Mécanique – Chapitre 3 : Énergie d`un point matériel

Lycée Hoche – BCSPT1A – A. Guillerand
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Mécanique – Chapitre 3 : Énergie d’un point matériel
Travail et puissance d’une force
1. Définitions
2. Travail d’une force le long d’une trajectoire
3. Cas d’une force uniforme
4. Cas des forces de frottement
II. Théorème de l’énergie cinétique
1. Énergie cinétique d’un point matériel
2. Théorème de l’énergie cinétique
III. Forces conservatives et énergie potentielle
1. Définitions
2. Exemples de forces conservatives et énergies potentielles associées
IV. Énergie mécanique
1. Définition
2. Théorème de l’énergie mécanique
3. Trajectoire bornée ou non bornée pour un système conservatif
V. Équilibre d’un point matériel dans un champ de force
1. Condition d’équilibre – problème à un degré de liberté
2. Stabilité de l’équilibre
3. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti
4. Oscillateur harmonique linéarisé : approximation harmonique
I.
Extrait du programme de 1ère S et de TS
Notions
Énergie d’un point matériel en mouvement dans le champ de
pesanteur uniforme : énergie cinétique, énergie potentielle de
pesanteur, conservation ou non conservation de l’énergie
mécanique.
Frottements ; transferts thermiques ; dissipation d’énergie.
Principe de conservation de l’énergie
Travail d’une force
Force conservative ; énergie potentielle
Forces non conservatives : exemple des frottements
Énergie mécanique
Étude énergétique des oscillations libres d’un système
mécanique
Dissipation d’énergie
Capacités exigibles
Connaître et utiliser l’expression de l’énergie cinétique d’un
solide en translation et de l’énergie potentielle de pesanteur
d’un solide au voisinage de la Terre.
Établir et exploiter les expressions du travail d’une force
constante (force de pesanteur, force électrique dans le cas
d’un champ uniforme)
Établir l’expression du travail d’une force de frottement
d’intensité constante dans le cas d’une trajectoire rectiligne
Analyser les transferts énergétiques au cours d’un
mouvement d’un point matériel
Extrait du programme de BCPST1
Notions
Capacités exigibles
Puissance et travail d’une force.
Théorème de l’énergie cinétique.
Énergie potentielle et énergie mécanique dans
un cas unidimensionnel.
Théorème de l’énergie mécanique.
Mouvement conservatif à une dimension.
Position d’équilibre ; stabilité.
Petits mouvements au voisinage d’une
position d’équilibre stable ; approximation
locale par un puits de potentiel harmonique.
Distinguer force conservative et force non conservative.
Démontrer et utiliser le théorème de l’énergie cinétique.
Établir l’expression de l’énergie potentielle connaissant la force (dans le cas
unidimensionnel).
Distinguer le caractère attractif ou répulsif d’une force.
Utiliser les expressions de l’énergie potentielle de pesanteur (dans un champ
de pesanteur uniforme) et de l’énergie potentielle élastique.
Démontrer le théorème de l’énergie mécanique.
Déduire d’un graphe d’énergie potentielle la nature de la trajectoire
possible : non bornée, bornée, périodique.
Déduire d’un graphe la position et la nature stable ou instable des positions
d’équilibre
Établir l’équation du mouvement à partir de l’énergie mécanique.
Reconnaître l’équation d’un oscillateur harmonique non amorti.
Relier la période et la dérivée seconde de l’énergie potentielle à l’équilibre.
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I.
Travail et puissance d’une force
1. Définitions
a. Travail élémentaire
Soit un point matériel
soumis à une force
déplacement élémentaire, entre et
,
, on note le vecteur position
et le vecteur
Figure 1 : trajectoire du point M
Définition :
On appelle travail élémentaire de
au cours du déplacement élémentaire :
Le travail est une
grandeur
extensive
(additive) : on peut
définir le travail
élémentaire de la
somme des forces qui
s’exerce sur le point :
Autre manière de le définir :
b. Rappels sur les produits scalaires
-
Un produit scalaire est une opération sur deux vecteurs dont le résultat est un scalaire (et non
un vecteur).
-
Définition :
-
Expression d’un produit scalaire à partir des coordonnées des vecteurs :
Soient
et
Entraînons-nous à exprimer le travail élémentaire d’une force
cartésiennes et polaires :
quelconque en coordonnées
en coordonnées cartésiennes :
en coordonnées polaires :
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c. Puissance mécanique d’une force
Soit un point matériel
soumis à une force
, on note
la vitesse du point
dans le référentiel
.
Définition :
On appelle puissance mécanique de la force
à un instant :
On peut donc écrire :
2. Travail d’une force le long d’une trajectoire
Figure 2 : trajectoire du point M
Le travail effectué par la force
le long de la trajectoire de
jusqu’à
se calcule de la manière suivante :
Il est possible de l’exprimer à partir de la puissance mécanique :
Propriétés :
-
On somme les travaux élémentaires sur toute la trajectoire :
-
A retenir :
3. Cas d’une force uniforme
Propriété :
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Démonstration :
Soit
une force uniforme dans l’espace
Exemple : cas de la force de pesanteur uniforme
4. Cas des forces de frottement
Propriété :
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II. Théorème de l’énergie cinétique et de la puissance cinétique
1. Énergie cinétique d’un point matériel
Soit un point matériel en mouvement dans le référentiel
note sa vitesse et sa masse.
, supposé galiléen pour le mouvement étudié, on
Définition :
On appelle énergie cinétique de
dans
:
2. Théorème de l’énergie cinétique
a. Énoncé
Théorème de l’énergie cinétique
On étudie le mouvement d’un point matériel
soumis à la somme des forces extérieures
entre et vérifie la loi suivante :
de masse , de vitesse dans un référentiel galiléen ,
, se déplaçant de vers . La variation d’énergie cinétique
b. Démonstration
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c. Lien entre le signe du travail d’une force et la variation d’énergie cinétique induite
Considérons une seule force extérieure appliquée au système, le théorème de l’énergie cinétique s’écrit :
d. Autre version : théorème de la puissance cinétique
Théorème de la puissance cinétique :
Ce théorème peut aussi s’écrire en termes différentiels, on l’appelle dans ce cas le théorème de la puissance
cinétique :
e. Intérêt
Le principe fondamental de la dynamique permet de déterminer les équations horaires et l’équation de la
trajectoire.
Avec le théorème de l’énergie cinétique, nous n’avons qu’une équation, donc nous ne pourrons déterminer
qu’une inconnue à un instant donné (en général la vitesse) mais sans passer par la détermination des équations
horaires. Ce qui sera souvent moins fastidieux.
Exercices d’application 1, 2 et 3
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III. Forces conservatives et énergie potentielle
1. Définitions
Force conservative :
Remarques :
On emploie le terme
« conservatives » car
ce sont des forces qui
lorsqu’elles sont seules
à s’exercer sur le
système permet une
conservation
de
l’énergie
mécanique
que l’on définira plus
loin.
Énergie potentielle
Remarques :
L’énergie potentielle
est définie à une
constante
près,
puisqu’elle est définie
en termes de variation.
On dit que la force
« dérive » de l’énergie
potentielle.
Exercice
d’application 4
(question 1)
Propriété :
Une force conservative est une force qui ne dépend que de la position du point sur lequel elle
s’exerce : on dit alors que le point se trouve dans un champ de force.
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2. Exemples de forces conservatives et énergie potentielle associée
a. Énergie potentielle de pesanteur (champ de pesanteur uniforme)
Définition :
On considère le champ de pesanteur terrestre, l’axe étant orienté vers le haut. L’énergie
potentielle associée est appelée énergie potentielle de pesanteur et s’exprime :
Démonstration :
b. Énergie potentielle élastique
Définition :
La
force
de
rappel
élastique
définie de la façon suivante :
Remarque : on introduit souvent
dérive
de
l’énergie
potentielle
élastique
(changement d’origine du repère), ce qui donne :
Démonstration :
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c. Énergie des forces d’interaction newtonienne : en
Formule générale des forces d’interaction newtoniennes :
Si
:
Si
:
Exemples :
force universelle gravitationnelle
force électrostatique de Coulomb
Énergie potentielle associée :
Démonstration :
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IV. Énergie mécanique
1. Définition
Énergie mécanique :
On appelle énergie mécanique d’un système la somme de son énergie cinétique et des énergies
potentielles des forces conservatives :
2. Théorème de l’énergie mécanique
a. Cas particulier d’un système soumis uniquement à des forces conservatives
On étudie le mouvement d’un point matériel
de masse , de vitesse
, soumis forces conservatives, se déplaçant de vers :
dans un référentiel galiléen
Conservation de l’énergie mécanique pour les systèmes soumis uniquement à des forces
conservatives :
Ex.
d’application 4,
5, 6, 7
Démonstration :
b. Cas général : théorème de l’énergie mécanique
Théorème de l’énergie mécanique :
Démonstration :
Remarque : en général les forces non conservatives sont des forces de frottement dont le travail est
résistant (
). Ainsi l’énergie mécanique en est plus faible que celle en : il y a une perte
d’énergie mécanique.
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3. Trajectoire bornée ou non bornée pour un système conservatif
La connaissance de l’énergie mécanique d’un système conservatif, qui restera donc constante, et de la
valeur de l’énergie potentielle en chaque point de l’espace, permet de déterminer les trajectoires
possibles pour le système.
a. Définitions sur l’exemple du mouvement d’un point matériel le long d’un axe
sous l’action d’une force conservative.
Soit un point matériel
de masse
en Ci-dessous on représente une allure quelconque
mouvement le long d’un axe
soumis à une de l’énergie potentielle en fonction de :
force
, conservative. On peut donc
définir son énergie potentielle :
d
avec
d
d
la coordonnée selon
d
Figure 3 : Allure de l’énergie potentielle
Condition pour déterminer le domaine spatial du mouvement :
Il existe deux cas selon l’énergie mécanique du système que l’on fournit au départ :

et
initial
Figure 4
Analyse :
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Remarque : si le
système est non
conservatif :
l’énergie
mécanique
diminuera jusqu’à
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
ou
(en admettant qu’il n’y ait pas d’autre extremum par la suite)
Figure 5
Analyse :
b. Exemple : cas de l’interaction gravitationnelle
Système : satellite de masse
Référentiel : géocentrique supposé galiléen
Bilan des forces extérieures :
Énergie potentielle :
Système conservatif :
avec
cste
Analyse de la courbe d’énergie potentielle dans le cas d’un satellite en orbite circulaire :
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Lacement d’un satellite du sol : calcul de la vitesse de libération :
Remarque :
On se place dans le cas où un satellite lancé du sol terrestre, avec une vitesse initiale
, est Pour les champs
susceptible d’atteindre un point infiniment éloigné
avec une vitesse
: il échappe à newtoniens avec
l’attraction terrestre.
Calculer la vitesse de libération, c’est-à-dire la vitesse minimale d’impulsion initiale permettant au
satellite d’échapper à l’attraction terrestre.
alors :
: état lié
: état de
diffusion
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V.
Équilibre d’un point matériel dans un champ de force
1. Conditions d’équilibre – problème à un degré de liberté
a. Exemple d’un mouvement rectiligne dans un champ de force
Soit un point en mouvement rectiligne selon l’axe
soumis à l’action d’un champ de force :
, avec
la coordonnée selon
étant une grandeur algébrique
Figure 6
dérive d’une énergie potentielle
telle que :
d
d
d
d
d
Déterminons la condition sur l’énergie potentielle à l’équilibre :
b. Généralisation
On étudiera dans la suite des situations où seule une variable de position suffit : une longueur ou un
angle ( ou par exemple).
2. Stabilité de l’équilibre
a. Déplacement autour de l’équilibre
Soit un petit déplacement algébrique
de la position d’équilibre .
autour
On peut approximer la force au voisinage de
l’équilibre par son développement limité (DL) au
premier ordre à l’aide de la formule de Taylor.
Figure 7
Formule de Taylor donnant une approximation de la fonction
au voisinage de
:
o
DL au premier ordre de la force
au voisinage de
:
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b. Étude de la stabilité
Figure 8
Définitions : équilibre stable ou instable
Il faut donc étudier le signe de
:
d
d
-
Équilibre stable :
-
Équilibre instable :
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3. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti
a. Exemple d’oscillateur harmonique : le ressort horizontal
Figure 9
Étude de l’énergie potentielle et utilisation du théorème de l’énergie mécanique :
L’énergie potentielle du système d’étude (la masse
au bout du ressort), s’écrit :
Détermination de la (ou des) positions d’équilibre :
Étude de la stabilité de l’équilibre :
Allure : courbe parabolique (avec origine de l’
en
)
Utilisation du théorème de l’énergie mécanique pour retrouver l’équation différentielle du mouvement :
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b. Généralisation : définition d’un oscillateur harmonique
Soit un oscillateur unidimensionnel de paramètre de position
position d’équilibre stable du système.
, d’énergie potentielle
et
la
Définition : oscillateur harmonique
Un oscillateur harmonique est un oscillateur unidimensionnel dont le mouvement vérifie l’équation
différentielle harmonique suivante :
et possède une énergie potentielle de type :
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4. Oscillateur harmonique linéarisé : approximation harmonique
a. Exemple d’oscillateur harmonique linéarisé : le pendule simple
Figure 10
Étude de l’énergie potentielle :
L’énergie potentielle du système d’étude (la masse
pour origine
au bout du fil) est l’énergie potentielle de pesanteur, en prenant
Détermination de la (ou des) positions d’équilibre :
Étude de la stabilité des équilibres :
Allure :
Conclusion :
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Dans le chapitre précédent on a montré qu’il fallait effectuer un DL sur
pour obtenir une équation différentielle
harmonique. De la même façon à l’aide d’un DL au voisinage de la position d’équilibre stable l’énergie potentielle
pourra se mettre sous la forme d’une fonction parabolique typique des oscillateurs harmoniques :
au voisinage de l’équilibre stable
Développement limité au 2ème ordre de
b. Généralisation
Soit un oscillateur unidimensionnel de paramètre de position , d’énergie potentielle
stable du système.
et
la position d’équilibre
Approximation harmonique :
Si un oscillateur n’est pas rigoureusement harmonique, on pourra effectuer l’approximation harmonique au voisinage de
la position d’équilibre stable :
avec
Si on pose l’origine de l’énergie potentielle en
:
Remarque :
Pour déterminer l’équation différentielle à partir de l’énergie potentielle approchée on peut comme précédemment utilise
le théorème de l’énergie mécanique :
Mais attention l’énergie cinétique ne s’écrira pas toujours
. En particulier dans le cas du pendule simple
.
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