2 année niveaux normal et avancé

ORRM/conférence des PG SisCompétencesMinimales2.doc, vers. 2.07.09 p.1/12
GENEVE – Collège Sismondi
MATHEMATIQUES – 2e année niveaux normal et avancé
COMPETENCES MINIMALES - EXEMPLES
Thème algèbre
Polynômes
Addition et multiplication de polynômes, détermination du degré
Ex Soit les polynômes A(x) = x4 - 8x3 + 5x2 + 3x – 5 ; B(x) = x2 – 3 et C(x) = 3x3 - 2x + 10.
a) Calculer le polynôme D(x) = 3A(x) – 2(B(x) – C(x))
b) Déterminer le degré des polynômes suivants E(x) et F(x) définis ci-dessous :
i) E(x) = A(x) – 2.B(x) ii) F(x) = A(x) - (B(x))2
c) Déterminer le coefficient de x4 du polynôme G(x) = A(x).B(x) (sans calculs inutiles).
Division euclidienne de polynômes (division avec reste et schéma de Horner)
Ex Ecrire lʼégalité fondamentale de la division euclidienne de P(x) par T(x) en utilisant la méthode
de votre choix
a) P(x) = x3 - x2 + x + 4 T(x) = x - 3
b) P(x) = 4x5 +3x3 – 2x2 – 3x + 5 T(x) = 2x2 – 3x + 1
c) P(x) = x5 - a5 T(x) = x + a (avec a ∈ R)
Evaluation dʼun polynôme
Ex Evaluer P(x) pour les valeurs de x fixées en utilisant le schéma de Horner, lorsquʼil nʼest pas
possible de trouver le résultat mentalement.
P(x) = 5x4 + 6x3 - 5x2 + 4x - 4 x = -2 x = 0 x =
!
1
2
Détermination des racines rationnelles dʼun polynôme
Ex Soit P(x) = 18x4 - 27x3 + x2 + 12x - 4
a) Déterminer le nombre maximal de racines de P(x) et toutes les racines rationnelles possibles.
b) Déterminer les racines de P(x) ?

ORRM/conférence des PG
SisCompétencesMinimales2.doc, vers. 2.07.09 p.2/12
Factorisation des polynômes
Ex Factoriser les polynômes P(x) et Q(x) suivants :
a) P(x) = x3 - x2 - 14x + 24
b) Q(x) = 6x4 + 5x3 - 16x2 - 9x - 10
Résolution dʼéquations polynomiales
Ex Résoudre les équations suivantes :
3x3- 4x2+ 3x - 4 = 0
8x4 - 16x3 - 26x2 + 4x + 6
Fractions rationnelles
Détermination du domaine de définition ; simplification
Addition, soustraction, multiplication et division de fractions rationnelles
Ex
1) Déterminer le domaine de définition et simplifier les fractions rationnelles suivantes :
!
x2"x"2
x2"5x +6
!
18x4"9x3"14x2+3x +2
36x4"55x2"35x "6
2) Effectuer :
!
x2"5
xy2#2xy x2"4x +4
!
x2"5x +6
x2+7x "8
:9"x2
64 "x2
!
1
a"b+1 a+b
!
1
3x 2"27
"1
x"3
Résolution dʼéquations et dʼinéquations constituées de fractions rationnelles
Ex Résoudre les équations et inéquations suivantes :
!
4
x+x x+1=x2
x2+x
!
7
x"3"4 x"5=3 x+1
!
x2"x"2
2x "x2
≤ 0
!
3x +5
2x "1>0
Tableau des signes

ORRM/conférence des PG
SisCompétencesMinimales2.doc, vers. 2.07.09 p.3/12
Thème fonctions
Composition et décomposition de fonctions
Composition de fonctions, détermination du domaine de définition
Ex
1) Soit les 3 fonctions f, g, h et k définies par i(x) = x, g(x) = 3 – x, h(x) =
!
1
x
et k(x) =
!
x2"4x "5
.
a) Déterminer les fonctions suivantes :
!
goh
,
!
hog
,
!
hokog
b) Démontrer que
!
hoh=i
Décompositions en fonctions élémentaires
Ex
1) Ecrire sous forme de composée de fonctions élémentaires les fonctions suivantes définies par
leurs images:
f(x) =
!
1"x2
g(x) =
!
x2+4x +3
h(x) =
!
2
x"1
Fonction réciproques
Détermination de la réciproque ( « méthode directe » et décomposition en fonctions simples)
Ex
1) Soit les fonctions suivantes définies par leurs images :
f(x) = 2x - 5 g(x) =
!
x"2
h(x) =
!
3+2
x
a) Ecrire les fonctions f,g, et h définies ci-dessus comme composée de fonctions élémentaires
b) Représenter ces fonctions.
c) Déterminer les ensembles A et B maximaux pour quʼelles soient des bijections de A vers B.
d) Déterminer les fonctions réciproques des fonctions ci-dessus et les représenter.
2) Soit les fonctions f et g définies par f(x) =
!
3x "2
x+4
et g(x) =
!
2x2+8x "3
a) Déterminer les ensembles A et B maximaux pour quʼelles soient des bijections de A vers B.
b) Déterminer la fonction réciproque de f par la « méthode directe » (x = …)
c) Déterminer la fonction réciproque de g en utilisant la décomposition de fonctions
élémentaires.

ORRM/conférence des PG
SisCompétencesMinimales2.doc, vers. 2.07.09 p.4/12
Fonctions polynomiales
Esquisse et reconnaissance de graphiques
Ex
1) Déterminer le polynôme de degré 3 dont le graphe est donné ci-dessous.
54321012345
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
54321012345
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
Fonctions homographiques
Esquisse et reconnaissance de graphiques, asymptotes verticales et horizontales
Ex
1) Soit les trois fonctions
f1: x a
!
1
x
+ 3 f2 : x a
!
1
3+x
f3 : x a -
!
1
x
+ 2
a) A l'aide du calcul de ad - bc, dire si elles sont croissantes ou décroissantes sur les
intervalles où elles sont définies
b) Tracer les trois graphiques sur trois repères différents et contrôler les réponses données ci-
dessus (Calculer plusieurs points dont les intersections avec les axes).
2) Soit la fonction f définie ainsi : :
f: x a
!
2x "3
x+2
a) Déterminer le domaine de définition et les intersections avec les axes (zéros, ordonnée à
lʼorigine)
b) Déterminer toutes les asymptotes de f
c) Déterminer les ensembles de départ et dʼarrivée maximaux afin que f soit bijective.
d) Déterminer la réciproque de f
e) Sur un repère orthonormé, tracer la fonction f en noir et sa réciproque en rouge.

ORRM/conférence des PG
SisCompétencesMinimales2.doc, vers. 2.07.09 p.5/12
Fonctions exponentielles
Définition et propriétés
Ex
1) Ecrire les réels suivants sous forme décimale
!
1
16
"
#
$ %
&
'
(1
4
!
8
2
3
(0,02)-1
!
3
3
4
"
#
$
$
%
&
'
'
8
3
2) Simplifier l'écriture :
!
a
1
2"a3.a+2 3
a#1
2"a#1 3.a2
!
x y3
3
:
!
y x
3
3) Rendre rationnel le dénominateur des fractions :
!
2
5+3
!
3+3 2
2 3 "2
Esquisse et reconnaissance de fonctions exponentielles.
Ex
1) Déterminer lʼexpression des fonctions f et g dessinées ci-dessous.