Mécanique du solide

313
Chapitre 6
Mecanique du solide
6.1 Rappels de cours
6.1.1 Cinematique du solide.
Denition du solide.
Un solide est un corps qui ne peut subir aucune deformation. Les dierents
points d'un solide restent ainsi a des distances xes les uns des autres.
La position d'un tel corps est completement determinee par la connaissance
de six variables, appelees degres de liberte. Ce sont par exemple les trois coordonnees de son centre de gravite et trois angles reperant son orientation (cf.
probleme 6.3.2).
Torseur cinematique, vitesse instantanee de rotation.
Les vitesses de deux points M et P d'un m^eme solide, en mouvement par
rapport a un referentiel R, sont liees par la relation vectorielle
!^ !
~v(M ) = ~v (P ) + MP
;
ou !
est un vecteur, appele vitesse instantanee de rotation du solide, qui ne
depend que du temps.
Cette relation entre les vitesses des dierents points d'un solide permet de
denir le torseur cinematique, ou torseur des vitesses, que nous noterons (V ) :
(V ) =
(!
~v (M ):
Dans le cas particulier de la rotation
autour d'un axe xe de directeur ~k (z
!
sur la gure suivante), le vecteur prend une valeur simple en fonction de la
vitesse angulaire de rotation autour de l'axe (d=dt) :
314
Chapitre 6
z; z 0
!
= d ~k:
dt
y0
x
y
x0
En pratique, le mouvement de rotation du solide est decompose en une succession de rotations par rapport a des axes connus, de directeurs ~ki et auxquels
sont associees les vitesses angulaires di =dt ; dans ces conditions on obtient
comme vecteur vitesse instantanee de rotation du solide S
X di ~
!
k:
(S =R) =
i
dt
i
Dans le cas du passage d'un referentiel R a un referentiel R0 , la vitesse instantanee de rotation de S se transforme comme suit :
!
(S =R0 ) = !
(S =R) + !
(R=R0 ):
Exemple : considerons un disque de centre O et de rayon R en rotation a la
vitesse angulaire ! autour d'un axe perpendiculaire au disque passant par O.
Les denominations des axes etant choisies
comme sur la gure precedente, la
vitesse instantanee de rotation!s'ecrit !
= ! ~k. Soit maintenant M le point
de la circonference tel que OM = R ~x 0 . La vitesse du point O etant nulle,
l'application du torseur des vitesses entre M et O donne
! = R ! y~ 0 :
~v(M ) = !
^ OM
On retrouve qu'un point de la circonference est anime d'une vitesse de module
R!.
Cinematique du contact, vitesse de glissement
Soient S et S 0 deux solides et R0 , R et R0 trois referentiels dont le premier
est xe, lie a l'observateur et les deux suivants sont eux lies respectivement a
S et S 0 (gure 6.1).
315
Mecanique du solide
S0
S
R0
R
R0
IR
IR0
I
Fig. 6.1 - Glissement entre deux solides.
On appelle vitesse de glissement ~u de S 0 par rapport a S la vitesse du point
de contact I lie a S 0 , mesuree dans le referentiel lie a S :
~u(S 0 =S ) = ~v(IR0 =R):
De la formule de composition des vitesses, on obtient
~v(IR0 =R0 ) = ~v(IR0 =R) + ~v(IR =R0 );
soit pour la vitesse de glissement l'expression equivalente :
~u(S 0 =S ) = ~v(IR0 =R0 ) ~v(IR =R0 ):
Si ~u 6= ~0, on dit qu'il y a glissement des deux solides l'un par rapport a l'autre
et le vecteur ~u appartient alors au plan () tangent en I et commun aux deux
solides (gure 6.2).
S0
!n
~n
I
!t
S
Fig. 6.2 - Roulement et pivotement de deux solides.
316
6.2
Chapitre 6
Decomposons le mouvement de rotation suivant les notations de la gure
!
(S 0 =S ) = !
n+ !
t:
!
n , la composante normale au plan () du vecteur !
est associ
! ee a un mouve-
ment de pivotement, alors que la composante tangentielle t est, elle, associee
au roulement.
Exemple : l'expression de la vitesse de glissement entre deux solides permet
de retrouver rapidement les relations entre les vitesses angulaires de deux
engrenages. On considere les deux engrenages C et C 0 de la gure suivante :
y
z
C
x
C0
Leurs vecteurs rotation instantanee respectifs sont !~z et !0~z. Soit I le
point de contact. La relation de non glissement entre les engrenages implique
que ~v(I 2 C ) = ~v(I 2 C 0 ), ce qui se traduit, compte tenu du calcul deja
eectue au paragraphe precedent, par : R! y~ = R0 !0 ( y~). Les engrenages
tournent bien en sens opposes, le plus petit eectuant la rotation a la plus
grande des vitesses angulaires.
6.1.2 Cinetique du solide.
Centre de gravite, referentiel barycentrique.
Dans le cas d'un ensemble discret de masses : (mi ; Ai ), le centre de gravite
est deni au moyen de la formule
X !
mi OAi
!
i
OG = X
;
i
mi
ou O est un point arbitraire. Cette denition se generalise a une distribution
continue de masse
Z
! = M 2SZ
OG
S
! dm
OM
dm
:
317
Mecanique du solide
Pour une distribution volumique, l'element de masse contenu dans un element
de volume d autour d'un point M de S est dm = (M ) d , ou est la masse
volumique du solide.
Exemple : on cherche a calculer la position du centre de gravite d'un disque
homogene (de centre O, de rayon R et de masse surfacique ), perce d'un
trou circulaire de rayon R=2 dont le centre O0 est a la distance R=2 de O. Le
calcul direct est fastidieux, alors que la propriete d'associativite du barycentre
donne le resultat plus simplement. Le systeme est identique a la somme de
deux sous systemes : un disque plein de rayon R et de masse m1 = R2 et
un disque de rayon R=2 et de masse m2 = R2=4 (l'equivalence est bien
entendu mathematique, une masse ne pouvant ^etre negative). Le centre de
gravite de l'ensemble est le centre de gravite des barycentres partiels aectes
de la masse totale de leurs sous-ensembles, a savoir (O; m1 ) et (O0 ; m2 ). Ainsi,
pour tout point A,
!
!
! + m2 AO0 = (m1 + m2 )AG:
m1 AO
! = OO!0 =3.
On peut choisir A = O, d'ou : OG
On denit le referentiel barycentrique RG comme le referentiel d'origine G
dont les axes sont paralleles a ceux de R0 (referentiel de l'observateur ou du
laboratoire) ; ce referentiel n'est donc pas lie au solide, ses axes ne tournant pas
avec ce dernier.
Torseur cinetique, theoreme de Knig.
Soit un solide S de masse volumique et un referentiel R. On denit le
torseur cinetique de S dans R par
Z
8!
>
< P (S =R) = M 2S ~v(M=R) d
Z
(C ) = >
! ^ ~v(M=R) d;
: ~A (S =R) =
AM
M 2S
ou la resultante !
P est la quantite de mouvement de S dans R et ~A le moment
cinetique en A de S dans R.
En utilisant la denition du centre de gravite G, on montre que
!
P (S =R) = m~v(G=R):
Il s'ensuit que la quantite de mouvement du solide S dans son referentiel barycentrique est nulle.
De la relation de denition des torseurs, on deduit que
!^ !
~A (S =R) = ~G (S =R) + AG
P (S =R):
La relation de composition des vitesses entre R et RG qui est en translation
par rapport a R nous donne
~v(M=R) = ~v (M=RG ) + ~v(Mlie a RG =R)
= ~v (M=RG ) + ~v(G=R):
318
Chapitre 6
Finalement on trouve ainsi que
~G (S =R) = ~G (S =RG );
qui lorsqu'on utilise la relation des torseurs donne le theoreme de Knig du
moment cinetique
!^ !
~A (S =R) = ~G (S =RG ) + AG
P (S =R):
Rotation autour d'un axe xe .
On denit le moment cinetique de S par rapport a l'axe de vecteur
directeur ~u par
= ~A ~u;
ou A est un point de ; est independant du choix de A.
On denit de m^eme le moment d'inertie de S par rapport a l'axe au
moyen de
Z
J = r2 dm;
S
ou r represente la distance a l'axe du point courant de S . Une fois le moment
d'inertie ainsi deni, on trouve que le moment cinetique par rapport a a pour
expression
= J !;
! etant la vitesse angulaire de rotation autour de .
Dans le cas ou est situe a une distance a de G, le theoreme de Huygens
permet d'ecrire
J = JG + ma2 ;
avec JG moment d'inertie de S par rapport a l'axe G parallele a et passant
par G (voir les problemes 6.3.1 et 6.3.2).
Exemple : moment d'inertie d'une sphere pleine homogene de rayon R et
de masse m par rapport a un de ses diametres .
Z
Z
Z
J = (x + y ) dm = (x + z ) dm = (y2 + z2 ) dm:
2
2
S
2
2
S
S
En sommant les trois expressions precedentes, il vient
Z
3J = 2 (x + y + z ) dm = 2
S
2
2
2
Z
S
r2 dm;
ou r est la variable radiale des coordonnees spheriques (cf. chapitre 10). Soit
la masse volumique de la sphere ( = 3m=(4R3 ))
Z
ZR
2
2
2
J = 3 r dv = 3 r2 4r2 dr = 52 m R2 :
0
S
319
Mecanique du solide
6.1.3 Actions agissant sur un solide.
Soit un systeme mecanique ; on distingue deux types d'eorts s'exercant
sur : les eorts exterieurs et les eorts interieurs a .
Un eort est dit interieur a un systeme s'il s'exerce entre deux elements
de celui-ci.
Torseur des eorts.
Soit l'ensemble ( F!; M ) des eorts F! exerces sur le systeme considere et
i
i
i
de leurs points d'application Mi . On denit le torseur (F ) des eorts exerces
sur par
8 ! X!
>
>
< R = i Fi
(F ) = > ! X ! !
>
: A = AMi ^ Fi ;
i
!
avec R la resultante des eorts exerces sur et !A le moment resultant en A.
D'apres le principe, enonce par la suite, des actions reciproques, le torseur
des eorts interieurs est nul ; on ne considere donc que les eorts exterieurs
lors du calcul de (F ). Notons que la denition du torseur des eorts peut
se generaliser dans le cas de forces volumiques ou, fait plus rare, de couples
volumiques |en magnetisme par exemple.
Parmi les forces et couples exterieurs, on distingue deux categories: les
forces ou couples donnes, dont la valeur ou l'expression est connue a priori (la
force de pesanteur, la force de rappel d'un ressort, le couple de torsion ou le
couple resistant) et les forces et couples de contact ou de liaison ; seule cette
deuxieme categorie rajoute des inconnues au probleme mecanique a resoudre.
Actions de contact.
!
R
S
!
I
I
S0
Fig. 6.3 - Eort et couple des actions de contact.
320
Chapitre 6
Dans le cas d'une liaison ponctuelle, en I , entre deux solides S et S 0 , le
contact engendre une action de S 0 sur S de torseur
8
<
(Fc ) = :
!
R
!:
I
Remarquons que pour un contact rigoureusement ponctuel, le moment !I devrait ^etre nul. Dans la pratique cependant, il y a un ecrasement local des deux
solides autorisant l'existence d'un moment.
La modelisation garde donc une description en terme de contact ponctuel,
tout!en autorisant
l'existence d'un moment.
R et !I peuvent ^etre decomposes en composante tangentielle (appartenant
au plan tangent de contact (), cf. gure 6.3) et normale
8! ! !
< R =N +T
: !I = !In + !It ;
la signication de chacune des composantes etant alors :
{
{
{
{
! s'oppose a la penetration des deux solides ;
N
!
T s'oppose au glissement des deux solides ;
! s'oppose au pivotement des deux solides ;
In
! s'oppose au roulement des deux solides.
It
Lois empiriques du frottement : lois de Coulomb.
{ Lois du frottement de glissement :
en presence de frottements, si le glissement entre les solides S et S 0 est
nul (~u(S =S 0 ) = ~0), alors il existe entre les composantes normale et tangentielle de l'eort de contact la relation
k!
Tk <f ;
s
!
kN k
ou fs est appele coecient de frottement de glissement statique. Si maintenant les deux solides glissent l'un par rapport a l'autre cela devient
8
>
>
<
>
>
:
k!
Tk =f
d
!
kN k
!
T est oppose au glissement c'est-a-dire a ~u(S =S 0 ):
fd se nomme coecient de frottement de glissement dynamique et verie
fd < fs .
321
Mecanique du solide
{ Lois du frottement de roulement et de pivotement :
! (respectivement ! ), en remplail existe!des !
lois analogues
pour
In
It
!
!
!k) et en
cant k T k=k N k par k In k=k N k (resp. k !It k=k N
introduisant
les coecient s et d (resp. s et d). La vitesse de glissement ~u est
quant a elle !
remplacee par la vitesse instantanee de pivotement (resp. de
roulement) n (resp. !
t ).
6.1.4 Dynamique du solide.
Torseur dynamique, principe de la dynamique.
Soit un solide S de masse volumique et un referentiel R. On denit le
torseur dynamique de S dans R par
8 ! Z
> R =
~a(M=R) d
<
ZM 2S !
>
: ~A =
AM ^ ~a(M=R) d;
(D) = >
M 2S
ou ~a(M=R) est l'acceleration du point M dans le referentiel R. Le principe de
la dynamique s'enonce comme suit :
dans un referentiel R galileen, et pour tout systeme materiel ferme, le torseur
des eorts exterieurs est egal au torseur dynamique :
(D) = (Fext. ):
(1)
Principe des actions reciproques.
(FS!S0 )
(Fext.!S )
S0
S
(Fext.!S 0 )
(FS 0 !S )
Fig. 6.4 - Actions reciproques entre deux solides.
Le principe de la dynamique applique dans le referentiel R galileen, successivement aux systemes S , S 0 et (S + S 0 ) denis gure 6.4 donne
8 (D ) = (F 0 ) + (F
>
S !S
ext.!S )
< S
(D 0 ) = (F 0 ) + (Fext.!S 0 )
>
: (DSS+S0 ) = (FS!S
ext.!S ) + (Fext.!S 0 ):
322
Chapitre 6
Comme de plus le torseur dynamique du systeme total est egal a la somme du
torseur dynamique de S et de celui de S 0 on aboutit au principe des actions
reciproques
8!
< R S!S0 = !
R S 0 !S
, :!
! 0 :
A(S!S 0 ) =
A(S !S )
(FS!S 0 ) = (FS 0 !S )
Theoremes de la dynamique.
L'egalite (1) implique l'egalite entre les resultantes des deux torseurs a savoir
!
R
ext.
Z d~v
= dt d
S Z
d
= dt
P (S =R);
~v d = dtd !
S
d'ou l'expression du theoreme de la resultante dynamique
R) !
m d~v(G=
dt = R ext.:
(2)
La deuxieme relation donnee par (1) est l'egalite des moments des deux
torseurs en un point xe A de R
~A = !A ext.;
ce qui peut se reecrire pour donner le theoreme du moment cinetique en un
point xe de R
d
!
(3)
dt ~A (S =R) = A ext.:
Il est possible gr^ace au theoreme de Knig du moment cinetique d'obtenir une
formule derivee de (3) concernant le point G dans le referentiel barycentrique
d
!
dt ~G (S =RG ) = G ext.:
(4)
Dans le cas important de la rotation par rapport a un axe xe (de
directeur ~u) de R, il vient par projection de (3) sur ~u
d
dt (S =R) =
ext. ;
(5)
ou (S =R) = ~A (S =R) ~u et ext. = !A ext. ~u. De m^eme a partir de (4) dans
le cas d'un axe G , passant par G et de direction xe dans R
d (S =R ) =
G
dt G
G ext. :
323
Mecanique du solide
6.1.5 E nergie cinetique, travail des actions mecaniques.
E nergie cinetique et theoreme de Knig.
L'energie cinetique d'un solide S dans un referentiel R est denie par
Ecin.(S =R) =
Z
M 2S
1 2
2 v (M=R) dm:
Le theoreme de Knig de l'energie cinetique permet de separer deux contributions a cette energie, une de translation de G dans le referentiel R et une
autre de rotation dans le referentiel barycentrique :
Ecin.(S =R) = 12 mv2 (G=R) + Ecin.(S =RG ):
Dans le cas particulier de la rotation par rapport a un axe xe dans le
referentiel R0 considere (qui peut ^etre RG ) on obtient
Ecin.(S =R0 ) = 12 J !2 ;
avec ! vitesse angulaire de rotation autour de , et J moment d'inertie par
rapport a .
Exemple : energie cinetique d'un cerceau circulaire de rayon R, qui roule
sans glisser sur un plan. Le theoreme de Knig permet d'ecrire Ecin. =
(mv2 + J!2 )=2, ou m est la masse de la roue et J son moment d'inertie par
rapport a son axe. Tous les points de la roue etant situes a la distance R de
l'axe, l'integrale denissant J se calcule directement : J = mR2 . La traduction
de l'absence de glissement entre la roue et le sol permet quant a elle d'ecrire
v = R! d'ou l'energie cinetique totale de la roue : Ecin. = mv2 .
Theoreme de l'energie cinetique.
Soit un systeme , soumis a des eorts F!i de points d'application Mi . La
puissance des eorts exerces sur vaut
P=
X!
i
Fi ~v(Mi =R):
Cette denition se generalise directement dans le cas d'une distribution continue d'eorts.
Attention, les eorts interieurs contribuent de facon non nulle a cette puissance. Ils doivent donc ^etre pris en compte au m^eme titre que les eorts exterieurs lors du bilan energetique. Dans R galileen le theoreme de l'energie
cinetique s'enonce
dEcin.(S =R) = P + P
, dE (S =R) = W + W ;
dt
ext.
int.
cin.
ext.
expression similaire au premier (( principe )) de la thermodynamique.
int.
324
Chapitre 6
Forces derivant d'une energie potentielle ; energie mecanique.
Une force f~ derive d'une energie potentielle s'il existe une fonction E
des coordonnees des points du systeme S telle que :
ce qui peut encore s'ecrire
pot.
!E ;
f~ = grad
pot.
Wf~ = dEpot. :
Il est important de noter que le travail d'une force derivant d'une energie potentielle ne depend pas du chemin suivi mais uniquement des points de depart
et d'arrivee; c'est ce qui la distingue fondamentalement d'une force dissipative
(force de frottement par exemple).
Exemple : la force elastique f~ = kx~ex est une force conservative. En eet
2
! 1 kx2 + Cte :
2 + Cte) ~e = grad
kx~ex = d(kx =dx
x
2
La force elastique derive donc d'une energie potentielle Epot. = kx2 =2 + Cte.
Comme le potentiel en electrostatique, une energie potentielle est denie a
une constante arbitraire pres.
On denit l'energie mecanique d'un systeme comme la somme de son energie
cinetique et de son energie potentielle. Dans le cas de systemes pour lesquels
les forces ne derivant pas d'une energie potentielle ne travaillent pas (systemes
dits conservatifs), on a
dEcin. = dEpot.
, dEmeca. = 0:
Puissance des eorts exerces sur un solide.
De la denition de la puissance des eorts exerces sur un systeme , dans le
cas particulier du solide, on trouve que quel que soit le point A xe par rapport
au solide S ,
P=!
R ~v (A=R) + !A !
:
En particulier dans le cas d'une force de liaison entre S et un solide S0 xe
dans R
P = R!l ~v(I=R) + !I !
:
Enn, dans le cas general d'une force de contact entre deux solides S et S 0 en
mouvement par rapport a R
P=!
R S 0 !S ~u(S =S 0 ) + !S 0 !S !
(S =S 0 ):
Dans le cas particulier de la puissance exercee par un couple de moment !
sur un solide en rotation autour d'un axe xe , on obtient
P=
d
dt :
325
Mecanique du solide
6.2 Exercices
6.2.1 Pendule pesant
Duree 15 min
Un solide S oscille (gure 6.5) sans frottements autour d'un axe horizontal
|on parle de liaison rotode parfaite. On note J le moment d'inertie de S
par rapport a , M!sa masse,
distance entre son centre de gravite G et !), Ox
!a elatant
et enn l'angle (Ox; OG
dirige vers le bas.
~u
~ur
y
a
G
S
x
Fig. 6.5 - Oscillations du pendule pesant.
1. Determiner l'equation dierentielle du premier puis du second ordre veriee par (t).
2. Determiner la reaction !
R de l'axe sur le solide S . Examiner le cas
particulier du pendule simple.
3. Donner la periode des oscillations de faible amplitude autour de = 0.
Solution
1. Le solide S est sousmis a l'action de son poids et de la force exercee par
l'axe . La liaison entre ces deux elements etant parfaite, le travail de l'eort
associe est nul et le systeme considere est donc conservatif. Cela signie que son
energie mecanique, somme de son energie cinetique et de son energie potentielle
(de pesanteur ici) est une constante du mouvement :
Em = 12 J _2 Mga cos = Cte :
326
Chapitre 6
La valeur de la constante est determinee usuellement par le biais des conditions
initiales. La derivation par rapport au temps de cette relation nous fournit
l'equation dierentielle du second ordre veriee par (t)
J  = Mga sin ;
equation qui peut aussi s'obtenir directement au moyen du theoreme du moment cinetique par rapport a l'axe .
2. La relation fondamentale de la dynamique, appliquee au solide S dans le
referentiel xe du laboratoire, s'ecrit
R !S + !
P;
M d~dtvG = !
relation qui devient, en projetant sur la base mobile (~ur ; ~u ) :
_2
a
M 
a
R
= r
R
Mg cos + Mg sin :
En substituant pour _2 et  les expressions trouvees en 1., on obtient nalement
comme composantes de la reaction de l'axe
Rr = 2Ma
J (Em + Mgacos ) Mg cos R = Mg sin 1 Ma2 :
J
Dans le cas particulier du pendule simple, le moment d'inertie J vaut Ma2
et la reaction de l'axe appara^t purement radiale.
3. Dans le cas d'oscillations de faible amplitude autour de la position = 0,
l'equation du second ordre veriee par se reduit par un developpement limite
a
J  ' Mga
et le mouvement est alors sinusodal de pulsation
!2 = Mga
J :
L'expression de la periode des petites oscillations est donnee par
s
J :
T = 2 Mga
327
Mecanique du solide
6.2.2 Propulsion par frottement...
Duree 15 min
On considere un ensemble (gure 6.6) constitue par un support A, mobile
sans frottements sur le sol, et par un palet B , pose sur A. Le mouvement entre
A et B s'eectue quant a lui avec frottements. A l'instant initial, on imprime
une vitesse v0 au palet B .
1. Determiner l'etat nal du systeme.
2. Discuter le bilan energetique des systemes (A + B), (A) et (B).
y
~v0
B
A
x
11111111111111111
00000000000000000
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
R0
Fig. 6.6 - Palet sur un support mobile.
Solution
1. En l'absence de frottements entre le sol et le support A, la relation
fondamentale de la dynamique appliquee au systeme (A + B ) dans le referentiel
xe R0 s'ecrit
d~p = X !
F
dt
ext.
! :
= (mA + mB )~g + N
Sol!A
En consequence, la composante horizontale px de la quantite de mouvement du
systeme total est constante au cours du temps.
De plus, dans l'etat nal, le palet aura cesse de glisser sur le support A et
ces deux elements auront donc m^eme vitesse v dans R0 , d'ou l'egalite
v = m m+Bm v0 :
A
B
,
mB v0 = (mA + mB )v
2. Soit ~u(B=A) = ~v(B=R0 ) ~v(A=R0) la vitesse de glissement de B par
rapport a A, mesuree dans R0 . Le theoreme de l'energie cinetique applique
dans ce m^eme referentiel au systeme total s'ecrit
Ecin. = Wext. + Wint.
=
nal
Z
0
Pint. dt;
328
Chapitre 6
ou la puissance des eorts interieurs (la force de frottement entre A et B ) vaut
Pint. = !
R A!B ~u(B=A):
De plus, la variation d'energie cinetique s'ecrit :
Ecin. = 21 (mA + mB )v2 12 mB v02
= 21 mmA+mmB v02 < 0:
A
B
Le systeme total a perdu de l'energie, dissipee sous forme de chaleur par la
force de liaison entre A et B .
Si maintenant on applique le theoreme de l'energie cinetique au support A
dans le referentiel xe R0 , il vient
Ecin. = Wext.
=
=
nal
Z
0
!
R
B !A ~v (A=R0 )dt
nal
Z
0
!
R
A!B ~v (A=R0 )dt:
Ces deux membres sont positifs et il appara^t que le support A a ete entra^ne
par la force de frottement (Ecin. = mA v2 =2).
Pour le palet B , la perte d'energie cinetique est due aux frottements sur le
support ; ces derniers sont donc a l'origine d'une perte nette d'energie pour le
systeme total, dissipee sous forme de chaleur, mais aussi d'une redistribution
de l'energie cinetique entre le palet B et le support A.
6.2.3 Si j'avais un cerceau
:::
Universite de Paris Val de Marne
Duree 1 h
Une barre homogene AB , de masse m et de longueur b, glisse sans frottement
sur un plan horizontal xe, ce dernier etant rapporte a deux axes xes Ox, Oy.
L'extremite A glisse sans frottement sur une circonference de centre O et de
rayon a, et l'extremite B est attiree par le point xe O en raison inverse du
carre de sa distance r a O, l'attraction ayant pour intensite :
m k2 a3 ou k2 designe une constante:
r2
On pose, voir gure 6.7
m = 1; (Ox; OA) = ; (OA; AB ) = :
329
Mecanique du solide
Les valeurs initiales de ces angles et celles de leurs derivees sont nommees
0 ; _0 ; 0 ; _0 .
B
y
r
O
b
a A
x
Fig. 6.7 - Denition des principales grandeurs
1. Montrer que l'energie cinetique de la barre peut s'ecrire:
2T =
a2 +
b2 + ab cos _ 2 + 2b2 + ab cos __ + b2 _2 :
3
3
3
2. Donner l'expression de l'energie potentielle U = U ().
3. Le probleme comporte une particularite geometrique dont on precisera
la nature. Montrer qu'elle se traduit par une integrale premiere d'expression :
b2
2
a2 + 3 + ab cos _ + b3 + ab
cos
_ = Cte :
2
4. Le probleme comporte une autre integrale premiere. En donner l'expres-
sion.
5. En deduire l'equation dierentielle donnant _2 en fonction de . On
constatera qu'elle peut se mettre sous la forme :
g() _2 = f ()
ou g() est une fonction positive. Discussion.
330
Chapitre 6
Solution
Dans tout l'exercice, on se place dans un referentiel (R) que l'on supposera
galileen. Sans autre precision, les calculs seront eectues dans ce referentiel
(R).
1. Pour calculer l'energie cinetique de la barre, sommons les energies cinetiques elementaires de chaque element de longueur :
Z
Zb
1
1
2
T=2
[~v(M )] dm = 2 [~v(M )]2 m dx
b;
barre
0
ou x designe la position du point M sur la barre (x = 0 lorsque M est le point
A et x = b pour M = B ). Le champ de vitesse ~v(M ) de la barre est celui d'un
solide, ce qui signie :
!
~v (M ) = ~v (A) + !
^ AM
ou !
designe le vecteur rotation de la barre. Celui-ci a pour expression :
!
= (_ + _) ~u
z
avec ~uz unitaire servant a denir le triedre direct (~ux ; ~uy ; ~uz ). La position de
la barre AB est en eet denie sans ambigute par la donnee de la position du
point A et de l'angle + .
Il est commode de denir les vecteurs unitaires ~u et ~u associes aux rotations d'angles respectifs et (voir la gure 6.8). Ces vecteurs sont (( mobiles )) :
~u est orthogonal a la droite (OA) et ~u est orthogonal a (AB ) ; le triedre
(~u ; ~u ; ~uz ) est direct, norme, mais pas orthogonal. La vitesse d'un point M de
la barre peut maintenant s'ecrire sous la forme :
~v(M ) = ~v(A) + (_ + _ ) x ~u = a _ ~u + (_ + _ ) x ~u :
L'energie cinetique devient :
Z bh
i
a2 _ 2 + (_ + _)2 x2 + 2a _ (_ + _ ) x (~u :~u ) dx
b:
0
Par ailleurs, d'apres la denition des vecteurs ~u et ~u , on a
2T = m
~u :~u = cos en vertu de quoi,
2T = m
2
a2 + b
2
2
_ 2 + 2b + ab cos __ + b _2 :
+
ab
cos
3
3
3
Nous avons garde explicitement la masse m au lieu de poser m = 1 comme le
suggere l'enonce. Cela permet de verier l'homogeneite des formules obtenues.
331
Mecanique du solide
~u
B
y
M
~u
O
A
x
~uz
Fig. 6.8 - Vecteurs unitaires associes aux dierentes rotations
Remarque : le resultat precedent peut se retrouver a l'aide du second theoreme de Ko enig qui precise que l'energie cinetique d'un solide est la somme de
l'energie cinetique de son centre de masse et de son energie cinetique T dans
le referentiel barycentrique :
T = 21 m vG2 + T :
Le centre de masse G de la tige se trouve au milieu du segment [A; B ]. Sa
vitesse a pour expression :
d'ou
~v (G) = ~v(A) + (_ + _ ) 2b ~u = a _ ~u + (_ + _ ) 2b ~u
v2 (G) = _ 2
a2 +
b2 + ab cos + _2 b2 + _ _ ab cos + b2 :
4
4
2
Par ailleurs, le mouvement de la barre dans son referentiel barycentrique est
un mouvement de rotation a la vitesse angulaire (_ + _) autour de l'axe (G; ~uz )
xe dans le referentiel barycentrique : l'energie cinetique barycentrique s'ecrit
2
T = 12 J _ + _ ;
ou J est le moment d'inertie de la barre par rapport a l'axe de rotation (G; ~uz ).
Par denition :
Z b=2
b2 :
J=
x2 dm = m 12
b=2
332
Chapitre 6
Ainsi,
2T = m
a2 +
b2 + ab cos _ 2 + 2b2 + ab cos __ + b2 _2 :
3
3
3
2. La tige est soumise a quatre forces. Le poids de la barre et la reaction
du plan horizontal se compensent puisque le mouvement est horizontal dans
le plan (xOy). Au point A, s'exerce la reaction de l'anneau mais cette force
est toujours orthogonale au deplacement du point A puisqu'il n'y a pas de
frottements : elle ne travaille pas. Le point B ressent la force centrale :
!
2 3 !
2 a3 OB :
=
m
k
f~ = m kr2 a BO
BO
OB 3
Cette force est independante de (elle est invariante par une translation sur
la variable : ! + Cte ). Il en sera de m^eme pour le potentiel U duquel elle
derive suivant :
! U:
f~ = grad
Celui-ci a pour expression :
3
U () = m k2 ar + Cte = m k2 p
a3
a2 + b2 + 2ab cos + Cte :
Le potentiel n'est deni qu'a une constante pres. Ce ne sont que ses variations
qui nous interessent.
3. Le systeme est soumis a un champ de force central (la reaction du support
en A et la force exercee en B sont toutes deux dirigees vers O). Comme dans
les problemes de gravitation et de mouvement des planetes, nous pouvons en
deduire que son moment cinetique se conserve. En eet, appliquons le theoreme
du moment cinetique par rapport a l'axe ~uz = ~ux ^ ~uy (normal au plan du
cercle) passant par le point O xe :
d~ (O) = X M
! (O):
dt
ext.
La derivee temporelle du moment cinetique est egale a la somme du moment
en O des forces exterieures a la barre.
X!
! ^ F! + OB
! ^ F! = !
Mext.(O) = OA
0
A
B
ou F!A (resp. F!B ) est la force exercee sur la tige au point A (resp. B ). Nous en
deduisons la conservation du moment cinetique. Calculons celui-ci :
~(O) =
Z
barre
= m
! ^ ~v(M ) dm
OM
Zb !
OM ^ ~v(M ) dx
b
0
b
= m a2 _ + (_ + _) 2 a cos + 2b a_ cos + 31 b2(_ + _) ~uz :
333
Mecanique du solide
Une integrale premiere du mouvement est donc :
a2 +
b2 + ab cos _ + b2 + ab cos _ = Cte = C
3
3 2
qui traduit la loi des aires pour la barre soumise a un systeme de forces centrales.
Remarque : pour calculer ~(O), nous aurions pu appliquer le premier theoreme de Ko enig :
! ^ m~v(G) + ~ ;
~(O) = OG
ou ~ est le moment cinetique calcule dans le referentiel barycentrique.
Dans le referentiel barycentrique, la barre est animee d'un mouvement de
rotation de vitesse angulaire (_ + _ ) autour de l'axe xe = (G; ~uz ), ce qui
permet d'ecrire :
2
_ _
~ = ~uz = mb
12 ( + ) ~uz :
Ce resultat peut se retrouver par un calcul direct plus fastidieux :
~ = ~ (G) =
=
=
Z
! ^ (~v(M ) ~v(G)) dm
GM
Zbarre! ! !
GM ^ ^ GM dm
! ! ! Z
GM 2 !
GM GM dm
m
! Z b=2
x2 dx b
b2 ~u :
= (_ + _ ) m 12
z
= Enn,
b=2
0 !
!1 OB
b
b
!
OA
_
_
_
A
@
OG ^ m~v(G) = m a OA + 2 OB ^ a ~u + ( + ) 2 ~u
2
= m a(_ + _ ) 2b cos + a2 _ + b4 (_ + _) + _ ab
2 cos :
ce qui redonne :
~(O) = m
a2 +
b2 + ab cos _ + b2 + ab cos _ ~u :
z
3
3 2
4. Le mouvement de la barre en A se fait sans frottement et la force subie par
le point B est conservative d'apres le resultat de la question 2. Par consequent,
l'energie mecanique Em de la barre se conserve :
T (; ) + U () = Em = Cte :
334
Chapitre 6
5. A l'aide de la relation etablie a la question 3. nous allons exprimer l'energie cinetique T en fonction de et _ uniquement. E crivons tout d'abord :
2T = b2 _2 + _ C + b2 + ab cos _ :
m 3
3 2
Puis, en remplacant _ par son expression obtenue a la question 3 :
2T a2 + b2 + ab cos = b2 a2 + b2 + ab cos _2 + C 2 b2 + ab cos 2 _2
m
3
3
3 2
a2b32 a2b2
2
2
= _2 3
4 cos + C
2 2
= _2 a12b 4 3 cos2 + C 2 :
De la conservation de l'energie mecanique Em , il vient :
(2T + 2U )
a2 +
Posons
b2 + ab cos = 2E a2 + b2 + ab cos :
m
3
3
2 2
g() = m a12b (4 3 cos ) ;
l'expression precedente devient :
2
2
g() _2 + mC 2 + 2 a2 + b3 + ab cos U () = 2Em a2 + b3 + ab cos :
Il est possible de la reexprimer sous la forme :
g() _2 = f () ;
ou
f () = 2 fEm U ()g
a2 +
b2 + ab cos 2
C :
3
E tant donne que cos < 1, nous pouvons armer que la fonction g est toujours
de signe strictement positif. Cela signie que si pour certains angles, f () prend
des valeurs negatives, ces angles ne correspondront jamais a une position de la
barre. Envisageons les deux cas possibles selon les conditions initiales :
8 2 [0; 2]; f () > 0. Alors la vitesse de rotation a pour expression
p
j_j = f=g 6= 0 pour tout et elle ne change jamais de signe : la barre tourne indeniment autour du
point A, toujours dans le m^eme sens, le point A etant lui-m^eme mobile
par rapport au cerceau.
335
Mecanique du solide
9 m 2 [0; 2] = f () 0. La fonction f etant continue, elle est negative
sur un intervalle [1 ; 2 ] contenant m et l'existence d'un intervalle [3 ; 4 ]
sur lequel f est positive est physiquement necessaire. Suivant la facon dont
f s'annule en 3 ou 4 , la barre va osciller entre les positions reperees par
les angles 3 et 4 (f 0 (3 ) 6= 0 et f 0 (4 ) 6= 0) ou bien la barre va tendre
asymptotiquement vers l'une des deux positions precedentes.
6.2.4 Propagation d'ondes dans une cha^ne de ressorts
Universite Joseph Fourier, Grenoble
Duree 1 h
On considere une cha^ne de particules identiques de masse m, situees aux
points d'abscisse z = na ou n est un entier negatif ou nul. La cha^ne est donc
illimitee a gauche et limitee en z = 0.
n
1
n
n+1
1
0
z
Fig. 6.9 - La cha^ne semi-innie
Ces masses sont reliees par des ressorts identiques de raideur dont la
longueur au repos est a. Les particules eectuent des deplacements selon Oz et
l'on appelle xn le deplacement algebrique de la particule n.
1. Montrer que la particule n obeit a l'equation
mxn + (2xn xn+1 xn 1 ) = 0:
2. On cherche des solutions sous la forme d'une onde progressive de nombre
d'onde k. En notation complexe :
xn = A e|(!t kna) ;
ou par convention |2 = 1.
a) En deduire la relation entre ! et k. Comment appelle-t-on cette equation?
b) Cette relation aurait-elle change si l'on avait cherche des solutions
xn = A e|(!t+kna) ?
A quel type d'ondes correspondent-elles?
3. Montrer que les solutions (( ondes progressives )) ne sont possibles que si
! < !max. Donner l'expression de !max en fonction de et de m.
On se place desormais dans le cas ! < !max .
336
Chapitre 6
4. Donner l'expression de la vitesse de phase et de de la vitesse de groupe.
Pour quelles valeurs de k sont-elles confondues?
5. La particule extr^eme (n = 0) est xe : x0 = 0. On admet que l'onde
incidente se reechit en z = 0 et donne naissance a une onde reechie de
m^eme amplitude, mais dephasee de ' par rapport a l'onde incidente. On
a alors :
xn = A e|(!t kna) + A e|(!t+kna+') :
Determiner '.
6. Montrer que l'on peut supprimer l'onde reechie en liant la particule
extr^eme (n = 0) a un point xe par un ressort de raideur , et en la
soumettant a un frottement visqueux donnant lieu a une force
f~ = m ~v:
Determiner et en fonction de !, k, , et a. On identiera partie reelle
et partie imaginaire dans l'equation fondamentale de la dynamique pour
la particule en z = 0.
Solution
1. Soit zn l'abscisse de la nieme particule. Les grandeurs algebriques xn
representent le deplacement par rapport a la position d'equilibre zn = na. On
a donc :
zn = xn + na:
L'etirement du ressort situe entre les particules n et n + 1 est :
zn+1 zn = xn+1 xn + a:
Par consequent, ce ressort dont la longueur au repos est a, exerce sur la particule
n une force qui, projetee sur l'axe des z a pour expression
F(n+1)!n = (zn+1 zn a) = (xn+1 xn ) :
De m^eme, la particule n ressent de la part de la partie de la cha^ne situee a sa
gauche une force
F(n 1)!n = Fn!(n
1) = (xn 1
xn ) :
En appliquant la relation fondamentale de la dynamique a la particule n, il
vient
mzn = Fn+1!n + Fn 1!n :
Par ailleurs, zn = xn , d'ou
mxn + (2xn xn+1 xn 1 ) = 0 :
Le facteur 2 qui appara^t dans l'expression precedente laisse penser que les
eets des ressorts situes a droite et a gauche de la particule n s'ajoutent. En
337
Mecanique du solide
eet, a xn+1 et xn 1 xes, si on deplace n vers la droite (xn > 0), le ressort
situe a gauche tire la particule vers la gauche et celui situe a droite la pousse
de m^eme vers la gauche.
Remarque : les forces subies par la particule n peuvent aussi s'exprimer
a partir de l'energie potentielle elastique Ep des ressorts. Pour le ressort situe
entre les particules n et n + 1, on a :
Ep (n; n + 1) = 12 (zn+1 zn a)2 = 21 (xn+1 xn )2 :
La tension subie par la particule n de la part de ce ressort s'exprime sous la
forme :
! [E (n; n + 1)]
!
F (n+1)!n = grad
n p
ou la derivation a lieu par rapport a la position de la particule n. On retrouve
bien :
F(n+1)!n = (xn+1 xn ) :
2.a) On cherche des solutions sous la forme d'ondes progressives:
xn = A e|(!t kna) :
En reportant dans l'equation traduisant la relation fondamentale de la dynamique, il vient :
m!2 xn + 2xn e|ka xn e |ka xn = 0
d'ou
!2 = 2m (1 cos ka) :
Posant !02 = =m (!0 est la frequence propre des ressorts), on peut ecrire la
relation entre k et ! sous la forme :
!2 = 4!02
sin2
ka 2
:
L'equation precedente est la relation de dispersion.
2.b) Si l'on considere des solutions de la forme
xn = A e|(!t+kna) ;
correspondant a des ondes se propageant vers la gauche, la relation de dispersion
est inchangee. Elle est en eet invariante par le changement k ! k. Cela
signie que la propagation d'ondes est possible dans le sens des z croissants et
dans celui des z decroissants.
3. Le terme en sin2 qui appara^t dans la relation de dispersion est majore
par 1. Les ondes progressives ne peuvent donc se propager que pour ! < !max ,
avec
r
!max = 2 !0 = 2 m :
338
Chapitre 6
4. Prenons par convention ! > 0 et k > 0. On a alors :
ka ! = 2!0 sin 2 :
Ainsi,
et
v' !k = 2k!0 sin ka
2
ka d!
vg dk = a!0 cos 2 :
Ces deux vitesses caracteristiques sont confondues lorsque k 1=a, c'est-a-dire
pour les tres grandes longueurs d'onde. Dans cette limite, on a :
v' ' vg ' !0 a:
Plus generalement, v' = vg lorsque la relation
ka ka
tan
=
2
2
est veriee.
5. Le dephasage ' (deni a 2 pres) s'obtient gr^ace a la condition x0 = 0
qui impose
'= :
Ainsi, on peut ecrire:
xn = A e|!t e |kna e|kna = 2A j e|!t sin(kna)
qui correspond a une structure d'onde stationnaire.
6. Supposons que l'on ait fait subir a la particule n = 0 le traitement decrit
dans l'enonce. Pour les particules d'indice n 6= 0, la relation fondamentale de
la dynamique donne l'equation obtenue a la question 1. En ce qui concerne la
particule extr^eme n = 0, un bilan des forces conduit a :
mx0 + m x_ 0 + (x0 x 1 ) + x0 = 0:
Le but de cette question est de montrer que la cha^ne admet une solution
(( onde progressive )), c'est-
a-dire qu'une onde reechie n'est pas necessaire pour
satisfaire les conditions aux limites. Nous allons voir que c'est bien le cas et
calculer les valeurs de et correspondantes. Pour tout n, y compris n = 0,
on doit avoir
xn = A e|(!t kna) :
Apres simplication par A exp(|!t) dans l'equation fondamentale de la dynamique pour la particule n = 0, il vient :
m!2 + 1 e|ka + + m |! = 0:
339
Mecanique du solide
En prenant successivement les parties reelle et imaginaire de l'expression precedente, on peut ecrire :
= m!2 + [cos(ka) 1]
sin(ka):
= m!
Par ailleurs, la relation de dispersion est toujours valable, d'ou
= m!2=2
sin(ka) :
= m!
Complement: l'equation a laquelle obeit le deplacement de la particule
n est une equation de propagation d'ondes dans un cas discret :
mxn + (2xn xn+1 xn 1 ) = 0:
On peut retrouver une equation d'onde (( classique )) en prenant la limite des
tres grandes longueurs d'onde a. Dans cette limite, xn varie peu d'une
particule a l'autre et peut ^etre assimile a une variable continue x(z; t). On peut
ainsi ecrire, dans le cadre de cette approximation, appelee approximation des
milieux continus :
@x (na; t) + a2 @ 2 x (na; t) + O(a3 ):
+
a
xn+1 = x(na + a; t) = |x(na;
t
)
{z } @z
2 @z 2
xn
Par consequent,
xn+1 xn ' @x
a
@z
xn+1 2xn + xn
a2
ce qui conduit a :
1
@ 2x c2 @ 2x = 0
@t2
@z 2
2
' @@zx2 ;
ou c = a!0 est homogene a une vitesse. La solution de l'equation precedente
s'ecrit :
x(z; t) = f (z ct) + g(z + ct):
Cela signie que dans la limite du continu, les ondes se propagent a la vitesse
c = a!0 . On retrouve la le resultat de la question 4. : pour k a, v' = a!0 = vg .
340
Chapitre 6
6.2.5 Resistance d'un pilier en compression
Universite Paris VI
Duree 1 h
Cet exercice traite le cas d'un solide deformable. Il necessite
quelques connaissances d'elasticite (Loi de Hooke, notion de contrainte, coecient de securite).
1. Denir une liaison glissiere entre deux solides rigides (S1) et (S2). Lorsque
la liaison est sans frottement, que peut-on dire de la resultante du torseur
des eorts exerces par (S1 ) sur (S2 )? Justier votre reponse.
2. On considere un pilier cylindrique en beton, de masse volumique et de
rayon a, soumis a une charge verticale descendante d'intensite Q appliquee au centre d'inertie de la section droite superieure et a son propre
poids, de sorte qu'il est en compression (voir la gure 6.10).
y
Q~y
h
Fig. 6.10 - Schema du pilier en traction-compression
a) Donner l'equation d'equilibre du pilier, ainsi que la condition a la limite
en y = h. Determiner la charge maximale que peut supporter le pilier
sans sortir de son domaine d'elasticite.
On adoptera un coecient de securite .
On designe par u la limite d'elasticite en compression simple du beton.
Application Numerique : = 2500 kg=m3, a = 50 cm, h = 5 m, u =
28 N=mm2, = 4.
Est-il raisonnable de negliger le poids?
b) Pour cette charge maximale, calculer le raccourcissement du pilier en
supposant le comportement du materiau constitutif elastique.
Application Numerique : E = 2 104 N=mm2.
341
Mecanique du solide
Solution
1. Une liaison glissiere d'axe (O; ~x ) entre deux solides (S1 ) et (S2) autorise,
a l'exclusion de tous autres, les mouvements de translation paralleles a (O; ~x )
entre (S1 ) et (S2 ) ; c'est une liaison a un seul degre de liberte.
En l'absence de frottements, la resultante du torseur des eorts est normale
au plan de contact.
2.a) On considere une tranche de pilier comprise entre les altitudes y et
y + dy. Cette tranche est soumise d'une part a son poids :
!
P = g Sdy ~y;
et d'autre part aux actions des parties superieures
et inferieures du pilier sur
ses faces, notees respectivement !
R (y + dy) et !
R (y). Comme ces deux actions
se traduisent par une resultante normale aux surfaces d'application, on obtient
en introduisant la tension N (y) du pilier a l'altitude y :
!
R (y) = N (y) ~y
Par ailleurs,
et
!
R (y + dy) = N (y + dy) ~y.
N (y + dy) = N (y) + dNdy(y) dy:
A l'equilibre, la somme de ces trois contributions doit ^etre nulle ce qui conduit,
une fois prise la limite dy ! 0, a :
dN (y) = gS .
dy
La condition aux limites en h s'obtient en se rappelant que l'extremite superieure du pilier se voit appliquer une force Q~y c'est-a-dire dans les notations
precedentes:
!
R (h) Q ~y = !
0:
Ainsi,
N (h) = Q .
La solution de cette equation dierentielle s'ecrit :
N (y) = gS (y h) Q:
On peut remarquer que la tension N (y) du pilier est partout negative, ce
qui signie que le pilier est en compression. La contrainte en un point est quant
a elle denie par :
(y) = NS(y) .
An de calculer maintenant la charge maximale que peut supporter le pilier, nous allons determiner la contrainte maximale percue par celui-ci. Cette
342
Chapitre 6
contrainte peut se denir comme la valeur maximale prise par (y) en un point
y du pilier
max = pilier
max j(y)j
Q + g(h y) .
= max
y S
Finalement cela donne pour la contrainte maximale en un point du pilier
max = gh + Qmax
S .
Pour que le pilier soit toujours dans sa zone d'elasticite a la contrainte maximale, il faut, si l'on adopte un coecient de securite , que
max u :
La charge maximale admissible est donc
Qmax = a2 u gh .
Application Numerique :
Qmax = 5; 3 106 N .
Le rapport du poids sur Qmax est 0; 018 : le poids est negligeable par rapport
a Qmax .
2.b) Une fois le poids neglige, la contrainte au sein du pilier est homogene,
c'est-a-dire que quelle que soit l'altitude y a laquelle on se place dans le pilier
(y) = Q
S.
La loi de Hooke reliant la deformation locale a la contrainte peut alors ^etre
utilisee pour le pilier dans son ensemble, et nous donne
= E h .
h
Utilisant l'expression de la contrainte , il vient pour le raccourcissement
h = aQ2 E h .
Application Numerique : dans le cas de la charge maximale, le raccourcissement
est
h = 1; 68 mm .
343
Mecanique du solide
6.3 Problemes
6.3.1 Sphere creuse sur un plan incline
Universite de Caen
Duree 2 h
Documents non autorises
Soit donne un plan incline faisant un angle avec le plan horizontal.
On utilisera le referentiel (O; ~x; ~y;~z), ou (O; ~x) est parallele a la ligne de plus
grande pente du plan , (O; ~z) est perpendiculaire a et (O; ~y) forme avec les
deux axes precedents un triedre trirectangle direct. On notera R0 ce referentiel.
Soit S une sphere creuse homogene, pesante, de masse m, de rayon R, de
centre C , en contact avec le plan . On designe par
{ l'abscisse du point C ,
! ou CM
! est un rayon vecteur de la sphere contenu dans
{ = (C; !
Z ); CM
!
le plan (O; ~x;~z) et (C ; Z ) est parallele et de m^eme sens que (O; ~z),
{ I le point de contact du plan avec la sphere.
La sphere reste en contact avec le plan et le mouvement de C a lieu dans
le plan (O; ~x;~z). Le plan incline est xe et R0 est rigidement lie a ce plan.
z
Z
y
O
>0
I
C
x
Fig. 6.11 - Schema du dispositif.
1. Premiere phase du mouvement : S est deposee sans vitesse initiale sur le
plan . A l'instant initial, C est en O. Le contact a lieu sans frottement.
a) Donner l'expression du moment d'inertie I de S par rapport a l'un
quelconque de ses diametres.
b) E crire les equations dierentielles du mouvement. Quelle est la nature
du mouvement dans cette phase?
344
Chapitre 6
2. Deuxieme phase du mouvement : a l'instant t0 , la sphere arrive dans une
zone ou le coecient de frottement de glissement avec ne peut plus ^etre
neglige. On designera par
{ f le coecient de frottement de glissement entre le plan et la sphere,
{ !
F = T~x + N~z la reaction du plan sur S .
On prendra comme nouvelle origine des temps l'instant t0 . On notera t0
les instants comptes a partir de cette nouvelle origine.
a) E tablir l'expression de ~v(I; S =R0 ) en fonction de _ et _.
Donner le signe de T a l'instant t0 = 0, ainsi que la relation qui lie T
et N tout au long de cette seconde phase.
b) E crire le theoreme de la resultante cinetique et le theoreme du moment
cinetique. En deduire les valeurs de l'acceleration du point C et de
l'acceleration angulaire de S .
c) Quelle est la vitesse de I 2 S a l'instant t0 ?
A quelle condition (portant sur f et ) le glissement ne s'arr^etera-t-il
jamais?
d) On suppose que cette condition n'est pas satisfaite. A quel instant t01
le glissement cessera-t-il?
e) Entre les instants t0 = 0 et t0 = t01, quel est le travail des forces de
contact? Montrer qu'on peut l'evaluer de deux manieres dierentes.
On designera par 1 la distance parcourue par le point C pendant la
seconde phase.
Solution
1.a) Par denition du moment d'inertie, on a
Z
I = r2 dm;
ou r est la distance au diametre par rapport auquel on calcule I . E tant donnee
la symetrie spherique de , on peut laisser de c^ote la dimension transverse et
on se ramene a l'integration sur des couronnes circulaires de rayon r
Diametre
r
M
345
Mecanique du solide
ou chaque point M est aecte de la masse dm de l'anneau qu'il represente soit
dm = m dS
S
m
= 4R2 (2r) (Rd).
Dans ces conditions, comme r = R cos on obtient en reportant
2
I = mR
2
et nalement
Z2
cos3 d
2
I = 32 mR2 .
Il y avait dans ce cas precis une technique plus astucieuse : soient Dx, Dy
et Dz trois diametres de la sphere de directions respectives ~ex, ~ey , ~ez , ces trois
vecteurs formant un triedre direct. Les moments d'inertie de la sphere par
rapport a ces axes sont
Z
Ix = (y2 + z 2 )dm
et permutations circulaires.
De plus, par symetrie, les trois diametres sont equivalents, donc les trois moments sont egaux, et egaux au moment I recherche. En les sommant, on a de
ce fait
Z
3I = 2(x2 + y2 + z 2)dm
=
Z
2R2 dm:
Comme R est une constante, l'integration des dm sur l'ensemble de la surface
redonne la masse totale de la sphere, soit comme avec la precedente methode
I = 23 mR2.
1.b) On applique la relation fondamentale de la dynamique (R.F.D.) a la
sphere dans le repere R0 . En l'absence de frottements,!cette derniere n'est
soumise qu'a deux forces qui sont!d'une
part!son
poids P , et d'autre part la
reaction du sol qui est normale : R = !
T +N
;!
T =!
0.
On exprime cette relation de la dynamique dans le repere (O; ~x;~z) pour
obtenir les equations dierentielles du mouvement
(
m =mg sin .
0 =mg cos N
346
Chapitre 6
Au vu de ce systeme, on peut dire que la sphere eectue au cours de cette
premiere phase un mouvement uniformement accelere. Sa position au
cours du temps est donnee par la double integration de l'equation de 
2
= g sin t2 + At + B .
Les constantes introduites lors de ce calcul se determinent au moyen des conditions initiales du mouvement qui sont
( (t=0) = 0
_(t=0) = 0
(C en O)
(~v = 0 en O)
pour conduire a l'expression de l'abscisse du centre de gravite C de la sphere
durant cette premiere phase
2
(t) = g sin t2 .
2.a) Pour trouver la vitesse de glissement de la sphere sur le plan (c'est-adire comme le plan incline est immobile dans le repere considere, la vitesse du
point I appartenant a S ) on utilise le torseur des vitesses de la sphere qui lie
les vitesses de I et de C par la relation
!^ !
~v(I; S =R0 ) = ~v(C ) + IC
.
La vitesse du point C est donnee par ~v(C ) = _ ~x, et le vecteur rotation instantanee, d'apres la convention de signe choisie pour , a pour expression :
!
= _ ~y.
! = R~z et conduit a
Le produit vectoriel s'eectue sans dicultes en prenant IC
~v (I; S =R0 ) = _ R_ ~x .
En l'absence de frottements, la sphere S , initialement sans rotation autour
de l'axe ~y est toujours dans cette conguration a l'issue de la premiere phase
du mouvement, et donc
_(t0 =0) = 0.
Notons avant de poursuivre qu'il peut para^tre troublant de voir une bille avancer sans rouler... Pourtant cela n'a rien de surprenant pour quiconque est amateur de billard, et notamment de billard francais pour lequel les boules sont
plus massiques et donc se conforment assez bien aux lois de la mecanique sans
frottements. Essayez donc de frapper une de ces boules exactement selon un
diametre horizontal, de maniere a ne pas lui communiquer de rotation initiale, mais uniquement de la translation ; vous devriez constater que pendant
quelques secondes la boule avance sans rouler ! E videmment, les frottements
347
Mecanique du solide
sur le tapis ne sont dans ce cas de gure jamais nuls et la boule nit toujours
par tourner, mais cela permet de se convaincre de la possibilite de la chose dans
le cas ou les frottements deviennent faibles |une bille d'acier poli sur un plan
d'acier.
Au commencement de la seconde phase du mouvement, la vitesse de glissement se reduit a
~v(I; S =R0 )(t0 =0) = _(t0 =0) ~x.
La vitesse de la sphere etant continue, sans quoi il faudrait faire intervenir
des accelerations |donc des forces| innies, ce qui n'a physiquement pas de
sens, _ en t0 = 0 est egal a _ en t = t0 , c'est-a-dire que la vitesse est orientee
vers le bas et la sphere descend. Les lois empiriques du frottement solide nous
permettent d'en deduire
le sens
!. de la reaction tangentielle, et le lien qui existe
entre les modules de !
T et N
Le frottement de glissement s'oppose au glissement ce qui implique que la
valeur algebrique de la reaction tangentielle verie
T (t0=0) < 0 .
De plus il existe un coecient f appele coecient de frottement de glissement
tel que les modules des deux composantes de la reaction du sol sont lies par
une relation de proportionnalite
!k .
k!
T k = fkN
Les lois que nous venons de donner sont phenomenologiques: elles sont posees a
posteriori de facon a rendre compte des phenomenes observes. Elles sont aussi
appelees loi du glissement de Coulomb (voir les rappels de cours).
2.b) Tout comme a la question 1., appliquons la R.F.D., avec cette fois une
reaction tangentielle non nulle. Un terme additionnel appara^t dans la premiere
equation du systeme
(
m =mg sin + T
0 =mg cos N
(1)
.
(2)
Pour completer ce jeu de deux equations, on applique comme le suggere l'enonce, le theoreme du moment cinetique par rapport a l'axe , passant par C , et de
vecteur directeur ~y. Dans ces conditions, en reprenant la notation de l'equation
(5) des rappels de cours, on a la relation
d =
dt
.
L'axe ainsi deni etant un diametre de la sphere, on utilise le resultat de la
question 1.a) pour exprimer le membre de gauche de la precedente equation
d = I .
dt
348
Chapitre 6
Le moment des forces par rapport a l'axe s'exprime quant a lui de la maniere
suivante (I est le point d'application de la reaction du sol et C celui du poids)
h ! ! ! i h ! !i
= CI
^ ( T + N ) ~y + CC ^ P ~y
h
i
= R ~z ^ T~x + ~z ^ N~z ~y + !
0
= R T:
En recombinant les deux membres ainsi exprimes, on obtient une troisieme
equation
I  = R T (3) .
En utilisant (2) ainsi que les relations phenomenologiques sur le frottement
de glissement, il vient
T = mfg cos ;
ce qui donne une fois insere dans les equations (1) et (3) les expressions respectives de l'acceleration du point C et de l'acceleration angulaire
 = 23Rg f cos et
 = g(sin f cos ) .
2.c) D'apres l'expression de la vitesse de glissement trouvee en 2.a), nous
avons besoin de conna^tre non pas les accelerations, mais les vitesses a la fois
angulaires et du point C . Elles s'obtiennent en integrant les resultats de la
question precedente
8 3g
< _ = f cos t0 + _(t0=0)
R
: _ = g2(sin
f cos )t0 + _(t0 =0)
et nous permettent une fois reportees dans la formule de la vitesse de glissement
d'obtenir
~v(I; S =R0 )(t0 ) = ~v (I; S =R0 )(0) + gt0 (sin 25 f cos )~x .
Les considerations precedentes nous ont donne pour valeur de la vitesse de
glissement au commencement de la deuxieme phase du mouvement
~v (I; S =R0 )(t0 =0) = _(t0 =0) > 0.
De ce fait, si le second terme de l'expression de la vitesse de glissement est
egalement positif, cette derniere ne s'annulera jamais |elle s'annulera dans
le cas contraire gr^ace au facteur t0 qui peut devenir inniment grand. Cette
condition de signe s'ecrit
sin 52 f cos > 0
349
Mecanique du solide
soit pour le coecient de frottement de glissement f :
f < 25 tan .
2.d) On se place dans le cas ou le glissement va s'annuler au bout d'un
temps ni t01 . Cette condition s'exprime en utilisant la question precedente
v(I; S =R0 )(t01 ) = 0 , gt01(sin 25 f cos ) = v(I; S =R0 )(t0 =0).
De l'expression trouvee en 1.b) pour la position du centre C de la sphere, on
deduit par simple derivation temporelle
v(I; S =R0 )(t0 =0) = _(t0 =0)
= _(t=t0 )
= g sin t0 ;
d'ou pour t01
t01 = 5f 1
t0 .
2 tan 1
On peut remarquer a titre de verication, qu'avec la condition prise sur f et ,
ce temps t01 est positif, c'est-a-dire que l'annulation de la vitesse de glissement
a eectivement lieu.
2.e) Pour calculer le travail des forces de frottement entre les instants t0 = 0
0
et t = t01 , utilisons tout d'abord la methode la plus generale a savoir le theoreme
de l'energie cinetique. Celui-ci nous donne
dEcin. = P
forces ext. et int. .
dt
Les forces en presence etant le poids de la sphere, qui derive d'une energie
potentielle, et la reaction tangentielle du sol |la composante normale, partout
normale au deplacement, ne travaille pas| cette expression se transforme en
dEcin. = dEpot. + P ;
T
dt
dt
ou PT designe la puissance des forces de contact. L'energie potentielle de pesanteur a pour expression
Epot. = m g sin + Cte .
Finalement le theoreme de l'energie cinetique prend pour forme
dEcin. = mg sin _ + P .
T
dt
Exprimons par ailleurs l'energie cinetique du solide au moyen du theoreme de
Knig qui stipule que
Ecin.(S =R0 ) = Ecin.(C=R0 ) + Ecin.(S =RC );
350
Chapitre 6
ou RC est le referentiel du centre de masse. Autrement dit, l'energie cinetique
totale du solide se decompose en une energie liee a la translation (premier
terme), et une energie liee a la rotation propre (deuxieme terme).
Ainsi decomposee, l'energie cinetique s'ecrit
Ecin.(S =R0 ) = 21 m_2 + 21 I _2
soit, apres derivation et substitution de I :
dEcin. = 2 mR2_ + m_.
dt
3
De plus, la question 2.b) nous donne pour les derivees secondes
8 3g
<  = f cos R
:  = g2(sin
f cos )
qui en reportant conduisent a
PT = fmg cos (_ R_).
Pour le travail de la force, il ne reste plus qu'a integrer en utilisant pour _ et _
les expressions temporelles trouvees au debut de 2.c)
WT = fmg cos soit en fonction du temps t01
Z t01
"
0
_(0) + sin 25 f cos gt dt
#
02
WT = fmg cos _(0)t01 + sin 52 f cos g t12 .
La deuxieme methode quant a elle consiste a calculer directement le travail
de la force au moyen de l'expression litterale de celle-ci, obtenue a la question
2.b). En eet, le travail associe a un deplacement elementaire s'ecrit
WT = !
T !
dl .
Le point delicat a ce niveau, est la facon dont s'exprime le deplacement elementaire : il s'agit d'une distance sur laquelle la sphere a glisse ce qui comprend a
la fois une distance suivant , mais aussi une distance due a la rotation |si la
sphere tournait sur place, les forces de frottement travailleraient sans que pour
autant l'abscisse varie. L'expression du travail est alors
WT = !
T ~v(I; S =R0 )(t0 )dt0 ;
soit
PT = fmg cos _ R_ ;
expression identique a celle obtenue avec la methode precedente.
351
Mecanique du solide
6.3.2 Introduction a l'eet gyroscopique
Universite Paris VI
Duree 2 h
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A. Cinematique :
Un solide indeformable (S ) est constitue :
{ d'un disque homogene (D), de masse m, de rayon R, de centre B
{ d'une
AB de longueur l (avec l > R), de masse negligeable. On pose
! =tige
BA
l~z et le repere orthonorme direct (A ; ~x ; ~y ; ~z ) est lie a (S ) (cf.
gure 6.12.A).
Par rapport au repere galileen Rg (O ; x~o ; y~o ; z~o ), avec Oz!o vertical ascendant, le solide (S ) est en mouvement de facon que :
! = R z~ ;
{ le point A soit xe, avec OA
o
{ le disque (D) soit en contact ponctuel en I avec une plaque
(P ) en mouvement, dans le plan (xo Oyo ), de rotation autour de Oz!o , a la vitesse
angulaire !(t), fonction donnee du temps t (cf. gure 6.12.B).
On designe par (B ; ~x 0 ; ~y 0 ; ~z 0 ) le repere lie au solide (S ) deduit du repere
(A ; ~x ; ~y ; ~z ) par la translation l~z. On choisit la ligne des nuds des angles
d'Euler du mouvement de (S ) autour de son centre d'inertie B , de facon que
l'angle de nutation = (z~o ;~z) soit egal a =2 (cf. gure 6.12.C). L'angle de
precession est = (x~o ; ~u) et l'angle de rotation propre est ' = (~u; ~x0 ) ou
~u = ~zo ^ ~z:
1. Determiner le vecteur-vitesse de rotation instantanee !
de (S ) dans le
mouvement par rapport au repere Rg , par ses composantes sur la base
orthonormee directe (~u ; z~o ; ~z). En deduire que le vecteur-vitesse de I
appartenant a (S ) est :
v~S (I ) = R '_ l _ ~u:
2. Determiner, par ses composantes sur la base (~u ; z~o ; ~z), le vecteur-vitesse
de rotation instantanee de (P ) dans le mouvement par rapport au repere
Rg . En deduire le vecteur-vitesse de I appartenant a (P ).
3. Determiner, par ses composantes sur la base (~u ; z~o ; ~z), le vecteur de
glissement de (S ) par rapport a (P ).
352
Chapitre 6
x
z
A
y
zo
l
B
(D)
R
B A
z
y
0110
(S )
B u~
010
z 1
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
10 10
(D)
R1
010O 10 (P )
I
0000000000
1111111111
10 l
0000000000
1111111111
111111
000000
FIGURE C
x
FIGURE A
0110z
0
y 1
(D)
1010A
z
y
B1111111
0000000
0
1
x 0000000000
0000000
1111111
1111111111
0000
1111
0
1
O
0000000
1111111
y
u
0000
1111
0000000
I1111111
0000
1111
x
0000000
1111111
0000
1111
x
0000000
1111111
!(t)
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
FIGURE B
o
11111111
00000000
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
(P)
00000000
11111111
00000000
11111111
0
0
o
Fig. 6.12 - Description du gyroscope
o
353
Mecanique du solide
B. Cinetique :
Dans le mouvement par rapport au repere galileen, determiner, par leurs
composantes dans la base (~u ; z~o ; ~z), successivement:
1. les elements de reduction en B du torseur cinetique de (S ) en fonction des
donnees, des angles d'Euler et de leurs derivees par rapport au temps ;
N.B. On utilisera les notations a et c pour les constantes denies par:
a = mR2 =4 + ml2 ; c = mR2=2:
2. les elements de reduction en A du torseur cinetique de (S ) en fonction
des m^emes elements;
3. les elements de reduction en A du torseur dynamique de (S ).
C. Dynamique :
Les seules forces donnees, exterieures a (S ), sont la pesanteur, d'acceleration
~g = gz~o (g > 0). La liaison en A est spherique et parfaite (liaison rotule). La
liaison en I entre (P ) et (S ) est ponctuelle, de resultante :
!
R = T~u + N z~o:
1. E tablir, a partir du theoreme du moment dynamique en A applique a (S ),
2.
3.
4.
5.
trois equations dierentielles du mouvement de (S ), ne comportant que
les donnees, les angles
d'Euler et leurs derivees par rapport au temps et
les composantes de !
R.
On suppose que le mouvement a lieu, dorenavant, sans glissement.
Deduire de la relation de non-glissement en I une relation entre '_ , _ et
!.
Trouver alors l'expression de , de ' et de T en fonction de d!=dt.
Les conditions initiales (a t = 0) du mouvement sont telles que !(0) = 0,
'_ (0) = 0, _ (0) = 0. Calculer '_ (t) et _ (t) en fonction de !(t).
Determiner N en fonction de !(t). On suppose que !(t) est une fonction
croissante du temps pour t > 0. Montrer qu'il existe une valeur ! de
!(t) pour laquelle N s'annule et calculer !. Expliquer intuitivement ce
qui se passe lorsque !(t) > !.
Solution
A.1. On travaille dans le repere galileen Rg . En decomposant le mouvement
de (S ) sur la base orthonormee directe (~u ; z~o ; ~z), il appara^t que :
!
(S=Rg ) =
_ z~o + '~
_z :
354
Chapitre 6
En appliquant la relation cinematique liant la vitesse du solide (S ) au point I
et au point A :
!^ !
~vS (I; Rg ) = ~vS (A; Rg ) + IA
(S=Rg ) ;
on obtient l'expression :
~vS (I; Rg ) = R'_ l _ ~u
car la vitesse du point A est nulle dans le referentiel galileen Rg .
A.2. La m^eme demarche et des notations analogues a celles utilisees precedemment conduisent a :
!
(P )=(Rg ) = !z~o :
En appliquant la relation cinematique liant la vitesse du solide de la plaque
(P ) au point I et au point O (qui est immobile dans le referentiel Rg ), il vient :
~vP (I; Rg ) = l!~u :
A.3. La vitesse de glissement de (S ) par rapport a (P ) est denie par la
relation :
~vg(S=P ) = ~vS (I; Rg ) ~vP (I; Rg ):
En reportant les resultats des deux questions precedentes, elle se met sous la
forme :
h
i
~vg(S=P ) = R'_ l( _ !) ~u :
B.1. Par denition, les elements de reduction du torseur cinetique de (S )
dans le referentiel Rg sont le moment cinetique de (S ) en un point N , L~ S (N; Rg )
et la resultante cinetique de (S ) p~S (Rg ) = M~vS (G; Rg ), ou M est la masse
de (S ) et G son barycentre. Par rapport au point B , le moment cinetique
s'exprime, gr^ace au theoreme de Knig, sous la forme :
! ^ M~v (G; R );
L~ S (B; Rg ) = L~ S (B; R ) + BG
S
g
ou R est le referentiel barycentrique lie au solide (S ). Or, la barre AB est
supposee sans masse. G est donc confondu avec le point B , barycentre du
disque (D), M = m et les grandeurs cinetiques ne se rattachent plus qu'au
disque (D).
Dans R, de repere associe (B ; x~o ; y~o ; z~o ), le mouvement est compose
d'une rotation autour de l'axe = (B;~z) a la vitesse angulaire '~
_ z et d'une
rotation autour de l'axe 0 = (O; z~o ) a la vitesse angulaire _ z~o . Les deux axes
et 0 etant xes, on a la relation :
L~ S (B; Rg ) = L~ S (B; R ) = I '~
_ z + I0 _ z~o
355
Mecanique du solide
ou I et I0 sont les moments d'inertie du solide (S ) respectivement par rapport
aux axes et 0 .
(D)
0
B
Fig. 6.13 - Les deux axes d'inertie et 0 du solide (S ).
L'axe passant par le centre B du disque (D) etant perpendiculaire a (D),
on a I = mR2=2 = c.
Pour le calcul de I0 , on peut utiliser la relation 2I0 = I (a demontrer,
par exemple en s'inspirant de la question 1.a) du probleme 6.3.1). Cette relation
est valable en negligeant l'epaisseur du disque (D) devant son rayon, et conduit
a I0 = c=2.
En regroupant les dierents termes, il vient :
1 ~LS (B; Rg ) = c '~
_ z + 2 _ z~o :
La resultante cinetique se calcule quant a elle en utilisant la relation cinematique entre le point G = B et le point I du solide (S ) :
!
!
p~S (Rg ) = m~vS (B; Rg ) = m ~vS (I; Rg ) + BI ^ (S=Rg ) ;
ce qui donne :
p~S (Rg ) = ml _ ~u:
Les elements de reduction du torseur cinetique de (S ) au point B sont donc :
L~ S (B; Rg ) = c '~
_ z + 12 _ z~o
et ~pS (Rg ) = ml _ ~u :
Remarque : si l'on n'utilise pas le theoreme de Knig, un calcul direct
!
Z
!
!
~LS (B; Rg ) =
BM ^ ^ BM dm
donne
M 2D
(S=Rg )
puisque la barre AB est sans masse. Par ailleurs,
!^ !
! = BM 2 !
BM
(S=Rg ) ^ BM
(S=Rg )
!! !
BM (S=Rg ) BM;
356
Chapitre 6
d'ou
L~ S (B; Rg ) = c !
(S=Rg ) + _
= c!
(S=Rg )
!
= c (S=Rg )
_
Z =R Z '=2 2 cos ' sin ' ~u
=0 '=0 m d d'
sin2 '~zo R
2
Z =R m
=0 1 _
2 ~zo
3
R2 d~zo
= c '_ ~z + 21 _ ~zo :
B.2. Les elements de reduction du torseur cinetique au point A sont par
denition :
! ^ p~ (R )
L~ S (A; Rg ) = L~ S (B; Rg ) + AB
S g
~pS (Rg ):
On arrive, en utilisant le resultat de la question precedente, a l'expression des
elements de reduction du torseur cinetique au point A :
L~ S (A; Rg ) = c'~
_ z + a _ z~o et p~S (Rg ) = ml _ ~u :
B.3. Par denition, les elements de reduction au point A du torseur dynamique de (S ) sont le moment dynamique de (S ) D~ S (A; Rg ) et la resultante
dynamique de (S ) M~aS (G; Rg ) ou ~aS (G; Rg ) est l'acceleration au point G du
solide (S ) dans Rg .
Le point A etant xe dans le referentiel galileen, on a :
!
~
D~ S (A; Rg ) = d LS (dtA; Rg )
:
(Rg )
Avec cette derniere relation, on deduit les elements de reduction du torseur
dynamique au point A :
h
i
h
i
D~ S (A; Rg ) = c '~
z + '_ _ ~u + a z~o ; m~aS (G; Rg ) = ml ( _ )2 ~z ~u ;
car les vecteurs ~u et ~z sont des vecteurs tournants autour de l'axe (Ozo ), ce qui
impose les relations
8 d~u
< dt = _ ~zo ^ ~u = _ ~z
: d~z
dt =
_ ~zo ^ ~z = _ ~u:
357
Mecanique du solide
C.1. L'application du theoreme du moment dynamique au point A, au
solide (S ) dans le referentiel galileen donne :
!(A; ext) = M
![A; poids] + M
![A; (S ) A] + M
![A; (S ) (P )]
D~ S (A; Rg ) = M
ou
![A; poids] est le moment en A du poids
-M
![A; (S ) A] est le moment en A des eorts de contact de la liaison au
-M
point A
![A; (S ) (P )] est le moment en A des eorts de contact en I entre la
-M
plaque (P ) et le solide (S ).
La liaison en A est supposee parfaite : il y a possibilite de pivotement en
A sans frottements de pivotement
en A sans frottements de
![A; (Set) deA]roulement
roulement, ce qui implique M
=!
0.
De m^eme, au point de contact I entre (P ) et (S ), la liaison est supposee
ponctuelle
s'eectue sans frottements de roulement. On en deduit
![I; (S ) : (leProulement
M
)] = !
0 . D'ou :
![A; (S ) (P )] = M
![I; (S ) (P )] + AI
!^ !
M
R
= l(N ~u T z~o) + R T ~z:
De m^eme, la tige AB etant sans masse,
![A; poids] = M
!
M
| [B;{zpoids}] mgl ~u:
=!
0 car B =G
On obtient ainsi les trois equations dierentielles du mouvement de (S ) :
c'_ _ =
a =
c' =
mgl + l N
lT
RT
(1)
(2) .
(3)
C.2. L'hypothese de mouvement sans glissement conduit a ~vg(S=P ) = !0 .
D'apres la question A.3., on a alors la relation :
'_ = Rl ( _ !) :
(4)
C.3. La combinaison des equations (2) et (3) de la question C.1. fournit
une relation entre ' et  :
Ra  + lc ' = 0:
(5)
358
Chapitre 6
La combinaison des equations (4) et (5) permet d'aboutir aux relations demandees :
2
 = 2 l c 2 d! et ' = 2 alR 2 d! :
R a + l c dt
R a + l c dt
L'expression de T en fonction de d!=dt s'obtient alors a partir de l'equation
(3) par exemple :
d!
T = R2 aacl
+ l2 c dt :
C.4. A l'instant initial t = 0, toutes les vitesses angulaires sont nulles. La
vitesse angulaire etant une fonction continue en t = 0 (sinon, cela conduirait a
des accelerations et donc a des forces (( innies )), ce qui n'est pas acceptable
d'un point de vue physique), l'integration des relations precedentes conduit a :
'_ =
alR R2 a + l2 c !(t)
et
_=
l2 c R2 a + l2c !(t) :
C.5. D'apres l'equation (1), on peut determiner l'expression de N en fonction de !(t) :
cl!(t) 2
N = mg aR R2 a + l2 c :
Puisque !(t) est une fonction croissante de t, positive pour tout t, il existe !
tel que N = 0 pour ! = ! (a > 0 et mg > 0). L'expression precedente de N
donne alors l'expression de ! :
2
! = l + aR
cl
r mg
aR :
Pour ! = ! , la composante verticale de la reaction du support (P ) sur le
solide (S ) s'annule et change de signe. Ainsi, pour ! > !, le solide (S ) va
decoller du plateau, tout en continuant a tourner sur lui-m^eme et autour de
l'axe (Ozo ), puisque '_ 6= 0 et _ 6= 0 pour tout ! 6= 0. Le solide (S ) va donc,
pour ! > ! , se comporter comme une toupie : il va tourner sur lui-m^eme et
avoir un mouvement de precession autour de l'axe de (Ozo ).
6.3.3 Mouvement d'une planche posee sur deux rouleaux ;
etude d'une persienne en mecanique des uides
Universite Paris VI
Duree : 3 h
Aucun document n'est autorise.
Les (( calculettes )) sont interdites.
Les deux problemes sont independants.
Mecanique du solide
359
Probleme I : Mecanique du solide rigide (note sur 10)
L'objet du probleme est d'etudier le mouvement d'une planche parallelepipedique (P ) homogene, d'epaisseur negligeable, posee sur deux rouleaux cylindriques homogenes, identiques, (C1 ) et (C2 ), reposant sur un plan () non
horizontal.
La premiere partie est consacree a une etude cinematique du systeme lorsque
les contacts entre les rouleaux et le plan () d'une part, les rouleaux et la
planche (P ) d'autre part, sont sans glissement : pour des conditions initiales
bien choisies, on etablira que le mouvement du systeme considere ne depend
que d'une seule fonction inconnue du temps.
La deuxieme partie est consacree a l'etude dynamique du systeme place dans
le champ de la pesanteur : on determinera la fonction du temps mentionnee cidessus et les eorts de contact.
Premiere Partie : Cinematique
Soit (R) un repere orthonorme direct (O ; ~x ; ~y ; ~z ) tel que () soit dans le
plan (O ; ~x ; ~y).
1. On considere (Figure 6.14.A) un cylindre de revolution, homogene (C )
de rayon a, de centre d'inertie C , d'axe (C; X~ ) en contact
d'une
! = x~lex +long
generatrice notee () avec le plan () : X~ ~z = 0 et OC
y~y + a~z.
(Rw ) designe le repere (O ; X~ ; w~ ; ~z ) tel que w~ = ~z ^ X~ .
On pose :
{ (~x; X~ ) = (~y; w~ ) = (t) mesure autour de ~z.
{ (C ; X~ ; Y~ ; Z~ ) designe un repere orthonorme direct lie a (C ).
{ (w~ ; Y~ ) = (~z; Z~ ) = (t) mesure autour de X~ .
A l'instant initial, t = 0; = 0.
a) E crire la condition de roulement !sans glissement pour deux points M1
et
M2 de (). En deduire que (C =R) est colineaire a X~ : on pose
!
(C =R) = !(t)X~ . Demontrer que !(t) = _(t) et (t) 0.
!=
b) E tablir que ~v(C =R; t) = a !~y (on designe par K le point tel que CK
a~z). En deduire x_ (t); y_ (t) en fonction de !(t) et des donnees.
2. On considere deux rouleaux cylindriques (C1) et (C2) identiques au cylindre (C ) de
precedente, en contact sans glissement avec ().
! la=question
On pose OC
x
~
x
+
y
~
y
i
i
i + a~z (i = 1; 2).
A l'instant initial, t = 0; OC!1 = l=2 ~y + a~z; OC!2 = l=2 ~y + a~z (l
constante strictement positive donnee) et les axes des cylindres sont paralleles a ~x (Figure 6.14.B).
8!
< (Ci =R; t) = !i(t) ~x
Montrer que : : xi (t) 0 pour i = 1; 2
y_i = a !i
360
Chapitre 6
w
X
~z
O y~
~x
x
~z
()
C
X~
(C )
Z
(C1 )
C1
(C2 )
C2
~z
O
Figure B a t = 0
( !
OC1
=
l=2y~ + a~z
OC!2 = l=2y~ + a~z
J2
G
C1
~z
~x
O
C2
y~
G
~g
~z
~x O
Figure C a t = 0
I2
J1
~z0
Y
w
J1
C1
y~
~x
I1
z
X~
Figure A
I1
y
J2
Figure D a t = 0
C2
~y
I2
Fig. 6.14 - Denition des dierents systemes etudies
Mecanique du solide
361
3. Soit (P ) une planche parallelepipedique homogene, d'epaisseur negligea-
ble, de longueur 2l, de centre d'inertie G, en contact sans glissement avec
les rouleaux!introduits
note J1 et J2 les points geometriques
! =ena~z2..et On
tels!que C!
J
=
C
J
I
et
I2 , les points geometriques tels que
1 1
2 2
1
C1 I1 = C2 I2 = a~z.
Soit R (G ; X~ ; Y~ ; ~z) un repere orthonorme direct lie a P .
On pose :
{ (~x ; X~ ) = (~y ; Y~ ) = (t) mesure autour de ~z.
! = (t)~x + (t)~y + 2a~z
{ OG
! = 2a~z; = 0 (Figure 6.14.C) et les
A l'instant initial, t = 0; OG
donnees du 2. sont valables.
a) Montrer que le roulement sans glissement!entre (P ) et! (C1) d'une part,
entre (P ) et (C2 ) d'autre part impose : (P =R) = 0 (on pourra uti-
liser les resultats des questions precedentes pour etablir ce resultat).
b) Calculer ~v(Ji Ci; Ci =P ; t) (i = 1; 2).
= 2a !i(t)
En deduire : _ ((tt)) 0
y (t) = (t)=2 l=2
c) Montrer que y12(t) = (t)=2 + l=2
d) Montrer J1!G = (l=2 + =2) ~y et J2!G = ( l=2 + =2) ~y. Quelle conclusion vous inspirent les resultats obtenus?
Deuxieme Partie : Dynamique
Dans cette partie, les cylindres (C1 ) et (C2 ) de m^eme masse m et la planche
(P ) de masse M sont pesants. Soit ~z0 le vecteur unitaire de la verticale ascendante : ~g = g~z0 est l'acceleration de la pesanteur. Le plan () est un plan
incline, on pose : ~z0 = sin ~y + cos ~z (0 < < =2 ; = constante). Le
repere (R) deja introduit est suppose galileen.
A l'instant initial, (Figure 6.14.D) les donnees en position sont celles de la
partie cinematique et toutes les vitesses initiales sont nulles.
On schematise les eorts de contact de () sur (Ci ) par un glisseur (Gi ) de
moment nul en Ii , de resultante R!i = Xi ~x + Yi ~y + Ni ~z (i = 1; 2).
On schematise les eorts de contact
de (P ) sur (Ci ) par un glisseur (Gi ) de
!
moment nul en Ji , de resultante Ri = Xi~x + Yi~y + Ni~z (i = 1; 2) .
1.a) Appliquer le theoreme de la resultante dynamique a (P ) et en deduire 3
equations scalaires (en projetant sur ~x ; ~y ; ~z). On notera (E ) l'equation
contenant .
b) Appliquer le theoreme du moment cinetique en G a (P ).
c) En combinant les resultats precedents, calculer Xi, Ni en fonction de
et des donnees.
362
Chapitre 6
2. Appliquer le theoreme de la resultante dynamique a (Ci ) et en deduire
Ni , Xi en fonction des donnees et une equation contenant  notee (Ei ).
3. Appliquer le theoreme du moment cinetique a (Ci ) en Ci et en deduire
une equation contenant  notee (Fi ).
4. En combinant les equations (E ), (E1 ), (E2 ), (F1 ), (F2 ) calculer  en
fonction des donnees et en deduire en fonction du temps.
5. Achever la determination des eorts de contact introduits.
6. Aurait-on pu obtenir plus rapidement le resultat du 4.?
Nota Bene On rappelle que le moment d'inertie d'un cylindre de revolution
homogene, de rayon a, de masse m, par rapport a son axe de revolution est
I = ma2 =2.
Probleme II : Mecanique des uides (note sur 10)
On considere une (( persienne )) constituee d'un grand nombre de plaques
planes Pn ; n = 1; 2; : : :, paralleles, normales au vecteur unitaire ~y, se deduisant les unes des autres par la translation T de vecteur h ~y, h etant une
constante positive (Figure 6.15.A). Ces plaques ont pour largeur a et pour
longueur b avec b tres grand par rapport a a (b a).
Le repere orthonorme direct (O ; ~x ; ~y ; ~z ) est choisi de sorte que O soit le
centre de symetrie de la plaque P0 et que le plan (O ; ~x ; ~y) coupe la plaque Pn
selon un segment Pn (Figure 6.15.B) d'equations :
8 z=0
<
: a=2y = xn h a=2
n = 1; 2; : : :
On suppose qu'a travers la persienne s'ecoule un uide parfait, incompressible,
de masse volumique constante, dont le mouvement est plan dans le plan
(O ; ~x ; ~y) et stationnaire. Le uide est suppose non pesant.
On suppose que tres loin en amont (x ! 1) l'ecoulement est uniforme de
vitesse !
V 1 = U1(~x + tan 1 ~y), et que tres loin en aval (x ! +1) l'ecoulement
est egalement uniforme de vitesse !
V 2 = U2 (~x + tan 2 ~y). On suppose que les
pressions en amont et en aval sont aussi uniformes, de valeurs respectives p1 et
p2 .
On admet que toute grandeur attachee a l'ecoulement (pression, composantes de la vitesse, ...) est une fonction de x et de y, la dependance en y etant de
periode h.
On aura a considerer dans la suite un domaine plan L admettant pour
frontieres, d'une part le prol de persienne P0 , et d'autre part une courbe
fermee L constituee de deux arcs rectilignes M10 M20 et M1 M2, le premier etant
deduit du second par la translation T , et de deux segments rectilignes M1 M10 et
363
Mecanique du solide
y
y
P2
P2
h
P1
x
O
P0
z
P
h
P1
O
P0
P
b
1
1
a
Figure A
Figure B
y
P1
M10
L
M1
M20
L
L
O L
P0
!
V2
x
M2
!
V1
P
1
Figure C
y
L
H
h
SL
L P
0
O
VL
x
z
Figure D
Fig. 6.15 - Les dierents elements de la persienne
x
364
Chapitre 6
M2 M20 d'abscisses x1 = L et x2 = +L, L etant une longueur arbitrairement
grande (Figure 6.15.C).
On note VL le volume parallelepipedique cylindrique de generatrices paralleles a (O; ~z ), de section droite le domaine plan L et limite par les deux plans
z = H=2 et z = H=2 (H > b). Enn on note SL la surface limitant VL (Figure
6.15.D).
1. Pour l'ecoulement stationnaire du uide deni dans l'enonce, ecrire sous
forme vectorielle l'equation d'Euler traduisant la loi fondamentale de
la dynamique, puis demontrer le theoreme de Bernouilli. On admettra
que pour toute quantit
Q denie dans l'espace de l'ecoulement,
! Q = e0 scalaire
l'equation ~u grad
signie que Q est constante le long des lignes de
courant.
Appliquer ce theoreme et en deduire une relation entre les grandeurs de
l'amont, celles de l'aval et la masse volumique .
2. Soit f (x; y) une fonction periodique en y de periode h. Verier que
Z
M1 M2
f (x; y)ds =
Z
M10 M20
f (x0 ; y0 )ds0
ou s et s0 sont respectivement les abscisses curvilignes le long de M1 M2
et de M10 M20 .
3. Calculer le ux de masse a travers la surface SL et montrer que U1 = U2.
Dans la suite on designera par U cette valeur commune.
4. On note !
F = Fx ~x + Fy ~y la resultante des eorts exerces par le uide sur
la partie de la persienne P0 interieure a VL (pour des raisons de symetrie
il n'y a pas de composante Fz sur ~z ).
En appliquant le theoreme du bilan global de quantite de mouvement
(partie resultante) au uide contenu dans VL, montrer que le calcul de !
F
se ramene a celui d'integrales curvilignes sur M1 M10 et M2 M20 .
5. Montrer que les composantes Fx et Fy s'expriment a l'aide de h, H , U ,
1 , 2 et naturellement de la masse volumique .
6. Montrer que la force !
F est orthogonale au vecteur
!
V = 1 (!
V +!
V ):
m
2
2 1
Repr
esenter sur une m^eme gure
les vitesses !
V 1, !
V 2, !
V m et la force
!
!
F . Quel est l'eet de la force F ?
365
Mecanique du solide
RAPPEL :
Z
Z
!
D
@ !
DT Dt U dv = Dt @t ( U )dv +
Z !!
U ( U :~n) dS
St
St
Dt
~n
Solution
Probleme I
Premiere Partie
1.a) Soient M1 et M2 deux points de (). La condition de roulement sans
glissement du rouleau (C ) par rapport au plan () impose :
~vg (C =) = !
0:
Comme le plan () est immobile dans le referentiel galileen R, on peut ecrire :
~vC (M1 ; R) = !
0 = ~vC (M2 ; R) ;
ou la notation ~vS (M; R) designe la vitesse du point M appartenant au solide S dans le referentiel R. On en deduit, en utilisant la relation du torseur
cinematique liant les points M1 et M2 du rouleau :
!
0 = ~vC (M1 ; R) = ~v|C (M{z2 ; R}) + |M1{zM!2} ^ !
(C =R);
!
!
(M1M2 ) X
0
d'ou :
!^ !
X
(C =R) = !
0:
!.
(C =R) est colineaire a X
Par consequent, !
!. Or, d'apres les notations utilisees, on a
On peut poser !
(C =R) = !(t) X
aussi !
(C =R) = _ ~z + _X~ , ce qui conduit a :
_
= !(t)
(t) = 0
car _ = 0 et (t = 0) = 0 d'apres les conditions initiales.
1.b) Le point C est le centre d'inertie du rouleau (C ) considere. La relation
du torseur cinematique, pour les points C et K du rouleau, donne :
!^ !
~vC (C; R) = ~vC (K; R) + CK
(C =R):
366
Chapitre 6
Or, le roulement a lieu sans glissement, ce qui signie que ~vC (K; R) = !
0
puisque le point K appartient a la generatrice (). On peut donc ecrire
!;
~vC (C; R) = a !(t)~z ^ X
ce qui conduit nalement a :
~vC (C; R) = a !(t)~y :
~v(C; R) s'exprime, en fonction des variables du probleme, sous la forme :
~vC (C; R) = x_ ~x + y_ ~y:
On en deduit :
x_
=
y_ =
0
a!(t) :
2. Un raisonnement analogue a celui de la question precedente donne, pour
chaque rouleau Ci :
!
(Ci =R) = !i (t)~x :
y_i
= a !i (t)
On a egalement la relation x_ i = 0, qui s'ecrit, en vertu des conditions initiales : xi = 0 .
3.a) Supposons que le mouvement de la planche (P ) et des deux rouleaux
(Ci ) s'eectue sans glissement, ce qui se traduit mathematiquement par :
~vg (P =Ci) = !
0:
En introduisant les points geometriques Ji , on peut ecrire la relation precedente
sous la forme :
~vCi (Ji ; R) = ~vP (Ji ; R):
La relation du torseur cinematique pour le rouleau Ci donne :
~vP (Ji ; R) = ~vCi (Ji ; R) = ~|vCi (C{zi ; R}) +Ji C!i ^ !
(Ci =R) = 2a!i~y:
a!i~y
De m^eme en ce qui concerne la planche (P )
~vP (J1 ; R) = ~vP (J2 ; R) + J1 !
J2 ^ !
(P =R):
!
Puisque ~vP (Ji ; R) et J1 J2 sont colineaires a ~y, il vient :
J1 !
J2 ^ !
(P =R) = !
0:
Par ailleurs, la planche reste en contact avec les rouleaux, ce qui astreint son
vecteur rotation a ^etre suivant ~z uniquement. Par consequent :
!
(P =R) = !
0 :
367
Mecanique du solide
On a ~vP (J1 ; R) = ~vP (J2 ; R), ce qui permet de trouver une relation supplementaire : !1 = !2 , qui sera utilisee de facon implicite a la question suivante.
3.b) La planche (P ) et le rouleau (Ci) sont en contact sans glissement. On
a donc :
(
0 :
~vC1 (J1 ; P ) = !
!
~vC2 (J2 ; P ) = 0
De plus,
~vP (G; R) = ~vP (J1 ; R) + !
(P =R) ^ J1!
G = ~vP (J1 ; R):
D'apres les calculs eectues a la question 3.a), il s'ensuit que
!
~vP (G; R) = 2a !i~y = dtd OG
R
:
Compte tenu de la condition initiale = 0 nous en deduisons :
=
_ (t) =
0
2a !(t)
ou on a pose !1 (t) = !(t) = !2 (t).
3.c) D'apres la question 2., on a y_i = a !. A l'aide de la question precedente, on en deduit la relation :
y_1 = 2_ = y_2 :
Avec comme conditions initiales
(t = 0) = 0; y1 (t = 0) = l=2; y2 (t = 0) = l=2;
l'integration de ces deux equations conduit a :
8
>
< y1 = (2t) l=2
:
>
: y2 = (t) + l=2
2
3.d) On peut ecrire par exemple :
!
Ji!
G = Ji C!i + Ci!
O + OG
pour i = 1; 2, ce qui permet d'obtenir :
8 !
>
< J1G
>
: J2!G
=
l 2 + 2 ~y
l :
2 + 2 ~y
On constate que J1 !
J2 = l~y d'ou l'on conclut :
les deux rouleaux (C1 ) et (C2 ) restent a une distance constante l
au cours du mouvement du systeme.
=
368
Chapitre 6
Deuxieme Partie
1.a) La planche (P ) est soumise a son poids M~g et aux eorts de contact !
Ri
avec chacun des deux rouleaux (Ci ). Le principe fondamental de la dynamique,
applique a la planche (P ) dans le referentiel R suppose galileen, donne :
0 !1
d2 OG
! !
M @ dt2
A
R
= M~g
R 1 R 2:
D'apres la question 3. de l'etude cinematique, on a :
! = ~y + 2a~z:
OG
On en deduit par projection sur les axes ~x; ~y; ~z, les equations:
M  = Mg sin Y1 Y2
0 = X1 + X2
0 = Mg cos + N1 + N2
(E )
(1) :
(2)
1.b) Le theoreme du moment cinetique, applique au point G et a la planche
(P ) dans le referentiel R suppose galileen, donne :
d !
!
!
!
dt L P (G; R) R = Mpoids (G) + M( R~ 1 ) (G) + M( R~ 2 ) (G):
! (G) = !
Or, M
0 puisque G est le centre d'inertie de la planche (P ).
poids
Les eorts de contact de (P ) sur (Ci ) sont modelises par un glisseur de
moment nul en Ji , d'ou :
! (G) = M
! (J ) +GJ! ^ ( !
M
R i ):
i
R~ i ) i
( R~ i )
(
| {z }
!
=0
Le calcul du moment cinetique !
L P (G; R) peut ^etre mene en utilisant le theoreme de Knig entre les referentiels R et R :
!
! ^ M~v (G; R):
L P (G; R) = !
L P (R ) + |{z}
GG
P
!
=0
Or, la planche (P ) est immobile dans le referentiel R . On a donc :
!
L P (G; R) = !
0;
ce qui permet d'ecrire le theoreme du moment cinetique sous la forme :
GJ!1 ^ !
R 1 + GJ!2 ^ !
R2 = !
0 :
369
Mecanique du solide
En developpant cette expression sur les axes ~x; ~y; ~z, on arrive a
(l=2 + =2)N1 = (l=2 =2)N2
(l=2 + =2)X1 = (l=2 =2)X2
(3) :
(4)
1.c) La combinaison des equations (1) et (4) donne :
X1 = 0 = X2 :
Les equations (2) et (3) permettent quant a elles d'ecrire :
8 >
< N1
>
: N2
( l)Mg cos 2l
:
cos = ( + l)2Mg
l
2. Chaque rouleau Ci est soumis a son poids m~g et aux actions de contact
!
R i de la planche et !
R i du plan (). On peut ecrire, en appliquant le theoreme de la resultante dynamique au rouleau (Ci ) dans le referentiel R suppose
galileen :
1
0
=
2 !i
A = m~g + !
Ri + !
Ri:
m @ d dtOC
2
R
En projetant sur les axes ~x; ~y; ~z, on obtient :
m  = mg sin + Yi + Y (Ei )
i
2
:
mxi = Xi + Xi
0 = mg cos + Ni + Ni
En utilisant les resultats de la question precedente et de la question 2. de l'etude
cinematique, on trouve nalement
8 X1
>
>
>
< X2
N1
>
>
>
: N2
= 0
= 0
(
l
)
= g cos m M 2l
:
= g cos m + M ( 2+l l)
3. Le theoreme du moment cinetique applique au rouleau (Ci ) au point Ci
dans le referentiel R galileen s'ecrit :
!
d !
! (C ) + M
! ~ (C ):
(
C
;
R
)
L
=
M
(
C
)
+
M
i
C
poids
i
~i ) i
(Ri ) i
i
R
(
dt
R | {z }
!
=0
car Ci est le centre d'inertie du rouleau (Ci ).
370
Chapitre 6
Le moment cinetique !
L Ci (Ci ; R) peut se calculer comme a la question 1.b),
en utilisant le theoreme de Knig et en remarquant que dans le referentiel
barycentrique attache au rouleau (Ci ), le mouvement est une rotation autour
de l'axe xe i = (Ci ; ~x ) a la vitesse !i :
2
!
L Ci (Ci ; R) = I !!i = ma2 !i ~x:
L'expression des moments des actions de contact au point Ci est obtenue
comme a la question 1.b), en introduisant les points Ji et Ii :
d ma2 ! ~x = C !
!
!I ^ !
J
^
R
+
C
i
i
i
i
i R i:
i
dt 2
R
D'apres les questions 2. et 3.c) de l'etude cinematique, on a les relations :
!i = ay_ i = 2a_ ;
ce qui permet, apres projection sur les axes ~x; ~y; ~z, d'obtenir :
m  = Y Y (F ) :
i
i
i
4
On remarque que l'une des equations obtenues apres la projection redonne la
relation Xi = Xi , ces quantites etant nulles d'apres la question 1.c.
4. On a desormais a notre disposition 5 equations :
8 M 
>
< m
>
: m2
= Mg sin Y1 Y2
(E )
= mg sin + Yi + Yi (Ei ) i = 1; 2
= Yi Yi
(Fi ) i = 1; 2
4
et cinq inconnues a determiner : , Y1 ; Y2 ; Y1 et Y2 . Les combinaisons (E1 ) +
(F1 ) et (E2 ) + (F2 ) permettent de determiner une expression de Y1 + Y2 en
fonction de . L'utilisation de cette expression dans l'equation (E ) conduit a :
M + m)
 = 4(
4M + 3m g sin :
Puisqu'a t = 0, _ = 0 et = 0, on obtient par integration:
M + m)
2
= 2(
4M + 3m (g sin )t :
5. La determination complete des eorts de contact s'eectue en remplacant
 par son expression dans les dierentes equations de la question 4.. On trouve
371
Mecanique du solide
en denitive :
8 X1
>
>
>
>
X1
>
>
>
>
Y1
>
>
>
>
>
< Y1
>
N1
>
>
>
>
>
N2
>
>
>
>
N1
>
>
>
: N
= 0 = X2
= 0 = X2
mg sin m + 3M = Y2
= 3m
2
+ 4M
sin = 2(3mg
m + 4M ) = Y2
= g cos m M ( 2l l)
(
+
l
)
= g cos m + M 2l
cos = ( l)Mg
2l
( + l)Mg cos 2 =
2l
6. D'apres l'etude cinematique menee dans la premiere partie, le probleme
etudie!ne comporte qu'un seul degre de liberte : la seule donnee de (t) (deni
par OG = (t)~y + 2a~z) sut pour conna^tre le mouvement du systeme (S ),
compose de la planche (P ) et des deux rouleaux (C1 ) et (C2 ). Il est alors tentant
d'appliquer le theoreme de l'energie cinetique dans un referentiel (R0 ) :
dEc(R0 ) = P (R0 ) + P (R0 ) ;
ext
int
dt
car ce theoreme est particulierement ecace dans le cas de systemes, m^eme
complexes, ne comportant qu'un seul degre de liberte. Cependant, il faut choisir
convenablement le referentiel (R0 ) et le systeme auquel on applique le theoreme,
an de s'aranchir du calcul des puissances des forces inconnues (ici les actions
de contact).
Un premier systeme serait la planche (P ) seule dans le referentiel R. On
constate cependant en ecrivant les dierentes puissances
mises en jeu qu'il est
necessaire de conna^tre les actions de contact !
R i entre la planche et les deux
rouleaux.
On peut alors considerer le systeme (S ) deni precedemment. Les forces
exterieures a (S ) sont le poids et les actions de contact entre les rouleaux et
le plan (). Les forces interieures au systeme sont les actions de contact de
la planche sur les rouleaux, et des rouleaux sur la planche, dont la puissance
n'est a priori pas nulle. Le theoreme de l'energie cinetique, applique dans le
referentiel galileen R a (S ) a pour expression :
dEc(R) = P (R) + P (R)
ext
int
dt
(R) + P (R) + P (R) + P (R) :
(
R
)
= PP$C1 + PP$C
poids
!C2
!C1
2
372
Chapitre 6
Les hypotheses de contact sans glissement et de moment des eorts de contact
nul au point de contact (cette derniere hypothese etant equivalente a la possibilite de roulement sans frottement de roulement) permettent d'ecrire:
!
! (J ) !
!
(R)
PP$C
1 =P ) + |M 1{z
1} (C1 =P ) = 0
1 = R 1 ~|vg (C{z
}
!
!
0
0
!
!
(
R
)
PP$C2 = R 2 ~|vg (C{z2 =P}) + |M 2{z(J2}) !
(C2 =P ) = !
0
!
!
0
0
! (I ) !
!
I1 ; R}) + |M
R 1 ~|vC1 ({z
P(R!)C1 = !
1{z 1} (C1 =R) = 0
!
!
0
0
!
!
(
R
)
I2 ; R}) + |M 2{z(I2}) !
P!C2 = R 2 ~|vC2 ({z
(C2 =R) = !
0:
!
!
0
0
Le theoreme de l'energie cinetique se resume ainsi a :
dEc(R) = P (R) ;
poids
dt
ce qui va nous permettre de retrouver de facon plus simple le resultat de la
question 4..
Le calcul de l'energie cinetique du systeme peut s'eectuer par :
Ec(R) = 21 M (_ )2 + EcC(R1 ) + EcC(R2 ) :
En utilisant le theoreme de Knig, on obtient :
EcC(Ri ) = 12 m(y_i )2 + EcC(Ri i )
ou Ri est le referentiel barycentrique attache au rouleau (Ci ). Dans son referentiel barycentrique, le mouvement du rouleau (Ci ) est un mouvement de
rotation autour de l'axe xe i = (Ci ; ~x ) a la vitesse angulaire !i . On a donc :
2
2
EcC(Ri ) = 12 m(y_i )2 + 12 I!i2 = 21 (I + ma2 )!i2 = 3ma
4 !
d'apres la relation y_i = a! deduite de la partie cinematique. En utilisant de
plus la relation _ = 2a! provenant de la question 3.b) de la premiere partie,
il vient :
3m (_ )2 :
Ec(R) = 4M +
8
Quant a la puissance du poids, on peut la determiner en decomposant le
systeme en ses dierents elements :
(R) = M~g ~v (G; R) + m~g ~v (C ; R) + m~g ~v (C ; R)
Ppoids
C2 2
P
C1 1
373
Mecanique du solide
= g sin _ [M + m] :
L'application du theoreme de l'energie cinetique permet d'ecrire, en simpliant
membre a membre par _ qui est non nul au cours du mouvement :
(M + m) :
 = 4g sin
4M + 3m
Remarque : on aurait pu egalement calculer l'energie cinetique de chacun des deux rouleaux en utilisant le mouvement helicodal tangent de chaque
rouleau, qui est une rotation d'axe xe (Ii ; ~x ) et de vitesse angulaire !i . L'expression du moment d'inertie par rapport a cet axe peut ^etre obtenue gr^ace au
theoreme d'Huyggens a partir du moment d'inertie par rapport a i que l'on
conna^t. Cette remarque est d'ailleurs valable pour l'ensemble des calculs des
elements cinetiques des rouleaux eectues dans ce probleme.
Probleme II
1. Dans le cas le plus general, l'equation d'Euler s'ecrit :
@~v ! ! p+ !
+ ~v r ~v = grad
F ext
@t
pour un uide de masse volumique soumis a des forces exte!
rieures de resultante !
F ext . L'operateur gradient est note indieremment grad ou !
r . Dans
le cas qui nous interesse, le uide est suppose non pesant et n'est soumis a
aucune force exterieure ; on se place de plus en regime stationnaire. L'equation
d'Euler se met alors sous la forme :
! p:
~v !
r ~v = grad
Le uide considere etant incompressible, sa densite est constante, ce qui permet
d'ecrire :
!
! p :
~v r ~v = grad
La demonstration du theoreme de Bernouilli necessite l'utilisation de la formule d'analyse vectorielle :
! 1 !
! ~v r ~v = 2 grad (~v2 ) + rot
~v ^ ~v
qui permet d'exprimer l'equation d'Euler sous la forme :
! ~v2 + p + rot
! ~v ^ ~v = !
0:
grad
2 374
Chapitre 6
h
i
! ~v ^ ~v , nous pouvons aussi ecrire :
Comme ~v ? rot
~v2 p !
~v grad
+ = 0;
2 d'ou la forme usuelle de la relation de Bernouilli :
~v2 + p = constante
2
le long d'une ligne de courant :
L'application du theoreme de Bernouilli necessite de choisir une ligne de
courant dans l'ecoulement considere. Dans le cas qui nous interesse, on peut
choisir n'importe quelle ligne de courant joignant la zone (x ! 1) en amont
de la persienne a la zone (x ! +1) en aval de la persienne. Pour cette ligne
de courant, le theoreme de Bernouilli donne :
!
V 1 + p = !
V 2 +p
1
2
2
2
2
2
ce qui peut encore s'ecrire, en fonction des donnees du probleme :
U12 (1 + tan2 ) + p = U22 (1 + tan2 ) + p :
1
1
2
2
2
2
2. En eectuant le changement de variables x0 = x et y0 = y + h, il vient :
Z
M1 M2
f (x; y) ds =
Z
M10 M20
f (x0 ; y0 h) ds0 ;
avec (ds0 )2 = (dx0 )2 +(dy0 )2 = dx2 + dy2 = ds2 . La fonction f etant periodique
en y de periode h, on a :
Z
M1 M2
f (x; y) ds =
Z
M10 M20
f (x0 ; y0 ) ds0
avec les m^emes sens d'orientation pour les arcs M1 M2 et M10 M20 .
3. Soit m le ux de masse a travers SL. Il s'ecrit, par denition :
ZZ
ZZ
! = !
V ~n dS
V dS
m = !
SL
SL
ou ~n est oriente vers l'exterieur de la surface SL , le vecteur !
V etant le vecteur
densite de courant de masse.
En developpant l'integrale precedente conformement aux notations des gures 6.15.C et 6.15.D, on a :
m =
Z z=H=2 Z
z= H=2
dz
L
!
V ~n ds =
Z H=2
H=2
dz
Z
M1 M2
!
V ~n1 ds1
375
Mecanique du solide
+
Z
Z
!
V
~
n
ds
+
2 2
0
M2 M2
Z
!
V
~
n
ds
+
3 3
0
M20 M1
M10 M1
!
V ~n4 ds4
#
ou ~ni ; i = 1; 2; 3; 4 est un vecteur unitaire perpendiculaire a l'arc d'integration
considere, dirige vers l'exterieur de SL . dsi est oriente positivement selon les
conventions de la gure 6.16 (~n2 et ~n4 sont paralleles a Ox).
y
P1
~n3
~n4
M10
s4
P0
s1
M1
P
s3
M20
s2
O
x
M2
~n1
1
~n2
Fig. 6.16 - Les orientations des vecteurs unitaires ~ni et des abscisses curvi-
lignes le long de la courbe L .
Z
Les grandeurs considerees sont toutes periodiques en y de periode h, d'ou :
M1 M2
Z
!
V |{z}
~n3 ds3 =
0
Z
!
V ~n1 ds1 +
M20 M1
M1 M2
= ~n1
V? ds1
Z
V? |{z}
ds3
Z= ds1
V? ds1
V ds
0 0 ? 1
M20 M10
Z
=
M1 M2
= 0
M1 M2
d'apres la question 2..
De plus, L est une longueur tres grande devant toutes les autres longueurs
du probleme. On peut alors considerer que l'on a :
(
Ainsi,
m =
Z H=2
H=2
dz
sur l'arc M2 M20 ,
sur l'arc M10 M1 ,
Z
V ds +
0 2x 2
M2 M2
!
V '!
V2
!
!
V 'V :
1
Z H=2
H=2
dz
Z
M10 M1
( V1x )ds4
puisque le long de l'arc M2M20 , ~n2 = ~ex et le long de l'arc M10 M1, ~n4 = ~ex, les
grandeurs ds2 et ds4 etant orientees conformement a la gure 6.16. Le ux de
376
Chapitre 6
masse a travers SL s'ecrit donc :
m = Hh(U2 U1 ) :
En regime stationnaire, la conservation de la masse contenue dans le volume
VL entoure par SL , impose la relation :
0 = dm
dt = m ;
ou m est la masse de uide contenue dans le volume VL . On en deduit :
U1 = U = U2 :
4. Les forces ressenties
par le uide contenu dans VL sont !
F exercee par
!
la persienne P0 et pdS sur chaque element de surface dS de SL . Ce dernier
terme resulte des forces de pression
exercees par le uide exterieur sur le uide
! orient
interieur au volume VL avec dS
e vers l'exterieur du volume VL .
Le theoreme du bilan global de quantite de mouvement, applique au uide
contenu dans VL , donne :
D
Dt
ZZZ
VL
! ZZ
!
V d = F + Or, d'apres le rappel, on a, en regime permanent :
D
Dt
ZZZ
VL
!
pdS:
SL
ZZZ @ ! ZZ ! ! V + V V ~n dS
VL |@t {z }
SL
!
V d =
=!
0
ce qui conduit a l'expression de !
F:
ZZ
ZZ
!
V !
V ~n dS p dS ~n
F = !
SL
SL
ou ~n est oriente vers l'exterieur du volume VL .
Le calcul des dierents termes s'eectue selon une methode analogue a celle
utilisee a la question 3. :
Z H=2 "Z
!
!
dz
V ( V ~n) dS =
ZZ
H=2
SL
Z
!
( V ~n2 ) ds2 +
M1 M2
!
V (!
V ~n1 ) ds1
Z
!
!
V ( V ~n3 ) ds3 +
0
M20 M1
M10 M1
Z
M2 M20
!
V
!
V (!
V ~n ) ds
4
#
4
avec les orientations de la gure 6.16. Cette expression se simplie composante par composante pour les m^emes raisons qu'a la question 3., ce
qui permet d'ecrire :
"Z
!
!
V ( V ~n)dS = H
ZZ
SL
Z
!
!
V ( V ~ex )ds2 +
0
M2 M2
M10 M1
!
V (!
V ( ~ex))ds4
#
377
Mecanique du solide
ZZ
p dS~n =
SL
Z H=2 "Z
H=2
dz
+
Z
M1 M2
M20 M10
p~n1 ds1 +
p~n3 ds3 +
Z
Z
M2 M20
M10 M1
p~n2 ds2
#
p~n4 ds4 :
Cette expression se simplie egalement par un traitement analogue a celui
de la question 3. :
ZZ
p dS~n = H
SL
"Z
M2 M20
#
Z
p~ex ds2
M10 M1
p~ex ds4 :
En regroupant nalement les dierents termes, il vient :
Z
!
F=
M10 M1
Z
!
!
H p~ex + V ( V ~ex) ds4
!
!
H p~ex + V ( V ~ex) ds2 :
0
M2 M2
5. On peut considerer, comme a la question 3., que
(
sur l'arc M10 M1, !
V '!
V 1 et p ' p1
!
!
0
sur l'arc M2 M2, V ' V 2 et p ' p2 :
Par projection sur ~ex et ~ey de la relation obtenue a la question precedente, et
en utilisant l'expression de la quantite (p2 p1) deduite la question 1., il vient :
8
< Fx
:F
2
tan2 2 tan2 1
= HhU
2
y = HhU 2 (tan 1 tan 2 )
On peut s'etonner de trouver que la force depend de H qui est le c^ote a priori
arbitraire du volume de contr^ole VL . Le probleme vient de ce que l'on a suppose a la question 4. que les integrales curvilignes sur M1 M10 et M2 M20 sont
invariantes par translation d'axe z . Cela n'est correct que pour H ' b (avec
toujours H > b), c'est-a-dire H b H . Dans ces conditions, F depend
lineairement de H!
, c'est-a-dire de b. !
6. Le vecteur V m = (1=2) ( !
V 1 + V 2 ) a pour composantes sur la base ~ex
et ~ey :
8
< Vmx = 12 (U1 + U2) = U
: Vmy = U (tan 1 + tan 2):
2
Le
calcul du produit scalaire !
F !
V m montre que !
F est bien orthogonale a
!
V m.
378
Chapitre 6
!
F
y
P0
!
V2
!
Vm
x
!
V1
Fig. 6.17 - Les directions des vitesses V~1 , V~2 , V~m et de la force F~
L'eet de la force !
F est de fermer la persienne, c'est-a-dire de positionner
les plaques Pn perpendiculairement a la direction moyenne de l'ecoulement
du uide, ce qui correspond bien au r^ole protecteur d'une persienne. En toute
rigueur, il faudrait calculer le moment des forces plut^ot que la resultante !
F pour
pouvoir conclure quant au r^ole protecteur des persiennes: : :