition. On donne
R1 = 10 Ω, R2 = 15 Ω, R = 10 Ω, E1 = 12 V, E1 = 20 V.
II.2. Déterminer la tension UAB en utilisant le théorème de Millman.
Exercice III : Théorèmes de Kennelly
Calculer à partir des transformations triangle-étoile, la résistance du réseau ci-dessous
entre les points A et B. On donne R1 = 30 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 20 Ω, R4 = 40 Ω,
R5 = 20 Ω.
Exercice IV : Théorème de Thévenin.
Le circuit représenté sur la ci-dessous comporte une source idéale de tension E constante,
une source idéale de courant IS constant et cinq résistances R1 , R2 , R3 , R4 et R5 .
IV.1. La résistance R3 est enlevée : le circuit est ouvert entre les nœuds A et C. On
se propose, dans ces conditions, de déterminer le générateur de tension équivalent dit
“générateur de Thévenin” de force électromotrice ET h = VC − VA et de résistance RT h
entre les bornes C et A.
9
Redessiner le schéma après avoir éteint les sources et donner l’expression de RT h .
Déterminer l’expression de ET h .
IV.2. La résistance R3 est rebranchée. Donner l’expression de I3 en fonction de ET h , RT h
et R3 . Donner l’expression de I3 en fonction de IS , E et des résistances R1 , R2 , R3 , R4
et R5 sous la forme d’une fraction unique (sans sous-fractions).
Exercice V : Théorème de superposition.
V.1. On cherche à déterminer le courant I qui traverse r en employant le principe de
superposition. Dessiner les 3 schémas qui permettent de calculer I par application du
principe de superposition, puis déduire l’expression de I ′ , I ′′ et I ′′′ en adoptant la méthode
de calcul de son choix.
V.2. En déduire l’expression de I puis de UAB .
Exercice VI : Théorème de superposition.
VI.1. Dessiner les 2 schémas en éteignant alternativement les 2 sources. E et IS Exprimer
I ′ quand E est éteinte. Exprimer I ′′ quand IS est éteinte.
VI.1. En déduire I qui traverse la source E.
10
La Prépa des INP : Circuits électriques
TD N◦ 4
durée 1h30
Circuits du premier ordre en régime transitoire
Exercice I : Circuit RL. Exercice à préparer
On excite le dipôle RL série par une tension un échelon de tension e(t), tel que :
e(t) = 0
e(t) = E
t<0
t>0
I.1. Ecrire la relation entre i(t) et la tension uL (t) aux bornes de l’inductance. En déduire
l’équation différentielle reliant l’excitation e(t) à la réponse i(t).
I.2. Déterminer la solution générale de l’équation i(t) sachant sachant que i(t) = 0 à
l’instant t = 0.
I.3. En déduire l’expression des tensions uL (t) aux bornes de l’inductance et de uR (t) aux
bornes de la résistance. Tracer l’allure des courbes uL(t) et uR (t).
L
I.4. Au bout de combien de temps (exprimé en fonction de τ = R
) peut-on considérer que
le régime permanent est atteint à 95% ? Que vaut i(t) au bout du temps t = τ ?
I.5. Exprimer la puissance instantanée dans l’inductance en fonction de uL (t) et i(t) puis
seulement en fonction de i(t) puis l’énergie δW reçue par l’inductance pendant le temps
dt. En déduire l’énergie emmagasinée dans l’inductance lorsque le régime permanent est
atteint.
Exercice II : Circuit RC. Exercice à préparer
On excite le dipôle RC série par une tension un échelon de tension e(t), tel que :
e(t) = 0
e(t) = E
t<0
t>0
11
II.1. Ecrire la relation entre i(t) et la tension uC (t) aux bornes du condensateur. En
déduire l’équation différentielle reliant l’excitation e(t) à la réponse uC (t).
II.2. Déterminer la solution générale de l’équation uC (t) sachant sachant que uC (t) = 0 à
l’instant t = 0.
II.3. En déduire l’expression des tensions uC (t) aux bornes du condensateur et de uR (t)
aux bornes de la résistance. Tracer l’allure des courbes uC (t) et uR (t).
II.4. Au bout de combien de temps (exprimé en fonction de τ = RC) peut-on considérer
que le régime permanent est atteint à 95% ? Que vaut uC (t) au bout du temps t = τ ?
II.5. Exprimer la puissance instantanée dans le condensateur en fonction de uC (t) et i(t)
puis seulement en fonction de uC (t) puis l’énergie δW reçue par le condensateur pendant
le temps dt. En déduire l’énergie emmagasinée dans le condensateur lorsque le régime
permanent est atteint.
Exercice III : Circuits en régime permanent
On considère les circuits ci-dessous pour lesquels E = 10 V, R1 = 5 Ω et R2 = 10 Ω,
C = 40 µF et L = 50 mH.
Calculer les tensions aux bornes de chaque dipôle quand le régime permanent est établi.
Exercice III : Circuits en régime transitoire
Un générateur idéal de tension continu e(t) = E alimente un circuit électrique comportant une résistance R0 et, une résistance R en parallèle avec une inductance pure L.
A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K.
12
III.1. Déterminer la tension u(t) aux bornes de L et R en régime permanent, c’est-à-dire
au bout d’un temps ”très long”. En déduire, en régime permanent, les expressions du
courant iR (t) traversant R et du courant i(t) délivré par le générateur.
III.2. Juste après la fermeture de l’interrupteur, à l’instant t = 0+ , montrer que l’intensité
iL du courant dans la bobine est nulle. Donner l’expression des courants iR(t) et i(t) , ainsi
que de la tension u(t) à ce même instant.
III.3. Déterminer, à un instant t > 0, l’expression de iR (t) en fonction de iL (t).
III.4. Montrer que les équations différentielles vérifiées par iL (t) et u(t) peuvent se mettre
sous la forme :
diL 1
du 1
+ iL = b
et
+ u=0
dt
τ
dt
τ
On exprimera les grandeurs τ et b en fonction de R, R0 , L et E.
III.5. Déterminer l’évolution temporelle du courant iL (t) et en déduire celles de iR (t) et
i(t). Représenter sur un même graphe l’allure de l’évolution de ces courants en fonction
du temps t.
Exercice IV : Circuits en régime transitoire
Dans le circuit ci-dessous : E = 24 V, R1 = 200 Ω, R2 = 500 Ω, R0 = 300 Ω et
C = 60 µF.
IV.1. Initialement, l’interrupteur est fermé. Quelle est la valeur de la tension aux bornes
du condensateur ?
IV.2. On ouvre l’interrupteur K à l’instant t = 0. Au bout de combien de temps la tension
aux bornes du condensateur aura atteint 25% de sa valeur initiale ?
Exercice V : Circuits en régime transitoire
Dans le circuit ci-dessous : E = 300 V, R1 = 90 kΩ, R2 = 10 kΩ et C = 0, 01 µF.
V.1. Initialement, l’interrupteur est fermé. Quelle est la valeur de la tension aux bornes
du condensateur 1 ms après l’ouverture de l’interrupteur K.
V.2. Après 1 ms, on ferme à nouveau l’interrupteur. Quelle est la valeur de la tension aux
bornes du condensateur 1 ms après la fermeture de l’interrupteur K ? (L’application du
théorème de Thévenin permet de simplifier la résolution de cette question).
13
Exercice VI : Circuits en régime transitoire
Dans le circuit ci-dessous : E = 6 V, R = 30 Ω et L = 100 mH. L’interrupteur K est
initialement ouvert. Il est fermé à l’instant t = 0.
VI.1. Etablir l’équation différentielle qui régit l’évolution temporelle de l’intensité du courant iL traversant l’inductance L après la fermeture de l’interrupteur K (l’application
du théorème de Thévenin permet de simplifier la résolution de cette question). Déterminer iL (t) et représenter son évolution au cours du temps. Calculer l’instant pour lequel
l’intensité iL (t) atteint les 3/4 de sa valeur finale.
VI.2. Déterminer l’expression de la tension uL (t) aux bornes de l’inductance L.
14
La Prépa des INP : Circuits électriques
TD N◦ 5
durée 1h30
Circuits deuxième ordre en régime transitoire
Exercice I : Evolution de la charge d’un condensateur dans un circuit LC, puis
RLC Exercice à préparer
Soit le circuit LC constitué d’un interrupteur, d’un condensateur de capacité C initialement chargé sous une tension U0 et d’une bobine d’inductance L, montés en série,
dans lequel circule un courant d’intensité i(t). On néglige la résistance du circuit ainsi
constitué.
I.1. A l’aide la loi des mailles dans ce circuit, en déduire que l’intensité i(t) vérifie l’équation
différentielle :
1
d2 i(t)
+
i(t) = 0
2
dt
LC
I.2. On considère ensuite un circuit constitué d’une résistance R, d’un condensateur de
capacité C initialement non chargé, et d’une bobine d’inductance L, montés en série. Le
circuit est alimenté par un échelon de tension tel que :
e(t) = 0
e(t) = E
t<0
t>0
15
Montrer que l’intensité i(t) satisfait à l’équation différentielle suivante :
d2 i(t) R
1
+
i(t)
+
i(t) = 0
dt2
L
LC
I.3. Donner la solution générale i(t) de l’équation différentielle dans le cas où R2 < 4L/C
(régime pseudo-périodique) en fonction des constantes suivantes :
s
r
L
1
1
τ=
et
ωa = ω0 1 − 2 2 = ω0 1 −
R
4ω0 τ
4Q2
En déduire les expressions de uL (t), uR (t) et uC (t). Tracer l’allure des tensions en
fonction du temps pour r R = 0,1 Ω, L = 100 µH et C = 1 mF.
I.4. Donner la solution générale de l’équation sans second membre dans le cas où R2 =
4L/C (régime apériodique critique) en fonction de la constante τ = L/R et en déduire la
solution générale de l’équation différentielle. On prendra R = 0,6325 Ω, L = 100 µH, et
C = 1 mF.
I.5. Donner la solution générale de l’équation sans second membre dans le cas où R2 >
4L/C (régime apériodique) en fonction des constantes suivantes :
r
L
R2
1
τ=
et
Ω=
−
2
R
4L
LC
et en déduire la solution générale de l’équation différentielle. On prendra R = 1 Ω, L =
100 µH, et C = 1 mF.
Exercice II : Etude énergétique d’un circuit LC
On considère le circuit représenté dans la figure ci-dessous, où la capacité de condensateur est C et l’inductance de la bobine est L. On supposera que la résistance est négligeable. A t = 0 le courant i est nul et la tension aux bornes du condensateur est UC0 et
l’interrupteur K est fermé.
II.1. Donner l’équation différentielle équation différentielle qui régit l’évolution temporelle
de uC (t).
II.2. En utilisant les conditions initiales, exprimer la solution uC (t) de l’équation différentielle précédente. Donner la période T des oscillations. En déduire l’expression de i(t).
II.3. Déterminer EC (t) et EL (t) qui correspondent respectivement aux énergies emmagasinées dans le condensateur et dans la bobine.
II.4. Déterùiner EC (t) + EL (t) et commenter le résultat.
II.5. Quel serait le comportement de EC (t) + EL (t) si la résistance du circuit était non
nulle ?
16
II.6. Calculer les valeur moyennes des énergies :
Z
Z
1 t+T
1 t+T
EC (t) dt ; E L =
EL (t) dt
EC =
T t
T t
et commenter les valeurs de E C et E L .
Exercice III : Circuit en régime transitoire
Dans le circuit ci-dessous : E = 10 V, R1 = 100 Ω, R2 = 200 Ω, et C = 10 µF et L =
5 mH. L’interrupteur K est initialement ouvert, la tension aux bornes du condensateur
est uC = 2 V et les intensités courants i1 et i2 sont nulles.
III.1. L’interrupteur est fermé à l’instant t = 0. Déterminer les lois de variation des
intensités i1 (t) et i2 (t). En déduire la loi de variation de l’intensité i(t).
III.2. Calculer l’instant pour lequel l’intensité i(t) est maximale.