CHAPITRE 12 Lois de probabilité à densité

CHAPITRE 12 − Lois de probabilité à densité ( Deux premiers exemples )
1/ QUELQUES GENERALITES
11/ Variables aléatoires continues
Jusqu'à présent ( programme de la classe de première ) , chaque expérience aléatoire amenait une variable aléatoire discrète, ( à
savoir, dont le nombre de valeurs possibles était fini : x
1
, x
2
, x
3
, . . . , x
n
).
Dans ce cas, on définissait la loi de probabilité en donnant les probabilités :
(
)
(
)
(
)
(
)
n
xXP,xXP,xXP,xXP ==== et
321
L.
Résultats résumés par ailleurs dans un tableau.
Il arrive néanmoins que les valeurs prises par une variable aléatoire puissent être n'importe quel nombre réel d'un intervalle I de .
Exemples Durée ( exacte ) d'une communication téléphonique.
Durée de vie d'un appareil électrique, d'un composant électronique.
Durée du service, à la caisse d'un supermarché d'alimentation.
Valeur d'un réel choisi au hasard entre 0 et 1.
Poids ( exact ) d'un objet fabriqué sur une chaine de production.
Taille ( exacte ) d'une femme dans la population mondiale.
Dans ce cas :
X est une variable aléatoire continue.
Il n'est plus question de définir la loi de probabilité de X sur I, en donnant les probabilités de chaque élément de I ,car :
X ( Ω ) contient une infinité de valeurs.
De telles probabilités sont d'ailleurs nulles.
On définit alors la loi de probabilité de X en donnant la probabilité pour que X appartienne à un intervalle [ a , b ] de I .
12/ Densité et loi de probabilité de densité f sur un intervalle I ( théorie )
DEF Soit I un intervalle inclus dans .
On appelle densité de probabilité sur I, toute fonction f définie sur I vérifiant les trois conditions suivantes :
(1) f est continue sur I. (2) f est positive ou nulle sur I. (3) L'aire située sous Cf sur I est égale à 1.
Autrement dit :
(
)
∫
I
dxxf
.
Exemples 1) Soit f définie sur [ 0 , 2 ] par : ( )
26
19
2
+
=x xf . Montrer que f est une densité de probabilité sur [ 0 , 2 ].
2) Soit g définie sur [ 1 , + ∞ [ par :
( )
2
1
x
xg =. Montrer que g est une densité de probabilité sur [ 1 , + ∞ [ .
DEF Soit f une densité de probabilité sur un intervalle I de . Soient α et β deux éléments de I .
Soit X une variable aléatoire continue dont les valeurs sont dans I , et telle que : [ ] ( ) ( )
∫
β
α
=βα∈ dxxf,XP .
On dit que X suit une loi continue à densité f sur I .
Dans ce cas, l'espérance associée est définie par :
(
)
(
)
∫
=
I
dxxfxXE

Illustration
PROP
Soit X une variable aléatoire continue, suivant une loi à densité f sur I .
Pour tous réels α et β de I, on a :
* P ( X = α ) = 0 * P ( X > α ) = 1 − P ( X ≤ α ) * Dans les calculs de probabilités, on peut remplacer des
* P ( α < X < β ) = P ( X < β ) − P ( X ≤ α ) inégalités strictes par des inégalités larges et réciproquement.
Exemples Soit X la variable aléatoire suivant la loi à densité g sur [ 1 , + ∞ [ ( ex. 2) précédent )
Calculer : P ( X = 3 ) , puis P ( X ∈ ] 2 , 10 [ ) , puis P ( X ≥ 5 ).
2/ LOI DE PROBABILITE UNIFORME SUR [ a , b ]
Soit I l'intervalle [ a , b ] , avec a et b réels tels que a < b .
Le choix au hasard ( ou tirage au sort ) d'un élément x de I se modélise par la loi continue sur I, dont la densité est constante. L'aire
sous la courbe ( sur [ a , b ] ) devant être égale à 1, cette constante est égale à ab −
1.
DEF
On appelle loi uniforme sur I = [ a , b ] , la loi de probabilité continue sur I , dont la densité est la fonction constante égale à ab −
1
( autrement dit :
( )
ab
xf − =1 , pour tout x ∈ [ a , b ] ).
On a alors : [ ]
( )
ab
dx
ab
,XP −
α−β
=
−
=βα∈
∫
β
α
1. On dit que X suit la loi uniforme sur [ a , b ].
En effet : [ ]
( )
[ ]
ab
x
ab
dx
ab
dx
ab
,XP −
α−β
=
−
=
−
=
−
=βα∈
β
α
β
α
β
α
∫∫
1
1
11
PROP
Soit X la variable aléatoire suivant la loi uniforme continue sur [ a , b ]. Alors ,
( )
2
ab
XE + =.
Démonstration
( ) ( )
22
1
2
11
222
abab
ab
x
ab
dxx
ab
dxxfxXE
b
a
b
a
b
a
+
=
−
×
−
=
−
=
−
==
∫∫
.
Exemples 1/ On choisit un réel quelconque , au hasard dans [ − 2 , 5 ]. On note X la valeur du réel choisi.
X est donc une variable aléatoire continue ( elle peut prendre toutes les valeurs réelles comprises entre − 2 et 5 .
X suit la loi uniforme sur [ − 2 , 5 ] , car le choix du réel est fait au hasard.
Calcul : La probabilité de choisir un nombre réel compris entre 1 et 4 est égale à : [ ]
( )
7
3
25
14
41 =
+
−
=∈ ,XP .
Remarque :
[
]
(
)
41,XP ∈ =
]
[
(
)
41,XP ∈ , car :
(
)
(
)
.XPXP 041 ====
2/ Christophe vient tous les matins chez Karine entre 7 h et 7 h 45 pour prendre un café. On sait qu'il ne vient jamais en
dehors de cette plage horaire et qu'il peut arriver à tout instant avec les mêmes chances.
On note X l'heure d'arrivée de Christophe.
O
j
r
i
r
I
β
α
Cf
[
]
(
)
βα∈ ,XP

X suit la loi uniforme sur [ 7 ; 7,75 ] , car Christophe ne vient jamais en dehors de cette plage horaire et il peut arriver à
tout instant avec les mêmes chances.
Calcul : La probabilité pour que Christophe arrive entre 7 h ¼ et 7 h ½ est égale à :
[ ] ( )
3
1
750
250
7757
25757
57257 ==
−
−
=∈ ,
,
,
,,
,;,XP .
E ( X ) = .,
,3757
8
59
2
7577 == +Donc, en moyenne, on peut espérer que Christophe arrivera à 7 h 22 min 30 s.
3/ LOI EXPONENTIELLE
La durée de vie d'un appareil est une variable aléatoire T continue , prenant ses valeurs dans 
+
.
Si on suppose que cette durée de vie ne dépend pas du temps pendant lequel l'appareil a déjà fonctionné ( on dit que la durée de vie
est sans vieillissement ) ( Voir propriété dans ce § ) , on démontre que la loi de probabilité de T admet une densité f de la forme :
(
)
x
exf
λ−
λ= , avec x ∈
+
et λ réel positif non nul.
TH & DEF
On appelle loi exponentielle de paramètre λ , la loi continue admettant pour densité la fonction f définie sur 
+
par :
(
)
x
exf
λ−
λ= où
λ est un réel strictement positif fixé. α et β sont deux réels positifs.
Soit T une variable aléatoire qui suit une telle loi exponentielle , alors : [ ] ( )
[
]
β
α
λ−
β
α
λ−
−=λ=βα∈
∫
xx
edxe,TP =
λβ−λα−
−ee
PROP
Soient λ ∈ 
+
et α ∈  . Si T suit une loi exponentielle de paramètre λ , alors : * P ( T < α ) =
λα−
−e1
* P ( T > α ) =
λα−
e.
Démonstration * P ( T < α ) = P ( 0 < T < α ) =
λα−λα−
−=− eee 1
0
* P ( T > α ) = 1 − P ( T < α ) = 1 − ( 1 −
λα−
e) =
λα−
e.
PROP Durée de vie sans vieillissement
Soit λ ∈ 
+
. Si T suit une loi exponentielle de paramètre λ , alors pour tous réels s et t :
( )
(
)
(
)
sTPstTP tT ≥=+≥
≥
Sachant que l'appareil a déjà fonctionné t années, la probabilité pour qu'il fonctionne encore s années supplémentaires est la même
que la probabilité qu'il vive au moins s années à partir de sa première mise en fonctionnement.
L'appareil fonctionne sans mémoire du temps d'usage déjà écoulé.
 Démonstration :
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
sTPee
e
e
tTP
stTP
tTP
tTstTP
stTP
stst
t
st
tT
≥====
≥
+≥
=
≥
≥∩+≥
=+≥
λ−λ+λ−λ−
λ−
+λ−
≥
PROP Si T suit une loi exponentielle de paramètre λ , alors ( )
λ
=1 TE .
 Démonstration
(
)
(
)
∫
+
=
IR
dxxfxTE avec
(
)
x
exf
λ−
λ= . Donc :
(
)
∫
+
λ−
λ=
IR
dxexTE
x
.
Posons ( )
∫
λ−
λ=
kx
k
dxexTE 0. Exprimons
(
)
TE
k
en fonction de k, puis faisons tendre k vers + ∞ .
On considère la fonction g définie sur 
+
par :
(
)
x
xexg
λ−
λ= .

On peut supposer que g admet une primitive de la forme :
(
)
(
)
x
eBAxxG
λ−
+= , où A et B sont deux réels à
déterminer.
G est dérivable sur 
+
et on a :
(
)
(
)
(
)
(
)
xxx
eBAAxeBAxAex'G
λ−λ−λ−
λ−+λ−=λ−++= = g ( x )
Si et seulement si :
λ
=
λ
−
A
, soit A =
1
−
et 0=λ− BA , soit
λ
−=
λ
=1A B.
On en déduit que g admet sur 
+
une primitive G telle que :
( )
x
exxG
λ−
λ
−−= 1
Alors : ( )
λ
+−λ−
=
λ
+
λ
−−=
λ
−−=
λ−λ−
λ−λ−
1111
0
kk
k
k
x
k
eek
ekexTE
0 ==λ−
∞−→
λ−
∞+→
X
X
k
k
XeLimekLim et 0 =−=−
∞−→
λ−
∞+→
X
X
k
k
eLimeLim . On trouve :
( ) ( )
TETELim
k
k
=
λ
=
∞+→
1.
DEF La médiane est la valeur Me telle que : [ ]
( )
2
1
0 =∈ Me,TP
Remarque :
Si T désigne la durée de vie d'un atome radioactif, Me représente la demi-vie.
Exemple1 La durée T en minutes d'une communication téléphonique urbaine suit une loi exponentielle de paramètre 0,8.
1/ Calculer la probabilité pour qu'une communication dure entre 3 min. et 5 min.
2/ Calculer la probabilité pour qu'une communication dure plus de 4 min.
3/ Quelle est, dans ce cas, la durée moyenne en minutes d'une communication téléphonique ?
Exemple2 La durée en jours d'une plongée effectuée par un sous − marin nucléaire est modélisée par une variable aléatoire T de
loi exponentielle. En consultant les livres de bords, on constate que 88 % des plongées ont duré plus de 6 jours.
1/ Déterminer à 10
− 2
près, le paramètre de la loi exponentielle.
2/ Calculer la probabilité pour qu'une plongée dure plus de 3 jours.
3/ Calculer la probabilité pour qu'une plongée dépasse 10 jours sachant que le sous − marin est immergé depuis déjà 7
jours.
4/ Comparer les résultats des questions 2/ et 3/ . Commenter.
5/ Quelle est la durée moyenne de plongée, en jours, de ce sous − marin ?
Exemple3 La désintégration d'un noyau radio − actif, exprimé en années, est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi
exponentielle.
1/ Dans le cas de l'uranium 238, le paramètre de la loi exponentielle est estimé à : 1,54 × 10
− 10
. On note X la durée
de vie en années de l'atome d'uranium 238.
a Calculer la probabilité qu'un atome d'uranium 238 se désintègre avant 2 milliards d'années.
b On appelle période ( ou demi − vie ) d'un élément radio − actif, le temps T nécessaire pour que la moitué des atomes
d'un échantillon donné se soit désintégrée, autrement dit :
( )
2
1
=≤TXP . Calculer la demi − vie de l'uranium 238.
2/ L'uranium 235 a une demi − vie égale à 550 millions d'années environ. On note Y la durée de vie en années de
l'atome d'uranium 235.
a Calculer le paramètre de la loi exponentielle suivie par
Y .
b L'âge de la terre a pu être évalué à quelques 4,5 milliards d'années. Quelle est aujourd'hui la probabilité qu'un atome
d'uranium 235 soit encore actif ?
On a :
A
1
= A
2
O
j
r
i
r
Cf
Me
A
1
A
2