TD C5 - Correction 1 Propagation d`une onde dans le plasma
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1 PSI - 2012/2013 TD C5 - Correction 1 Propagation d'une onde dans le plasma interstellaire 2 TD C5 - Correction 5. On utilise la notation ωp 2 = c2 K 2 La propagation au sein du plasma est possible lorsque le vecteur d'onde k est réel, donc pour k 2 > 0, soit ω > ωp Dans cette zone de transparence , on a : La vitesse de phase vaut alors : k=± √ ω 2 −ωp 2 c √ ωc ω =√ vφ = |k| ω 2 − ωp 2 soit vφ = c 1+ K2 k2 On en déduit vg en diérenciant la relation de dispersion : 2k dk = 2ω dω c2 soit La vitesse de groupe vaut donc : vφ vg = c2 c vg = √ 1+ K2 k2 6. Les trains d'onde se déplacent à la vitesse de groupe. Le décalage temporel est donc : √ δt = t2 − t1 = L L L − = vg2 vg1 c √ 2 1+ K2 λ2 4π 2 − 2 1+ K2 λ1 4π 2 Avec l'approximation de l'énoncé (qui correspond à ω1 ≫ ωp et ω2 ≫ ωp ), on obtient : δt = ) K 2L ( 2 λ2 − λ1 2 2 8π c 3 PSI - 2012/2013 3 Propagation d'ondes longitudinales dans un plasma 1. L'onde est plane : à t xé, le champ est uniforme dans les plans x = cste. → : terme de phase en ωt − kx. L'onde est progressive selon − u x L'onde est monochromatique (variations sinusoïdales avec t). → − L'onde est longitudinale, puisque E //⃗k. Pour une onde plane progressive monochromatique, l'équation de Maxwell-Faraday conduit à: − → − → ⃗k ∧ E B = ω − → − → → − − → Le champ E étant colinéaire à k , le produit vectoriel est nul, de sorte que B = 0 Le champ magnétique est donc nul pour cette onde longitudinale. 2. Avec les mêmes approximations qu'en cours, le PFD conduit à : → − → d− ve m = −e E dt − → → En négligeant le mouvement des ions, le vecteur densité de courant vaut j = −n0 e− ve . Il vient : − → → ∂j ∂− ve = −n0 e ∂t ∂t − → → ∂j n0 e2 − = E ∂t m soit 3. L'équation de Maxwell-Ampère : − → → ∂E → − − →− rot B = µ0 j + µ0 ε0 ∂t donne ici : → − ∂E − → − → j + ε0 = 0 ∂t 4. En combinant les deux équations précédentes, on obtient l'équation aux dérivées partielles − → vériée par E : − → → − ∂2 E n0 e2 − → + E = 0 ∂t2 ε0 m → − Pour obtenir la relation de dispersion, on injecte l'expression de E dans cette équation. On obtient : √ ω 2 = ωp 2 avec ωp = n0 e2 ε0 m Cette relation implique que la pulsation ω est égale à une constante. Par conséquent, la vitesse de groupe vaut : vg = dω =0 dk 4 TD C5 - Correction Ainsi u + ec = cste : de l'énergie est sans cesse échangée entre les charges et le champ électromagnétique. Le champ accélère les charges, qui rayonnent ensuite de l'énergie. 4 Propagation dans un métal - eet de peau → − 1. Le rapport des amplitudes du "courant de déplacement" ε0 ∂∂tE et du courant de conduction − → − → j = γ E est donné par : → − ∂E ||ε0 || ∂t = ε0 ω = 2πε0 ν − → γ γ ||γ E || Ce rapport reste très inférieur à 1 pour des fréquences inférieures à 10−18 Hz, ce qui sera toujours le cas pour les fréquences des phénomènes usuels (même en optique, domaine pour lequel les ondes ont une fréquence de 1014 Hz environ) : − → ∂E ||ε0 || ∂t − → ≪1 ||γ E || On notera toutefois que ceci ne sera plus vrai pour des rayons X ou des rayons gamma, dont la fréquence est encore plus élevée 2. (a) Écrivons les équations de Maxwell dans le métal en négligeant le courant de déplacement devant le courant de conduction, en notation complexe : − → → ik − ux· B =0 − → → (M G) ik − ux· E =0 − → − → → (M F ) ik − u x ∧ E = iω B − → − → → (M A) ik − u ∧ B = µ γE (M T ) x 0 5 PSI - 2012/2013 → − L'équation de Maxwell-Faraday permet d'écrire le champ magnétique B sous la forme : − → k− → →∧− B = u E x ω En réinjectant cette expression dans celle de l'équation de Maxwell-Ampère, on obtient : i ( k 2 [− →)] → − →∧ − →∧− u u E = mu0 γ E x x ω En développant le double produit vectoriel, on obtient : k2 −i = µ0 γ ω La relation de dispersion est donc donnée par : k 2 = iµ0 γω (b) On en déduit que le vecteur d'onde est donné par : √ ( ) π µ0 γω 1 i √ k = ±e 4 µ0 γω = ±(1 + i) =± + 2 δ δ i √ 2 . µ0 γω où δ = Pour une onde se propageant dans le sens des x croissants, on ne garde que la solution "+". En remplaçant dans l'expression du champ, on obtient directement, en prenant la partie réelle du champ complexe : ( x) − → → E = E0 exp − exp [i (k0 x − ωt)] − uz δ 1 où k0 = . δ La grandeur δ est appelée profondeur de pénétration car cette grandeur est homogène à une distance, et correspond à la profondeur typique au-delà de laquelle le champ devient nul dans le conducteur. La profondeur de peau reste toujours relativement faible aux fréquences usuelles en électrocinétiques. On remarque que plus la fréquence est grande, plus l'épaisseur de peau est faible. Pour la réexion d'une onde lumineuse sur un miroir, celle-ci est pratiquement nulle. Pour un métal de conductivité innie, δ tend vers 0 : le champ est nul dans un conducteur parfait. 6 6 Couche anti-reet TD C5 - Correction PSI - 2012/2013 7
