TD 12 Ondes elm conducteur

TD 12
Ondes électromagnétiques
dans un conducteur
Dipôle rayonnant
5. La fréquence d’une onde est f = 100 MHz. Déterminer la valeur de la pulsation spatiale k. Déterminer la distance caractéristique d’absorption de l’onde
et sa vitesse de phase. Y a-t-il dispersion ? Pourquoi n’utilise-t-on pas d’ondes
hertziennes pour les communications sous-marines ?
⋆ Ondes électromagnétiques dans un conducteur
3. Cavité réelle, coefficient de qualité
1. Bilan d’énergie d’un conducteur ohmique
Une onde de basse fréquence se propage dans un conducteur réel de conductivité
γ. Le champ électrique est
z
→
−
z
E (M, t) = E0 exp − cos ωt −
~ux .
δ
δ
1. En utilisant une équation de Maxwell trouver l’expression du champ magnétique.
→
−
2. Calculer la moyenne temporelle du vecteur de Poynting, < Π >.
3. Calculer la moyenne temporelle de la puissance volumique dissipée par effet
Joule, < PV,J >.
→
−
4. Vérifier que div < Π > + < PV,J >= 0. Interpréter physiquement cette
relation.
2. Onde hertzienne dans l’eau de mer
On étudie la propagation d’ondes hertziennes dans l’eau de mer. On admet que
l’eau est localement neutre (ρ = 0). Sa permittivité diélectrique relative εr = 80
et sa conductivité σ = 6, 23 S · m−1 sont supposées réelles.
1. Quel est le domaine de fréquence des ondes hertziennes ? Donner les équations
de Maxwell dans le milieu diélectrique (il suffit de remplacer ε0 par ε0 εr ).
Comment se situe la conductivité du cuivre comparée à celle de l’eau de mer ?
On délimite une cavité avec deux plans métalliques parallèles coïncidant avec les
plans z = 0 et z = L. On prend pour expression du champ magnétique dans la
cavité :
πz πc
→
−
cos(ωt)~uy , avec ω =
,
B cavité = B0 cos
L
L
et dans le demi-espace z > L occupé par le métal de conductivité γ :
r
z−L
2
−
→
z−L
.
cos ωt −
~uy , avec δ =
B métal = −B0 exp −
δ
δ
µ0 γω
1. On donne L = 3 cm, γ = 2.107 Ω−1 · m−1 , ε0 = 8, 85.10−12 F · m−1 . Calcu→
−
∂E
est négligeable
ler la fréquence et vérifier que, dans le métal, le terme ε0
∂t
devant la densité volumique de courant. Comparer aussi δ et L.
2. Exprimer l’énergie électromagnétique moyenne < Uem > contenue dans la
cavité en fonction de B0 , L et S, la surface des plans conducteurs.
3. Exprimer la puissance volumique moyenne dissipée par effet Joule en un point
d’abscisse z > L en fonction de B0 , γ, δ et z. En déduire la puissance moyenne
< PJ > dissipée par effet Joule dans tout le volume du conducteur z > L,
en fonction de B0 , γ, δ et S.
4. On définit le facteur de qualité Q par
Q , 2π
2. Déterminer l’équation de propagation vérifiée par le champ électrique.
3. Établir la relation de dispersion.
4. Déterminer la fréquence de coupure au-delà de laquelle il n’y a pas absorption.
Quelle est la vitesse de phase dans ce cas ?
TD 12 - Ondes elm dans un conducteur - Dipôle rayonnant
énergie emmagasinée
.
énergie dissipée pendant une période
Exprimer le facteur de qualité de la cavité en fonction de L et δ, puis en
fonction de γ et de la longueur d’onde λ associée à la fréquence propre de la
cavité.
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1
⋆ Dipôle rayonnant
4. Réflexion sur un miroir mobile, effet Doppler
Une plaque métallique parfaitement conductrice, plane et perpendiculaire à (Ox)
se déplace à la vitesse uniforme ~v = v~ux ; elle coïncide à l’instant t avec le plan
d’équation x = vt.
→
−
Une onde
dont le champ électrique est : E i (x, t) =
électromagnétique
x
~uz se réfléchit sur cette surface, le champ électrique de
E0 cos ωi t −
c
x →
−
l’onde réfléchie s’écrivant : E r (x, t) = Er cos ωr t +
~uz .
c
1. Pour exprimer la réflexion de l’onde et vérifier les conditions aux limites, il
convient d’étudier la réflexion dans le référentiel R′ en translation par rapport
→ −
−
→
à R dans lequel la plaque est immobile. En notant ( E , B ) un champ électro→ −
−
→
magnétique dans R et ( E ′ , B ′ ) le même champ évalué dans R′ , on indique
→
−
→
−
→ −
−
→
→
−
que E ′ = E + ~v ∧ B et B ′ = B .
→
−
→
−
(a) Exprimer B i en fonction de E0 , c, ωi , t et x puis E ′i en fonction de E0 ,
c, ωi , t, x et v.
→
−
(b) Exprimer E ′r en fonction de Er , c, ωr , t, x et v.
−
→
→
−
(c) À la surface de la plaque E ′ i + E ′r doit être orthogonale à la plaque. En
déduire ωr en fonction de ωi , v et c.
2. (a) Donner Er en fonction de E0 , v et c.
→
−
→
−
→
−
< Π r > · (−~ux )
(b) Soit R ,
, où < Π r > et < Π i > sont les valeurs
→
−
< Π i > · ~ux
moyennes des vecteurs de Poynting des ondes incidente et réfléchie respectivement. Donner la signification physique de R. Exprimer R en fonction
de v et c. Comment expliquez-vous le fait que R < 1 ?
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5. Puissance d’un émetteur radio
L’antenne d’un émetteur radio est assimilée à un dipôle électrique oscillant vertical
placé au niveau du sol. La puissance de l’émetteur est P.
Exprimer l’amplitude d’oscillation du champ électrique Em en un point situé au
sol, à distance d de l’émetteur.
On rappelle que le champ électrique du dipôle électrique oscillant, en coordonnées
→ A sin θ
−
sphériques d’axe parallèle au dipôle, est de la forme E =
cos(ωt − kr +
r
ω
ϕ)~uθ avec k = .
c
Application numérique : P = 200 W, d = 1, 0.103 m et µ0 = 4π.10−7 H · m−1 .
Calculer Em (il faut multiplier le résultat par 2 pour tenir compte du fait que le
sol est conducteur et qu’il se produit une réflexion à sa surface).
6. Atome de Thomson
À la suite de ses travaux sur les rayons cathodiques et sa découverte de l’électron en 1897, Joseph John Thomson, physicien anglais, émit l’hypothèse que les
électrons étaient contenus dans les atomes. Il proposa un modèle de l’atome qu’il
surnomma lui-même "plum pudding model ". Les atomes selon Thomson sont
constitués :
– d’une sphère pleine positivement et uniformément chargée dont le rayon est de
l’ordre du nanomètre ;
– d’électrons ponctuels qui peuvent vibrer librement à l’intérieur de la sphère.
L’atome reste électriquement neutre. Ainsi, l’atome d’hydrogène est représenté
dans cet exercice par une sphère de rayon R (charge +e), de centre O et un
électron (charge −e, masse me ).
1. Exprimer le moment dipolaire de l’atome d’hydrogène à un instant où l’électron
−−→
se trouve en M tel que OM = r~ur .
→
−
2. Montrer que le champ électrique auquel l’électron est soumis est E =
e
r~ur .
4πε0 R3
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2
−−→
3. L’électron est initialement à la position OM (0) = z0 ~uz et n’a pas de vitesse
initiale. Exprimer la loi horaire de son mouvement z(t). Calculer la pulsation
ω0 du mouvement sachant que R = 0, 10 nm, me = 9, 1.10−31 kg, ε0 =
8, 85.10−12 F · m−1 .
(a) Écrire l’équation du mouvement de l’électron en faisant une approximation
classique.
À quel domaine du spectre électromagnétique appartient-elle ? Exprimer l’énergie mécanique de l’électron en fonction de z0 , me et ω0 .
(b) On cherche la solution sous la forme ~r = ~r0 exp(i(ωt − kz)). Déterminer
~r0 .
→
−
donné, en notation complexe, par E = E0 exp(i(ωt − kz))~ux . On admet que
la vitesse de l’électron reste très inférieure à la vitesse de la lumière c.
4. Le mouvement de l’électron est amorti du fait des pertes par rayonnement.
On se propose de déterminer le temps caractéristique d’amortissement, temps
supposé très supérieur à la période d’oscillation. On rappelle que la puissance rayonnée par un dipôle oscillant de pulsation ω et d’amplitude p0 est
p20 ω 4
Prayonnée =
.
12πε0 c3
(a) Exprimer la puissance rayonnée par l’électron en fonction de l’amplitude
de ses oscillations z0 , puis en fonction de l’énergie mécanique E.
(d) Simplifier l’expression de p~0 en tenant compte des valeurs numériques
données et sachant que l’onde excitatrice est une onde lumineuse.
(b) En déduire que E décroît exponentiellement avec un temps caractéristique
que l’on exprimera et que l’on calculera.
2. (a) Rappeler l’expression de l’intensité I de l’onde excitatrice (moyenne temporelle de la norme du vecteur de Poynting) en fonction de E0 .
7. Couleur du ciel
Pour décrire l’interaction entre les molécules de l’atmosphère et le rayonnement
électromagnétique du soleil on adopte le modèle suivant, appelé modèle de l’électron élastiquement lié :
– les noyaux atomiques sont fixes ;
– chaque électron (de masse me ) est traité indépendamment des autres et considéré comme soumis, en plus de la force exercée par le champ électromagné→
−
tique, à une force de rappel élastique F = −me ω02~r, où ~r est le déplacement
de l’électron par rapport à sa position au repos, ainsi qu’à une force dissipative
→
−
me d~r
.
modélisée comme un frottement fluide F f = −
τ dt
On prend pour valeurs des paramètres du modèle ω0 = 2, 0.1016 rad · s−1 et
τ ≃ 10−8 s.
1. On étudie le mouvement forcé de l’électron sous l’action du champ électromagnétique d’une onde excitatrice. Le champ électrique de cette onde est
TD 12 - Ondes elm dans un conducteur - Dipôle rayonnant
(c) En déduire le moment dipolaire induit par l’onde sous la forme p~ =
p~0 exp(i(ωt−kz)). On notera e la valeur absolue de la charge de l’électron.
(e) Exprimer la puissance moyenne Pray rayonnée par ce dipôle oscillant en
fonction de E0 et ω et de paramètres caractéristiques du modèle.
(f) Expliquer à l’aide de ce modèle la couleur bleue du ciel.
(b) Exprimer la puissance rayonnée sous la forme Pray = σ(ω)I. Quelle est
la dimension de σ(ω) ?
(c) On suppose que le milieu contient N électrons par unité de volume. L’énergie rayonnée par ces électrons est prélevée à l’onde incidente ce qui fait
que l’intensité I(z) diminue avec z. En faisant un bilan d’énergie sur un
cylindre dont les bases sont dans les plans de cotes z et z + dz, établir
dI 1
+ I(z) = 0, où δ est fonction
une équation différentielle de la forme
dz δ
de ω et des paramètres du modèle. Résoudre cette équation. Quelle est
la signification physique de δ ?
(d) Application numérique : N = 3, 0.1026 m−3 , e = 1, 6.10−19 C, me =
9, 1.10−31 kg, c = 3.108 m · s−1 , µ0 = 4π.10−7 H · m−1 . Calculer δ pour
une lumière bleue (λbleu = 0, 45 µm) et pour une lumière rouge (λrouge =
0, 75 µm).
(e) Expliquer, à l’aide de ce modèle, la couleur du soleil couchant.
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Éléments de réponse
zh → E0
−
z
z i
1. B =
sin ωt −
+ cos ωt −
~uy .
exp −
δω
δ δ
δ
→
−
2z
2z
γE02
E02
exp −
exp −
~uz ; < PV,J >=
.
< Π >=
2µ0 δω
δ
2
δ
ω2
2. f < 3000 GHz ; k2 = εr 2 − iωµ0 σ ; pour f ≫ fc , avec fc =
c
c
σ
= 1, 4 GHz, la relation de dispersion donne vϕ = √ = 0, 11c =
2πε0 εr
εr
0, 34.108 m · s−1 .
Pour l’onde hertzienne considérée, δ = 21 mm, l’onde s’atténue trop vite dans
l’eau de mer.
3. f = 5 GHz ; δ ≪ L
πz →
−
1
E cavité = cB0 sin
sin(ωt)~ux ; < Uem >= ε0 c2 B02 LS.
L
4
< j2 >
B02
B 2S
2(z − L)
< PV,J >=
= 2 2 exp −
; > PJ >= 02 .
γ
δ
µ0 γδ
2µ0 γδ
√
L
< Uem >
= = 1.104 . Q = πµ0 cγλ.
Q = 2π
2π
δ
2× < PJ >
ω
h h →
−
E0
x i
→
−
v
x i
4. 1. B i = −
~uy ; E ′i = 1 −
E0 cos ωi t −
~uz .
cos ωi t −
c
c
c
c
h h →
−
→
−
x i
v
x i
Er
~uy ; E ′r = 1 +
Er cos ωr t +
~uz .
cos ωr t +
Br =
c
c c
c
c−v
2v
ωr =
≃ ωi 1 −
pour v ≪ c : effet Doppler.
c+v
c
c−v
2v
2. Er =
E0 ≃ Ei 1 −
c+v
c
2
c−v
est le pourcentage d’énergie réfléchie. R < 1 n’est pas dû
R=
c+v
à des pertes dans le conducteur (qui est parfait) mais au fait qu’il y a de
plus en plus d’énergie électromagnétique devant la plaque.
r
r
→
−
A2 sin2 θ
3µ0 cP
3µ0 cP
5. < Π >=
~ur ; A =
; E(d) =
. Numériquement
2µ0 cr 2
4π
4πd2
Em = 2E(d) = 0, 27 V · m−1 .
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6. 1- p~ = −er~ur .
→
−
er
~ur
2- E =
4πε0 R3
s
r
2πc
k
e2
3- ω0 =
=
= 1, 6.1016 rad · s−1 ; λ0 =
= 0, 12 µm
3
me
4πε0 R me
ω0
(U.V.)
e4
E
E=
avec τ = 6, 3.10−10 s. ωτ ≫ 1 donc
2
2
3
3
2
τ
24π ε0 c R me
le mouvement reste quasiment sinusoïdal.
e2
E0
e2 E0
me
~
u
;
pour
l’onde
lumineuse
p
~
~ux .
7. 1- p~0 =
=
x
ω
0
me (ω02 − ω 2 )
ω02 − ω 2 + i
τ
f (ωbleu )
= 8, 4 : le ciel est bleu.
f (ωrouge )
4- Prayonnée =
e4
1
ε0 cE02 ; σ(ω) =
f (ω) (surface)
2
6πε20 c4 m2e
z
1
avec δ =
la distance caractéristique d’atI(z) = I(0) exp −
δ
N σ(ω)
ténuation de l’onde.
2- I =
δbleu = 24 km et δrouge = 200 km : le soleil couchant est rouge.
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