Devoir maison - PCSI

PCSI : mathématiques 2016-2017
Devoir maison
(À rendre le mercredi matin 16 novembre)
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte
dans l’évaluation de la copie.
Problème.
Partie I : Nombres de Mersenne
1. a) Soit a>2et n>2deux entiers naturels. Supposons que an−1est premier. Montrer
que a= 2.
b) Pour n∈N, on pose Mn= 2n−1. Montrer que si Mnest premier, alors nest premier.
(Indication : factoriser 2kl −1)
2. Montrer que M2, M3, M5, M7sont premiers.
3. M11 est-il premier ?
Les nombres de la forme 2p−1, pour ppremier, sont appelés nombres de Mersenne. Le plus
grand nombre premier actuellement connu est M74207281 , il comporte 22338618 chiffres.
Partie II : Nombres parfaits
1. Soit r∈N∗, soient k1, k2, . . . , kret α1, α2, . . . , αrdes entiers naturels non nuls. Montrer que
X
06β16α1
...
06βr6αr
kβ1
1kβ2 2. . . kβr
r=
r
Y
i=1
(1 + ki+k2
i+· · · +kαi
i).
(Indication : on peut raisonner par récurrence)
2. Pour tout entier naturel non nul n, on note σ(n)la somme des diviseurs de n.
a) Si pest premier, que vaut σ(p)?
b) Pour n>2, exprimer σ(n)en fonction des termes intervenant dans la décomposition en
facteurs premiers de n.
3. Montrer que si net msont premiers entre eux alors σ(nm) = σ(n)σ(m).
4. On dit qu’un entier naturel non nul nest parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs
autres que lui-même (c’est-à-dire si n=σ(n)−n) . Soit pun nombre premier. Si Mpest
premier, montrer que 2p−1Mpest parfait.
Réciproquement, les nombres parfait pairs sont de la forme évoquée à la question 4. On ne
connaît aucun nombre parfait impair, on ne sait même pas s’il en existe. En revanche, on sait que
s’il en existe un, alors il a au moins 300 chiffres et 9facteurs premiers distincts dont le plus grand
est supérieur à 108.
Partie III : Nombres de Fermat
1. a) Soit jun entier naturel impair. Factoriser 2j+ 1.
b) Soit n∈N∗. En déduire que si 2n+ 1 est un nombre premier, alors nest une puissance
de 2.
2. Pour k∈N, on pose Fk= 22k+ 1.
a) Calculer F0, F1, F2, F3, F4. Sont-ils premiers ?
b) Montrer que pour tout entier naturel k,Fk−2 =
k−1
Q
i=0
Fi.
c) En déduire que les entiers (Fk)k∈Nsont premiers entre eux deux à deux.
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d) Utiliser la question précédente pour donner une autre démonstration du fait qu’il existe
une infinité de nombres premiers (théorème d’Euclide).
Les nombres Fksont appelés nombres de Fermat.
Exercice (Nombre de surjections).Si net psont des entiers naturels non nuls, on notera Sp
nle
nombre de surjections de J1, nKsur J1, pK.
1. a) Que vaut Sp
nsi p>n?
b) Pour n>1, calculer Sn
net S1 n, puis, pour n>2, calculer S2 net Sn−1 n.
2. Quel est le cardinal de l’ensemble des applications de J1, nKdans J1, pK? Montrer que
pn=
p
P
q=0 p
qSq
n.
3. a) En considérant qu’une surjection de J1, nKsur J1, pKpeut ou non réaliser une surjection
de J1, n −1Ksur J1, pK, montrer que Sp
n=p(Sp
n−1+Sp−1 n−1).
b) Dresser un “triangle de Pascal” des coefficients Sp
npour n, p inférieurs à 6.
4. Application. Dans un (in)certain pays, chaque fois que l’on implante une grande surface
de chez LARNAC, les dirigeants doivent verser un dessous de table à l’un des quatre partis
de la coalition au pouvoir. Chaque parti de la coalition touche au moins un dessous de
table. LARNAC a décidé d’implanter 6grandes surfaces dans ce merveilleux pays. Combien
y a-t-il de répartition possibles des 6pots-de-vins ?
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