Régularité et interpolation - IMJ-PRG

R´egularit´e et interpolation
Marc CHARDIN & Patrice PHILIPPON
Abstract. In this article we introduce a weak notion of regularity for a graded module M
over a standard graded algebra. Instead of the usual condition of m-regularity we ask that, for all i,
[bHi
m(M)]>m−i= 0 where bis an homogeneous ideal, and then say that Mis (m, b)-regular. This
notion is especially interesting when bcontains a non zero divisor in M, such a module is called
(m, b)-perfect.
Three important facts concerning an (m, b)-regular module Mare :
(1) if xdoes’nt divide zero in M,M/xM is (m+ deg x−1,b)-regular,
(2) if M0⊂M, then M/M0is (m, Ann(M0)b)-regular,
(3) if Mis Cohen-Macaulay and (m, b)-perfect, then Mis m-regular.
These properties lead to interesting estimates on the regularity of Cohen-Macaulay modules.
Our main result in this direction is,
Theorem A. If X⊆Pnis a scheme of dimension 0and H1, . . . , Hnare hypersurfaces con-
taining Xthat forms a complete intersection locally at each point of X, then
reg(X)6deg H1+··· + deg Hn−n.
The interesting point here is that we do not impose a global complete intersection condition.
This result may be compared with the one of Bertram-Ein-Lazarsfeld in [1], where a bound of
the same type is obtained for a smooth scheme Xof arbitrary dimension cutout scheme-theoretically
by hypersurfaces Hi.
We use this result to solve a conjecture of the first author, namely
Theorem B. Let X⊆Pn(k)be an irreducible variety of codimension r(with kperfect), then
for all s6rthere exists Yirreducible of codimension s, containing X, with
[deg Y]1/s 64n−1n[deg X]1/r.
The key point in the proof is to obtain, in every degree >d1+··· +di, non trivial lower
bounds for the Hilbert function of isolated components of an intersection of hypersurfaces of degrees
d1, . . . , di. This estimate is derived from theorem A, by reducing to the zero dimensional case.
Introduction
Dans cet article nous introduisons une notion affaiblie de r´egularit´e pour un module gradu´e
Msur une alg`ebre gradu´ee standard. Au lieu d’imposer la condition usuelle de m-r´egularit´e, nous
1

demandons que, pour tout i, [bHi
m(M)]>m−i= 0, o`u best un id´eal homog`ene. On parle alors de
(m, b)-r´egularit´e. Cette condition n’est facilement utilisable que lorsque bcontient un non diviseur
de z´ero dans M, un tel module est dit (m, b)-parfait.
Trois faits importants concernant un module (m, b)-r´egulier Msont :
(1) si xne divise pas z´ero dans M,M/xM est (m+ deg x−1,b)-r´egulier,
(2) si M0⊂M, alors M/M0est (m, Ann(M0)b)-r´egulier,
(3) si Mest de Cohen-Macaulay et (m, b)-parfait, il est m-r´egulier.
Ces propri´et´es montrent la voie pour des estimations int´eressantes de la r´egularit´e des modules
de Cohen-Macaulay. Nous montrons notamment,
Th´eor`eme A. Si X⊆Pnest un sch´ema de dimension 0et H1, . . . , Hnsont des hypersurfaces
contenant Xet formant une intersection compl`ete localement en chaque point de X, alors
r´eg(X)6deg H1+··· + deg Hn−n.
Le point int´eressant est le fait que la condition d’intersection compl`ete n’est pas globale.
On pourra comparer ce r´esultat `a celui de Bertram-Ein-Lazarsfeld dans [1], ou une borne du
mˆeme type est obtenue pour un sch´ema lisse Xde dimension arbitraire, sch´ematiquement d´efini
par des hypersurfaces Hi.
Nous utilisons cet ´enonc´e pour r´esoudre une conjecture faite dans la th`ese du premier auteur,
`a savoir
Th´eor`eme B. Soit X⊆Pn(k)une vari´et´e irr´eductible de codimension r(avec kparfait),
pour tout s6ron peut trouver Yirr´eductible de codimension scontenant Xet telle que
[deg Y]1/s 64n−1n[deg X]1/r.
Le point clef est d’obtenir une minoration non triviale, en tout degr´e >d1+···+di, de
la fonction de Hilbert de chaque composante isol´ee d’une intersection d’hypersurfaces de degr´es
d1, . . . , di, ce que permet le th´eor`eme A par r´eduction au cas de dimension z´ero.
§1. R´egularit´e relative `a un id´eal.
Soit Aune alg`ebre gradu´ee standard, c’est-`a-dire telle que A0=ksoit un corps et A=k[A1],
m=A+et Mun A-module gradu´e de type fini. Si a= (a1, . . . , as) est un s-uplet d’´el´ements
homog`enes de A+, de degr´es di:= deg ai, les modules d’homologie Hs−i(a, M) du complexe de
Koszul K•(a, M) sont annul´es par AnnM+a, o`u aest l’id´eal engendr´e par les ai.
Ainsi, par exemple, Hs−i(a, M)ν= 0 pour tout νÀ0 et tout isi dim(M/aM) = 0.
Munissons le complexe K•(a, M) de sa graduation naturelle (telle que les diff´erentielles soient
homog`enes de degr´e 0), d´ecal´ee de telle sorte que
Ks(a, M)ν:= Mν
on a alors, par exemple, Hs(a, M) = (0 :Ma) et H0(a, M) = M/aM[d1+··· +ds].
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Afin de contrˆoler notamment le d´efaut de caract`ere Cohen-Macaulay (voir ci-apr`es), on intro-
duit la d´efinition suivante.
D´efinition 1. Si m∈Net b⊆Aest un id´eal homog`ene; Mest dit (m, b)-r´egulier si l’une
des quatre conditions ´equivalentes suivantes est v´erifi´ee,
(∗)pour tout s-uplet a= (a1, . . . , as)de A+tel que dim M/aM= 0, on a
[bHs−i(a, M)]ν= 0,∀prof M6i6dim M, ∀ν > m −i.
(∗)0pour tout s-uplet a= (a1, . . . , as)de A+tel que dim M/aM= 0, on a
[bHs−i(a, M)]ν= 0,∀i, ∀ν > m −i.
(∗∗) [bHi
m(M)]ν= 0,∀prof M6i6dim M, ∀ν > m −i.
(∗∗)0[bHi
m(M)]ν= 0,∀i, ∀ν > m −i.
Et Msera dit (m, b)-parfait si de plus √bposs`ede un ´el´ement non diviseur de z´ero dans M.
Lorsque M=A/I,Isera dit (m, b)-r´egulier (resp. parfait) si A/I l’est.
Montrons l’´equivalence annonc´ee. On rappelle que r´eg(M) est le plus petit entier mtel que
(∗∗) soit v´erifi´ee pour b=A.
Preuve. Les propri´et´es (∗∗) et (∗∗)0sont clairement ´equivalents puisque Hi
m(M) = 0 pour
i < prof Met i > dim M. D’autre part l’implication (∗)0⇒(∗) est triviale.
Soit m=: (x1, . . . , xn). Notant C0(M) = Met Cq(M) = Li1<···<iqMxi1···xiq, le bi-complexe
Z-gradu´e C•(K•(a, M )), donne lieu `a deux suites spectrales de mˆeme aboutissement, on a:
(01) 0Epq
1=Cq(Hp(a, M)), donc 0Ep0 1=Hp(a, M) et 0Epq 1= 0 si q > 0.
(001) 00 Epq
1=Kp(a, Hq
m(M)), en particulier 00 Esq
1=Hq
m(M).
(002) 00 Epq
2=Hp(a, Hq
m(M)).
On a ainsi 0Epq
1=0Epq
∞pour tous pet q.
Soit b∈bet d:= deg b. Choisissons tout d’abord Ntel que N > r´eg(M) + d, et posons
a:= (xN
1, . . . , xN
n) de telle sorte que [00 Epq
1]ν=Hq
m(M)[N(n−p) + ν](n
p)= 0 si ν>−det p6=n.
On a ainsi dans ce cas un isomorphisme gradu´e (de degr´e 0) de A-modules Hn−q(a, M)>−d'
Hq
m(M)>−d. Ce qui montre que (∗)⇒(∗∗).
D’autre part, si bannule tous les modules Hq
m(M) en degr´es >ν−deg b−q, alors bannule
[00Epq
1]>ν−deg b−ipour p−q=s−i, car 00Epq 1=Li1<···<is−pHq
m(M)[di1+···+dis−p] et di1+···+
dis−p>s−p=i−q. Ainsi bannule ´egalement l’aboutissement (sur la ligne p−q=s−i), qui est
isomorphe `a Hs−i(a;M)ν−deg b−i, ce qui montre que (∗∗)0⇒(∗)0, et termine ainsi la preuve. ¤
Observation 1. La preuve ci-dessus montre en fait que pour ˆetre (m, b)-r´egulier il suffit de
v´erifier la propri´et´e (∗) pour tout atel que aest m-primaire, et mˆeme pour a= (xN
1, . . . , xN
n) avec
N∈N.
§2. Quelques propri´et´es de la (m, b)-r´egularit´e.
Proposition 1. Soit Mun A-module gradu´e de type fini et bun id´eal homog`ene. Si Mest
(m, b)-r´egulier et xest une forme de degr´e d > 0ne divisant pas z´ero dans M, alors M/xM est
(m+d−1,b)-r´egulier.
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Preuve. Soit a= (a1, . . . , as) et posons a0= (x, a1, . . . , as). Notons que dim M/xM =
dim M−1. Comme xne divise pas z´ero dans M, on a, pour tout 0 6i6s+ 1, un isomorphisme
gradu´e de A-modules (de degr´e 0):
Hs−(i−1)(a, M/xM)'Hs+1−i(a0, M)[−d].
Tenant compte du d´ecalage d’indice, la proposition en d´ecoule. ¤
Proposition 2. Soit 0→M0→M→M00 →0une suite exacte de A-modules gradu´es. Si
b0⊆Ann(M0)et Mest (m, b)-r´egulier, alors M00 est (m, bb0)-r´egulier.
Preuve. D’apr`es l’observation 1, on peut supposer que aest m-primaire, de telle sorte que
dim M00/aM00 = dim M/aM= 0, on consid`ere alors le diagramme commutatif `a ligne centrale
exacte suivant, pour b∈bet b0∈b0, de degr´es respectifs det d0,
Hp(a, M00)[−d−d0]→Hp−1(a, M0)[−d−d0]
×b0↓0↓
Hp(a, M)[−d]→Hp(a, M00)[−d]→Hp−1(a, M0)[−d]
×b↓ ×b↓
Hp(a, M)φ →Hp(a, M00 )
d’o`u l’on d´eduit que si x∈Hp(a, M 00 )ν−d−d0, alors bb0x∈φ([bHp(a, M)]ν). D’o`u le r´esultat. ¤
Si cest un id´eal homog`ene, nous poserons ai
c(M) := Ann(Hi c(M)).
Corollaire 1. Soit Mun A-module gradu´e de type fini (m, b)-r´egulier et cun id´eal homog`ene.
Alors, le module M00 := M/H0
c(M)est (m, ba0 c(M))-r´egulier, il est de plus (m, ba0 c(M))-parfait si
√bcontient un non diviseur de z´ero dans M00 .
Preuve. La proposition 2 appliqu´ee `a la suite exacte
0→H0
c(M)→M→M00 →0
donne le premier ´enonc´e. De plus Ass(M00 )∩Ass(A/c) = ∅, il existe donc c∈c⊆pa0
c(M) qui
ne divise pas z´ero dans M00 (on peut choisir ctel que deg c6d, si cest engendr´e en degr´es 6d).
Ainsi bc ne divise pas z´ero dans M00 s’il en est de mˆeme pour b, ce qui conclut la preuve. ¤
Remarque 1. On a l’inclusion cN⊆a0
c(M) pour tout Ntel que H0 c(M) = 0 :McN.
§3. R´egularit´e de Castelnuovo-Mumford et (m, b)-r´egularit´e.
Proposition 3. Si Mest de Cohen-Macaulay et (m, b)-parfait, alors Mest m-r´egulier.
Preuve. Soit b∈bnon diviseur de z´ero dans Met x1, . . . , xd(d:= dim M) des formes
lin´eaires telles que (bx1, x2, . . . , xd) soit une suite r´eguli`ere dans M.
Alors notant M0=M/(x2, . . . , xd)M, on a r´eg(M0) = r´eg(M).
D’autre part, M0est (m, (b))-parfait d’apr`es la proposition 1 et on a dim M0/bx1M0= 0. Donc
[bH0(bx1, M0)]>m−1=b[M0/bx1M0]>m = 0, et ainsi [M0/M0x1]>m = 0 car bne divise pas z´ero
dans M0. D’o`u la m-r´egularit´e de M0et partant celle de M.¤
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Th´eor`eme 1. Soient H1, . . . , Hndes hypersurfaces de Pnet Ω⊆Pnun ouvert. Si X:=
H1∩ ··· ∩ Hn∩Ωest de dimension z´ero, alors r´egX6deg H1+··· + deg Hn−n.
Preuve. Soit A:= k[X0, . . . , Xn] et a1, . . . , anles ´equations respectives de H1, . . . , Hn,di:=
deg aiet Y:= Pn−Ω. Le cas o`u Ω = Pnest connu, on supposera donc Y6=∅et on notera K
l’id´eal de d´efinition de Y.
Posons Ii:= (a1, . . . , ai) et Ji:= Ii:K∞de sorte que Xi:= Proj(A/Ji) = H1∩ ··· ∩ Hi∩Ω.
On note que A/Jiest pur (car Ω est de Cohen-Macaulay), ce qui entraˆıne que Ass(A/Ji)∩
Ass(A/K) = ∅pour tout i. Il existe donc b∈Khomog`ene tel que b6∈ ∪n
i=1Ass(A/Ji), et on
aJi=Ii:b∞= (Ji−1+aiA) : b∞pour tout i.
Montrons, par r´ecurrence sur 0 6i6n, qu’il existe Nitel que
(Ri)A/Jiest (d1+··· +di−i, bNi)-parfait.
Tout d’abord Aest (0, A)-parfait, on choisit donc N0= 0.
D’autre part, si i>0, ai+1 ne divise pas z´ero dans A/Ji, qui est pur, donc la proposition 1 et
(Ri) montrent que A/(Ji+ai+1A) est (d1+···+di+1 −i−1, bNi)-r´egulier. D’apr`es le corollaire
1, Ji+1 = (Ji+ai+1A) : b∞est (d1+··· +di+1 −i−1, bNi+1 )-parfait pour Ni+1 >Nitel que
Ji+1 = (Ji+ai+1A) : bNi+1−Ni. D’o`u (Ri+1).
Comme A/Jnest de dimension 1, (Rn), joint `a la proposition 3, entraˆıne la conclusion. ¤
Notation. Si Iest un id´eal et run entier, nous noterons I<r> l’intersection des id´eaux
primaires correspondant aux premiers isol´es de codimension rde I. Ainsi,
I=∩r>0I<r> ∩K
o`u tous les premiers associ´es `a Kcontiennent un premier associ´e `a un I<r>.
Le a-invariant d’un module gradu´e Mde dimension D+ 1 (D>0), not´e a(M), est le plus
petit entier νtel que HD+1
m(M)>ν = 0, ou encore tel que HD+1 m(M)ν+1 = 0.
Du th´eor`eme 1 on d´eduit, soit directement soit par un r´esultat dˆu `a Nagel et Schenzel (cf. [5]
th´eor`eme 6.4 et proposition 6.7),
Corollaire 2. Soit Jun id´eal homog`ene de codimension r6ndans k[X0, . . . , Xn].
S’il existe un id´eal homog`ene I, engendr´e par des polynˆomes de degr´es d1>d2>···>dm, tel
que J⊇I<r>, alors
(i) a(A/J)6d1+··· +dr−n−1, donc si A/J est de Cohen-Macaulay on a
r´eg(A/J)6d1+··· +dr−r,
(ii) si A/J est k-Buchsbaum, H0
m(A/J) = 0 et ds>2k,
r´eg(A/J)6(d1+···+dn−n,
d1+···+ds+ 2k(n−s)−n,
si s>n
sinon.
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