TD 12 Ondes elm conducteur

TD 12 Ondes électromagnétiques
dans un conducteur
Dipôle rayonnant
⋆Ondes électromagnétiques dans un conducteur
1. Bilan d’énergie d’un conducteur ohmique
Une onde de basse fréquence se propage dans un conducteur réel de conductivité
γ. Le champ électrique est
−→
E(M, t) = E0exp −z
δcos ωt −z δ~ux.
1. En utilisant une équation de Maxwell trouver l’expression du champ magné-
tique.
2. Calculer la moyenne temporelle du vecteur de Poynting, <−→ Π>.
3. Calculer la moyenne temporelle de la puissance volumique dissipée par effet
Joule, <PV,J >.
4. Vérifier que div <−→ Π>+<PV,J >= 0. Interpréter physiquement cette
relation.
2. Onde hertzienne dans l’eau de mer
On étudie la propagation d’ondes hertziennes dans l’eau de mer. On admet que
l’eau est localement neutre (ρ= 0). Sa permittivité diélectrique relative εr= 80
et sa conductivité σ= 6,23 S ·m−1sont supposées réelles.
1. Quel est le domaine de fréquence des ondes hertziennes ? Donner les équations
de Maxwell dans le milieu diélectrique (il suffit de remplacer ε0par ε0εr).
Comment se situe la conductivité du cuivre comparée à celle de l’eau de mer ?
2. Déterminer l’équation de propagation vérifiée par le champ électrique.
3. Établir la relation de dispersion.
4. Déterminer la fréquence de coupure au-delà de laquelle il n’y a pas absorption.
Quelle est la vitesse de phase dans ce cas ?
5. La fréquence d’une onde est f= 100 MHz. Déterminer la valeur de la pulsa-
tion spatiale k. Déterminer la distance caractéristique d’absorption de l’onde
et sa vitesse de phase. Y a-t-il dispersion ? Pourquoi n’utilise-t-on pas d’ondes
hertziennes pour les communications sous-marines ?
3. Cavité réelle, coefficient de qualité
On délimite une cavité avec deux plans métalliques parallèles coïncidant avec les
plans z= 0 et z=L. On prend pour expression du champ magnétique dans la
cavité :
−→
Bcavité =B0cos πz
Lcos(ωt)~uy,avec ω=πc L,
et dans le demi-espace z > L occupé par le métal de conductivité γ:
−→
Bmétal =−B0exp −z−L
δcos ωt −z−L δ~uy,avec δ=r2 µ0γω .
1. On donne L= 3 cm,γ= 2.107Ω−1·m−1,ε0= 8,85.10−12 F·m−1. Calcu-
ler la fréquence et vérifier que, dans le métal, le terme ε0
∂−→ E
∂t est négligeable
devant la densité volumique de courant. Comparer aussi δet L.
2. Exprimer l’énergie électromagnétique moyenne < Uem >contenue dans la
cavité en fonction de B0,Let S, la surface des plans conducteurs.
3. Exprimer la puissance volumique moyenne dissipée par effet Joule en un point
d’abscisse z > L en fonction de B0,γ,δet z. En déduire la puissance moyenne
<PJ>dissipée par effet Joule dans tout le volume du conducteur z > L,
en fonction de B0,γ,δet S.
4. On définit le facteur de qualité Qpar
Q,2πénergie emmagasinée
énergie dissipée pendant une période.
Exprimer le facteur de qualité de la cavité en fonction de Let δ, puis en
fonction de γet de la longueur d’onde λassociée à la fréquence propre de la
cavité.
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4. Réflexion sur un miroir mobile, effet Doppler
Une plaque métallique parfaitement conductrice, plane et perpendiculaire à (Ox)
se déplace à la vitesse uniforme ~v =v~ux; elle coïncide à l’instant tavec le plan
d’équation x=vt.
Une onde électromagnétique dont le champ électrique est : −→ Ei(x, t) =
E0cos ωit−x
c~uzse réfléchit sur cette surface, le champ électrique de
l’onde réfléchie s’écrivant : −→ Er(x, t) = Ercos ωrt+x
c~uz.
1. Pour exprimer la réflexion de l’onde et vérifier les conditions aux limites, il
convient d’étudier la réflexion dans le référentiel R′en translation par rapport
àRdans lequel la plaque est immobile. En notant (−→ E , −→ B)un champ électro-
magnétique dans Ret (−→ E′,−→ B′)le même champ évalué dans R′, on indique
que −→ E′=−→ E+~v ∧−→ Bet −→ B′=−→ B.
(a) Exprimer −→ Bien fonction de E0,c,ωi,tet xpuis −→ E′
ien fonction de E0,
c,ωi,t,xet v.
(b) Exprimer −→ E′
ren fonction de Er,c,ωr,t,xet v.
(c) À la surface de la plaque −→ E′
i+−→
E′
rdoit être orthogonale à la plaque. En
déduire ωren fonction de ωi,vet c.
2. (a) Donner Eren fonction de E0,vet c.
(b) Soit R,<−→
Πr>·(−~ux)
<−→ Πi>·~ux
, où <−→ Πr>et <−→ Πi>sont les valeurs
moyennes des vecteurs de Poynting des ondes incidente et réfléchie respec-
tivement. Donner la signification physique de R. Exprimer Ren fonction
de vet c. Comment expliquez-vous le fait que R < 1?
⋆Dipôle rayonnant
5. Puissance d’un émetteur radio
L’antenne d’un émetteur radio est assimilée à un dipôle électrique oscillant vertical
placé au niveau du sol. La puissance de l’émetteur est P.
Exprimer l’amplitude d’oscillation du champ électrique Emen un point situé au
sol, à distance dde l’émetteur.
On rappelle que le champ électrique du dipôle électrique oscillant, en coordonnées
sphériques d’axe parallèle au dipôle, est de la forme −→ E=Asin θ
rcos(ωt −kr +
ϕ)~uθavec k=ω
c.
Application numérique : P= 200 W,d= 1,0.103met µ0= 4π.10−7H·m−1.
Calculer Em(il faut multiplier le résultat par 2 pour tenir compte du fait que le
sol est conducteur et qu’il se produit une réflexion à sa surface).
6. Atome de Thomson
À la suite de ses travaux sur les rayons cathodiques et sa découverte de l’élec-
tron en 1897, Joseph John Thomson, physicien anglais, émit l’hypothèse que les
électrons étaient contenus dans les atomes. Il proposa un modèle de l’atome qu’il
surnomma lui-même "plum pudding model". Les atomes selon Thomson sont
constitués :
– d’une sphère pleine positivement et uniformément chargée dont le rayon est de
l’ordre du nanomètre ;
– d’électrons ponctuels qui peuvent vibrer librement à l’intérieur de la sphère.
L’atome reste électriquement neutre. Ainsi, l’atome d’hydrogène est représenté
dans cet exercice par une sphère de rayon R(charge +e), de centre Oet un
électron (charge −e, masse me).
1. Exprimer le moment dipolaire de l’atome d’hydrogène à un instant où l’électron
se trouve en Mtel que −−→ OM =r~ur.
2. Montrer que le champ électrique auquel l’électron est soumis est −→ E=
e
4πε0R3r~ur.
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3. L’électron est initialement à la position −−→ OM(0) = z0~uzet n’a pas de vitesse
initiale. Exprimer la loi horaire de son mouvement z(t). Calculer la pulsation
ω0du mouvement sachant que R= 0,10 nm,me= 9,1.10−31 kg,ε0=
8,85.10−12 F·m−1.
À quel domaine du spectre électromagnétique appartient-elle ? Exprimer l’éner-
gie mécanique de l’électron en fonction de z0,meet ω0.
4. Le mouvement de l’électron est amorti du fait des pertes par rayonnement.
On se propose de déterminer le temps caractéristique d’amortissement, temps
supposé très supérieur à la période d’oscillation. On rappelle que la puis-
sance rayonnée par un dipôle oscillant de pulsation ωet d’amplitude p0est
Prayonnée =p2
0ω4
12πε0c3.
(a) Exprimer la puissance rayonnée par l’électron en fonction de l’amplitude
de ses oscillations z0, puis en fonction de l’énergie mécanique E.
(b) En déduire que Edécroît exponentiellement avec un temps caractéristique
que l’on exprimera et que l’on calculera.
7. Couleur du ciel
Pour décrire l’interaction entre les molécules de l’atmosphère et le rayonnement
électromagnétique du soleil on adopte le modèle suivant, appelé modèle de l’élec-
tron élastiquement lié :
– les noyaux atomiques sont fixes ;
– chaque électron (de masse me) est traité indépendamment des autres et consi-
déré comme soumis, en plus de la force exercée par le champ électromagné-
tique, à une force de rappel élastique −→ F=−meω2
0~r, où ~r est le déplacement
de l’électron par rapport à sa position au repos, ainsi qu’à une force dissipative
modélisée comme un frottement fluide −→ Ff=−me
τ
d~r
dt.
On prend pour valeurs des paramètres du modèle ω0= 2,0.1016 rad ·s−1et
τ≃10−8s.
1. On étudie le mouvement forcé de l’électron sous l’action du champ électro-
magnétique d’une onde excitatrice. Le champ électrique de cette onde est
donné, en notation complexe, par −→ E=E0exp(i(ωt −kz))~ux. On admet que
la vitesse de l’électron reste très inférieure à la vitesse de la lumière c.
(a) Écrire l’équation du mouvement de l’électron en faisant une approximation
classique.
(b) On cherche la solution sous la forme ~r =~r0exp(i(ωt −kz)). Déterminer
~r0.
(c) En déduire le moment dipolaire induit par l’onde sous la forme ~p =
~p0exp(i(ωt−kz)). On notera ela valeur absolue de la charge de l’électron.
(d) Simplifier l’expression de ~p0en tenant compte des valeurs numériques
données et sachant que l’onde excitatrice est une onde lumineuse.
(e) Exprimer la puissance moyenne Pray rayonnée par ce dipôle oscillant en
fonction de E0et ωet de paramètres caractéristiques du modèle.
(f) Expliquer à l’aide de ce modèle la couleur bleue du ciel.
2. (a) Rappeler l’expression de l’intensité Ide l’onde excitatrice (moyenne tem-
porelle de la norme du vecteur de Poynting) en fonction de E0.
(b) Exprimer la puissance rayonnée sous la forme Pray =σ(ω)I. Quelle est
la dimension de σ(ω)?
(c) On suppose que le milieu contient Nélectrons par unité de volume. L’éner-
gie rayonnée par ces électrons est prélevée à l’onde incidente ce qui fait
que l’intensité I(z)diminue avec z. En faisant un bilan d’énergie sur un
cylindre dont les bases sont dans les plans de cotes zet z+ dz, établir
une équation différentielle de la forme dI
dz+1 δI(z) = 0, où δest fonction
de ωet des paramètres du modèle. Résoudre cette équation. Quelle est
la signification physique de δ?
(d) Application numérique : N= 3,0.1026 m−3,e= 1,6.10−19 C,me=
9,1.10−31 kg,c= 3.108m·s−1,µ0= 4π.10−7H·m−1. Calculer δpour
une lumière bleue (λbleu = 0,45 µm) et pour une lumière rouge (λrouge =
0,75 µm).
(e) Expliquer, à l’aide de ce modèle, la couleur du soleil couchant.
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Éléments de réponse
1. −→ B=E0
δω exp −z δhsin ωt −z δ+ cos ωt −z δi~uy.
<−→ Π>=E2
0
2µ0δω exp −2z δ~uz;<PV,J >=γE2
0
2exp −2z δ.
2. f < 3000 GHz ;k2=εr
ω2
c2−iωµ0σ; pour f≫fc, avec fc=
σ
2πε0εr
= 1,4 GHz, la relation de dispersion donne vϕ=c
√εr
= 0,11c=
0,34.108m·s−1.
Pour l’onde hertzienne considérée, δ= 21 mm, l’onde s’atténue trop vite dans
l’eau de mer.
3. f= 5 GHz ;δ≪L
−→
Ecavité =cB0sin πz
Lsin(ωt)~ux;< Uem >=1 4ε0c2B2
0LS.
<PV,J >=< j2>
γ=B2
0
µ2
0γδ2exp −2(z−L)
δ;>PJ>=B2
0S
2µ2
0γδ .
Q= 2π< Uem >
2×<PJ>2π
ω
=L
δ= 1.104.Q=√πµ0cγλ.
4. 1. −→ Bi=−E0
ccos hωit−x ci~uy;−→
E′
i=1−v
cE0cos hωit−x ci~uz.
−→
Br=Er
ccos hωrt+x ci~uy;−→
E′
r=1 + v
cErcos hωrt+x ci~uz.
ωr=c−v
c+v≃ωi1−2v cpour v≪c: effet Doppler.
2. Er=c−v
c+vE0≃Ei1−2v c
R=c−v
c+v2
est le pourcentage d’énergie réfléchie. R < 1n’est pas dû
à des pertes dans le conducteur (qui est parfait) mais au fait qu’il y a de
plus en plus d’énergie électromagnétique devant la plaque.
5. <−→ Π>=A2sin2θ
2µ0cr2~ur;A=r3µ0cP 4π;E(d) = r3µ0cP 4πd2. Numériquement
Em= 2E(d) = 0,27 V ·m−1.
6. 1- ~p =−er~ur.
2- −→ E=er
4πε0R3~ur
3- ω0=rk
me
=se2
4πε0R3me
= 1,6.1016 rad ·s−1;λ0=2πc
ω0
= 0,12 µm
(U.V.)
4- Prayonnée =e4
24π2ε2
0c3R3m2
e
E=E
τavec τ= 6,3.10−10 s.ωτ ≫1donc
le mouvement reste quasiment sinusoïdal.
7. 1- ~p0=
e2
me
E0
ω2
0−ω2+iω
τ
~ux; pour l’onde lumineuse ~p0=e2E0
me(ω2
0−ω2)~ux.
f(ωbleu)
f(ωrouge)= 8,4: le ciel est bleu.
2- I=1
2ε0cE2
0;σ(ω) = e4
6πε2
0c4m2
e
f(ω)(surface)
I(z) = I(0) exp −z
δavec δ=1 Nσ(ω)la distance caractéristique d’at-
ténuation de l’onde.
δbleu = 24 km et δrouge = 200 km : le soleil couchant est rouge.
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