CHAPITRE 12 Lois de probabilité à densité

CHAPITRE 12 − Lois de probabilité à densité ( Deux premiers exemples )
1/ QUELQUES GENERALITES
11/ Variables aléatoires continues
Jusqu'à présent ( programme de la classe de première ) , chaque expérience aléatoire amenait une variable aléatoire discrète, ( à
savoir, dont le nombre de valeurs possibles était fini : x1 , x2 , x3 , . . . , xn ).
Dans ce cas, on définissait la loi de probabilité en donnant les probabilités : P (X = x 1 ),P ( X = x 2 ),P (X = x 3 ),Let P (X = x n ) .
Résultats résumés par ailleurs dans un tableau.
Il arrive néanmoins que les valeurs prises par une variable aléatoire puissent être n'importe quel nombre réel d'un intervalle I de .
Exemples
Durée ( exacte ) d'une communication téléphonique.
Durée de vie d'un appareil électrique, d'un composant électronique.
Durée du service, à la caisse d'un supermarché d'alimentation.
Valeur d'un réel choisi au hasard entre 0 et 1.
Poids ( exact ) d'un objet fabriqué sur une chaine de production.
Taille ( exacte ) d'une femme dans la population mondiale.
Dans ce cas :
X est une variable aléatoire continue.
Il n'est plus question de définir la loi de probabilité de X sur I, en donnant les probabilités de chaque élément de I ,car :
X ( Ω ) contient une infinité de valeurs.
De telles probabilités sont d'ailleurs nulles.
On définit alors la loi de probabilité de X en donnant la probabilité pour que X appartienne à un intervalle [ a , b ] de I .
12/ Densité et loi de probabilité de densité f sur un intervalle I ( théorie )
DEF Soit I un intervalle inclus dans .
On appelle densité de probabilité sur I, toute fonction f définie sur I vérifiant les trois conditions suivantes :
(1) f est continue sur I.
(2) f est positive ou nulle sur I.
(3) L'aire située sous Cf sur I est égale à 1.
Autrement dit : f (x ) dx .
∫
Exemples
I
9x 2 + 1
. Montrer que f est une densité de probabilité sur [ 0 , 2 ].
26
1
2) Soit g définie sur [ 1 , + ∞ [ par : g (x ) = 2 . Montrer que g est une densité de probabilité sur [ 1 , + ∞ [ .
x
1) Soit f définie sur [ 0 , 2 ] par : f (x ) =
DEF Soit f une densité de probabilité sur un intervalle I de . Soient α et β deux éléments de I .
Soit X une variable aléatoire continue dont les valeurs sont dans I , et telle que : P ( X ∈ [ α ,β ] ) =
On dit que X suit une loi continue à densité f sur I .
Dans ce cas, l'espérance associée est définie par : E (X ) =
∫ x f (x ) dx
I
β
∫ f (x ) dx .
α
Illustration
P ( X ∈ [ α ,β ] )
Cf
r
j
r
i
O
β
α
I
PROP
Soit X une variable aléatoire continue, suivant une loi à densité f sur I .
Pour tous réels α et β de I, on a :
*P(X=α)=0
*P(X>α)=1−P(X≤α)
* Dans les calculs de probabilités, on peut remplacer des
*P(α<X<β)=P(X<β)−P(X≤α)
inégalités strictes par des inégalités larges et réciproquement.
Exemples
Soit X la variable aléatoire suivant la loi à densité g sur [ 1 , + ∞ [ ( ex. 2) précédent )
Calculer : P ( X = 3 ) , puis P ( X ∈ ] 2 , 10 [ ) , puis P ( X ≥ 5 ).
2/ LOI DE PROBABILITE UNIFORME SUR [ a , b ]
Soit I l'intervalle [ a , b ] , avec a et b réels tels que a < b .
Le choix au hasard ( ou tirage au sort ) d'un élément x de I se modélise par la loi continue sur I, dont la densité est constante. L'aire
1
sous la courbe ( sur [ a , b ] ) devant être égale à 1, cette constante est égale à
.
b −a
DEF
On appelle loi uniforme sur I = [ a , b ] , la loi de probabilité continue sur I , dont la densité est la fonction constante égale à
1
b −a
1
, pour tout x ∈ [ a , b ] ).
b−a
β
1
β−α
On a alors : P ( X ∈ [ α ,β ] ) =
. On dit que X suit la loi uniforme sur [ a , b ].
dx =
α b−a
b−a
( autrement dit : f (x ) =
∫
En effet :
P ( X ∈ [ α ,β ] ) = ∫
β
α
1
1 β
1
dx =
1 dx =
[x ]βα = β − α
∫
α
b −a
b −a
b −a
b −a
PROP
Soit X la variable aléatoire suivant la loi uniforme continue sur [ a , b ]. Alors , E (X ) =
Démonstration
E (X ) =
∫
b
a
1
x f (x ) dx =
b−a
∫
b
a
b+a
.
2
b
1  x2 
1
b2 − a 2 b + a
x dx =
×
=
.
  =
b − a  2 a b − a
2
2
Exemples 1/ On choisit un réel quelconque , au hasard dans [ − 2 , 5 ]. On note X la valeur du réel choisi.
X est donc une variable aléatoire continue ( elle peut prendre toutes les valeurs réelles comprises entre − 2 et 5 .
X suit la loi uniforme sur [ − 2 , 5 ] , car le choix du réel est fait au hasard.
Calcul : La probabilité de choisir un nombre réel compris entre 1 et 4 est égale à : P ( X ∈ [ 1, 4 ] ) =
Remarque : P ( X ∈ [ 1, 4 ] ) = P ( X ∈ ]1, 4 [ ) , car : P (X = 1) = P ( X = 4 ) = 0.
4 −1 3
= .
5+2 7
2/ Christophe vient tous les matins chez Karine entre 7 h et 7 h 45 pour prendre un café. On sait qu'il ne vient jamais en
dehors de cette plage horaire et qu'il peut arriver à tout instant avec les mêmes chances.
On note X l'heure d'arrivée de Christophe.
X suit la loi uniforme sur [ 7 ; 7,75 ] , car Christophe ne vient jamais en dehors de cette plage horaire et il peut arriver à
tout instant avec les mêmes chances.
Calcul : La probabilité pour que Christophe arrive entre 7 h ¼ et 7 h ½ est égale à :
7,5 − 7,25 0,25 1
P ( X ∈ [ 7,25 ; 7,5 ] ) =
=
= .
7,75 − 7 0,75 3
E(X)=
7 + 7,75 59
= = 7,375. Donc, en moyenne, on peut espérer que Christophe arrivera à 7 h 22 min 30 s.
2
8
3/ LOI EXPONENTIELLE
+
La durée de vie d'un appareil est une variable aléatoire T continue , prenant ses valeurs dans .
Si on suppose que cette durée de vie ne dépend pas du temps pendant lequel l'appareil a déjà fonctionné ( on dit que la durée de vie
est sans vieillissement ) ( Voir propriété dans ce § ) , on démontre que la loi de probabilité de T admet une densité f de la forme :
+
f (x ) = λe − λ x , avec x ∈ et λ réel positif non nul.
TH & DEF
+
On appelle loi exponentielle de paramètre λ , la loi continue admettant pour densité la fonction f définie sur par : f (x ) = λe − λ x où
λ est un réel strictement positif fixé. α et β sont deux réels positifs.
β
[
Soit T une variable aléatoire qui suit une telle loi exponentielle , alors : P ( T ∈ [ α ,β ] ) = ∫ λe − λ x dx = − e − λ x
α
PROP
+
Soient λ ∈ et α ∈ . Si T suit une loi exponentielle de paramètre λ , alors :
Démonstration
]
β
α
= e − λα − e − λβ
* P ( T < α ) = 1 − e − λα
* P ( T > α ) = e − λα .
* P ( T < α ) = P ( 0 < T < α ) = e 0 − e − λα = 1 − e − λα
* P ( T > α ) = 1 − P ( T < α ) = 1 − ( 1 − e − λα ) = e − λα .
PROP Durée de vie sans vieillissement
+
Soit λ ∈ . Si T suit une loi exponentielle de paramètre λ , alors pour tous réels s et t :
P(T ≥t ) ( T ≥ t + s ) = P ( T ≥ s
)
Sachant que l'appareil a déjà fonctionné t années, la probabilité pour qu'il fonctionne encore s années supplémentaires est la même
que la probabilité qu'il vive au moins s années à partir de sa première mise en fonctionnement.
L'appareil fonctionne sans mémoire du temps d'usage déjà écoulé.
Démonstration :
P(T ≥t ) ( T ≥ t + s ) =
P ((T ≥ t + s ) ∩ (T ≥ t )) P ( T ≥ t + s ) e −λ (t + s )
=
= − λt = e − λ t − λ s + λ t = e − λ s = P ( T ≥ s
P( T ≥ t )
P( T ≥ t )
e
PROP Si T suit une loi exponentielle de paramètre λ , alors E (T ) =
Démonstration
E (T ) = ∫
IR +
1
.
λ
x f (x ) dx avec f (x ) = λe − λ x . Donc : E (T ) = ∫
IR +
λx e −λx dx .
Posons E k (T ) = ∫ λx e −λx dx . Exprimons E k (T ) en fonction de k, puis faisons tendre k vers + ∞ .
k
0
On considère la fonction g définie sur par : g (x ) = λxe − λx .
+
)
On peut supposer que g admet une primitive de la forme : G(x ) = (Ax + B )e − λx , où A et B sont deux réels à
déterminer.
(
)
G est dérivable sur et on a : G ' (x ) = Ae − λx + (Ax + B ) − λe − λx = (− λAx + A − λB )e − λx = g ( x )
A
1
Si et seulement si : − λA = λ , soit A = − 1 et A − λB = 0 , soit B = = − .
λ
λ
1

+
On en déduit que g admet sur une primitive G telle que : G(x ) =  − x − e − λx
λ

+
k


1
1
1 − kλe − kλ − e −kλ + 1

Alors : E k (T ) =  − x − e −λx  =  − k − e −kλ + =
λ
λ
λ
λ

0 
Lim − kλe −kλ = Lim Xe X = 0 et
k →+∞
X →−∞
Lim − e −kλ = Lim − e X = 0 . On trouve : Lim E k (T ) =
k →+∞
DEF La médiane est la valeur Me telle que : P ( T ∈ [ 0 , Me ] ) =
k →+∞
X →−∞
1
2
Remarque :
Si T désigne la durée de vie d'un atome radioactif, Me représente la demi-vie.
Cf
On a : A1 = A2
A1
A2
r
j
O
1
= E (T ) .
λ
r
i
Me
Exemple1
La durée T en minutes d'une communication téléphonique urbaine suit une loi exponentielle de paramètre 0,8.
1/ Calculer la probabilité pour qu'une communication dure entre 3 min. et 5 min.
2/ Calculer la probabilité pour qu'une communication dure plus de 4 min.
3/ Quelle est, dans ce cas, la durée moyenne en minutes d'une communication téléphonique ?
Exemple2
La durée en jours d'une plongée effectuée par un sous−marin nucléaire est modélisée par une variable aléatoire T de
loi exponentielle. En consultant les livres de bords, on constate que 88 % des plongées ont duré plus de 6 jours.
−
1/ Déterminer à 10 2 près, le paramètre de la loi exponentielle.
2/ Calculer la probabilité pour qu'une plongée dure plus de 3 jours.
3/ Calculer la probabilité pour qu'une plongée dépasse 10 jours sachant que le sous−marin est immergé depuis déjà 7
jours.
4/ Comparer les résultats des questions 2/ et 3/ . Commenter.
5/ Quelle est la durée moyenne de plongée, en jours, de ce sous−marin ?
Exemple3
La désintégration d'un noyau radio−actif, exprimé en années, est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi
exponentielle.
−
1/ Dans le cas de l'uranium 238, le paramètre de la loi exponentielle est estimé à : 1,54 × 10 10 . On note X la durée
de vie en années de l'atome d'uranium 238.
a Calculer la probabilité qu'un atome d'uranium 238 se désintègre avant 2 milliards d'années.
b On appelle période ( ou demi−vie ) d'un élément radio−actif, le temps T nécessaire pour que la moitué des atomes
1
d'un échantillon donné se soit désintégrée, autrement dit : P (X ≤ T ) = . Calculer la demi−vie de l'uranium 238.
2
2/ L'uranium 235 a une demi−vie égale à 550 millions d'années environ. On note Y la durée de vie en années de
l'atome d'uranium 235.
a Calculer le paramètre de la loi exponentielle suivie par Y .
b L'âge de la terre a pu être évalué à quelques 4,5 milliards d'années. Quelle est aujourd'hui la probabilité qu'un atome
d'uranium 235 soit encore actif ?