resume de physique quantique

Magali Besnier
[email protected]
RESUME DE PHYSIQUE QUANTIQUE
Séjour Aventure Scientifique du 7 au 17 juillet 2007
Sommaire
1- Spectre électromagnétique et quantification de l’énergie
2- Expérience des fentes d’Young
3- Probabilité de présence
4- Inégalités d’Heisenberg
5- Principe de superposition d’états
6- Intrication des objets quantiques
7- Le chat de Schrödinger
Annexes :
-L’expérience d’Aspect
-Le croissant quantique
1) Spectre électromagnétique et quantification
Le spectre électromagnétique est très vaste, et la lumière visible n’est en fait
qu’une toute petite partie de ce spectre : les photons peuvent avoir une énergie très
grande (rayons gamma) ou très petite (micro ondes ou ondes radios).
Une onde se caractérise par son énergie E, sa période T, sa fréquence , ou sa
longueur d’onde  (voir schémas ce dessous). Chacune de ces propriétés sont
reliées par des formules qui font intervenir des constantes connues, avec c la
vitesse de la lumière 300 000 km/sec et h la constante de Planck 6,62.10-34
Joules.sec :
T= 1/ = / c
E=h.
On voit ici que plus l’énergie est grande, plus la fréquenc est élevée, et plus la
longueur d’onde est petite.
Ce que l’on voit en un point fixe, au
cours du temps :
Allure de l’onde dans l’espace, le temps
étant fixé :
Z
T

A
y
temps
x
On peut additionner des ondes, on obtient alors des interférences : suivant que leurs
maxima tombent en même temps ou pas, on obtient des interférences constructives
ou destructives, ou même l’annulation des ondes.
Ondes en phase
Ondes en opposition de phase
+
=
Interférence
constructive
+
=
Interférence
destructive
Opposition de phase et
même amplitude
+
=
Annulation
Spectre d’émission du soleil
Le soleil est il une source de lumière blanche ? C’est à dire, émet-il toutes les
couleurs du visibles ? La réponse est non : certaines raies ne sont pas émises ! On
voit ci dessous ce qu’on appelle les spectre d’émission du soleil, où apparaissent
des trous.
On peut obtenir de la même façon le spectre d’absorption du soleil, qui correspond
aux raies de lumière qu’on obtiendrait si on regarde ce qui sort du soleil une fois
qu’il a absorbé de la lumière blanche. Les raies principales, les plus lumineuses,
sont appelées raies de Balmer et sont utilisées dans l’observation du soleil.
Raies de Balmer : principales raies d’absorption du soleil
Ces raies correspondent à des longueurs d’onde particulières bien définies.
Pourquoi ces valeurs déterminées ?
Ceci vient de l’excitation / désexcitation des électrons des atomes qui composent le
soleil : les électrons ont des niveaux d’énergie autorisés, empilés comme une
échelle aurait plusieurs barreaux accessibles ; si on donne exactement la bonne
énergie (avec un photon par exemple) à un électron pour passer d’un barreau
d’échelle à un autre, il absorbe le photon et grimpe sur le barreau autorisé. C’est
pour ça que seules quelques énergies ou longueurs d’onde de photons peuvent être
absorbées par le soleil ou n’importe quel élément ; et c’est ce qu’on appelle la
QUANTIFICATION de l’énergie, d’où le nom de physique quantique.
Une fois qu’un atome a absorbé un photon et qu’un électron est monté sur un
barreau d’échelle, il va chercher à se désexciter, et l’électron va redescendre au
niveau zéro appelé niveau d’énergie fondamental. C’est ce qui fait les couleurs et
tous les rayonnements que l’on observe dans la nature : les atomes sont sans arrêt
sollicités par des photons, et ils les ré-émettent sous forme de rayonnement qui peut
être visible ou non. Si on regarde avec des jumelles infrarouge, on verra d’autres
« couleurs » que si on regarde simplement avec les yeux.
L’analyse de la composition d’étoiles et planètes grâce au rayonnement qu’elles
émettent est la première application pratique d’un phénomène quantique.
2) Expérience des fentes d’Young
On a vu que la lumière est une onde électromagnétique ; mais on sait qu’elle est
aussi composée de corpuscules appelés photons. C’est ce qu’on appelle la dualité
onde-corpuscule. On peut la mettre en évidence avec par exemple la célèbre
expérience des fentes d’Young.
1) On utilise une source de lumière monochromatique, c’est à dire émettant une
seule longueur d’onde (comme un laser). On prend 2 fentes très fines de la taille de
la longueur d’onde émise ; on réalise alors ce qu’on appelle de la diffraction. Avec
les 2 fentes, on réalise finalement 2 ondes de même longueur d’onde. Sur un écran
que l’on place un peu + loin, on voit apparaître des franges d’interférences, dues
aux superpositions constructives et destructives des 2 ondes. Ce phénomène est
tout à fait compris et expliqué mathématiquement.
Sur l’écran : franges
d’interférences
fentes
écran
On réalise maintenant la même expérience, mais en réglant la source lumineuse
pour qu’elle émette photon par photon. Au début de l’expérience, on voit apparaître
des petits points qui correspondent aux photons émis. Puis si on laisse durer
l’expérience plusieurs dizaines de secondes, on voit se reconstruire petit à petit les
franges d’interférence obtenues précédemment !
On met en évidence ici que la lumière est composée de corpuscules, les photons,
qui se comportent comme une onde !
Sur l’écran :
Photon
par
photon
Les franges se reconstituent petit à petit !
Et si on réalisait cette expérience avec des électrons ??
On obtient exactement le même phénomène. Et ceci est valable pour toutes les
particules subatomiques : on les décrit comme des particules, mais pour les calculs
on les considère comme une onde. Toutes les particules ont la propriété de dualité.
3) Probabilité de présence
Au 19e siècle, on distinguait 2 types d’objet :
- les objets massifs, matériels, que l’on peut définir par une masse, une
position dans l’espace, que l’on peut casser ou coller mais pas créer à partir
du vide ou bien faire disparaître.
- Les ondes, comme le son, immatérielles, que l’on ne peut pas localiser, que
l’on peut ajouter, que l’on peut créer ou annihiler.
Mais alors comment repérer, qualifier, une particule comme le photon ou l’électron
qui se comporte à la fois comme un objet et à la fois comme une onde ?
On introduit ici la notion de probabilité de présence : un photon ou un électron
n’aura pas une certitude de position en un point donné, mais une probabilité de se
trouver dans plusieurs endroits de l’espace. Comme on peut le voir sur le schéma ci
dessous, il faut différencier 2 choses : l’approche dite « classique » d’observer un
électron comme on observe une mouche autour d’un verre ou une planète autour du
soleil, et l’approche quantique qui dit qu’un électron a une probabilité de présence
autour du noyau : il n’a pas une orbite bien définie, mais tourne un peu
aléatoirement en s’approchant ou s’éloignant du noyau. Ceci donne un nuage
électronique et non pas une trajectoire.
orbitale électronique
Physique quantique
électron observé
Physique classique
On peut représenter les orbitales électroniques, c’est à dire les probabilités de
présence des électrons autour du noyau, pour des atomes ayant, 1, 4 ou + électrons.
Elles sont représentées ci-dessous. Ces images sont comme des « photos » prises à
un instant donné. Il faut considérer, comme dans le cas des 4 sphères de probabilité
pour un atome à 4 électrons, que ces bulles de probabilité tournent autour du
noyau.
4) Inégalités d’Heisenberg
Le monde des probabilités de présence possède évidemment des particularités. Il
n’est par exemple pas possible de mesurer précisément à la fois la position d’une
particule et sa vitesse. Les inégalités d’Heisenberg permettent de rendre compte de
ce phénomène. On a :
x . p h/2
avec x pour l’incertitude sur la position x, et p l’incertitude sur la vitesse
(p=masse*vitesse, appelée impulsion). Le produit de ces 2 incertitudes doit être
supérieur ou égal à la constante de Planck divisée par 2. On voit donc que si
l’incertitude sur la position est très bonne, on devra avoir une incertitude sur la
vitesse suffisamment grande pour respecter l’inégalité ci-dessus.
Pour se représenter cela, on peut imaginer que pour voir où se trouve un électron, il
faut l’éclairer. Or l’éclairer signifie lui amener des photons, donc de l’énergie, donc
de la vitesse. De la même manière avec un phénomène que l’on se représente
naturellement : un hibou chante la nuit. On voudrait voir où il est alors on l’éclaire
avec une lampe torche. Avec la lumière, le hibou s’arrête de chanter. On ne peut
donc pas voir et entendre le hibou en même temps !
Une deuxième inégalité équivalente existe avec l’énergie et le temps :
E . t h/2
Elle signifie qu'on ne peut pas avoir une grande certitude sur l’énergie de la
particule si on connaît très bien à quel moment on a mesuré cette énergie, et vice et
versa.
5) Principe de superposition :
Une autre particularité de la physique quantique, c’est la possibilité pour les
particules d’être dans plusieurs états à la fois, c’est à dire dans une superposition
d’états.
Prenons l’exemple d’un électron, qui peut avoir un spin +1/2 ou –1/2.
En physique quantique on représente souvent les objets à l’aide de ce symbole : | >
Pour l’électron, on note |e >.
On note respectivement l’état +1/2 avec |> et l’état –1/2 avec |>.
Un électron produit au hasard peut prendre n’importe quelle valeur de spin (+ ou -).
Il n’est en fait ni dans l’un ni dans l’autre mais les 2 à la fois. On écrit l’équation
quantique de l’électron ainsi :
|e >= [ |> + |> ] * 1/racine(2)
Le facteur 1/racine(2) sert à normaliser l’équation.
Instinctivement, on imagine bien que la probabilité de trouver l’électron dans un
état |> ou |> est de ½ (50% de chance). Essayons de calculer ceci.
La probabilité de se trouver dans un état noté |état x> pour une particule notée
|particule> est donnée par la définition suivante :
Probabilité (particule dans l’état x)= ( <état x | particule> )²
<état x | particule> est en fait un produit scalaire, et possède toutes ses propriétés.
Les particules et les états sont ici considérés comme des vecteurs.
Calculons la probabilité de l’électron d’être dans l’état |> :
P(e,)= (<  | e >)² d’après la définition.
Si on applique l’équation quantique de l’électron ci dessus on a :
P(e,)= (<  | [ |> + |> ] * 1/racine(2) )²
= (<  |> + <  |> )² * 1/2 (ici on a juste distribué <| dans les crochets)
Propriété du produit scalaire : un produit scalaire de 2 vecteurs est égal à 1 si les 2
vecteurs sont parallèles et normés à 1, et est égal à 0 si les vecteurs sont
orthogonaux.
En physique quantique (où on considère ici les particules et les états comme des
vecteurs), 2 états identiques sont dits parallèles et 2 états qui n’ont aucun point
commun sont dits orthogonaux.
On a donc :
<  |> produit scalaire de 2 « vecteurs états » identiques, égal à 1.
<  |> produit scalaire de 2 « vecteurs états » orthogonaux égal à 0.
Finalement on a :
P(e,)=(1+0)*1/2
P(e,)=1/2 !!
C’est bien ce qu’on avait prévu instinctivement.
On peut bien sûr refaire le même calcul avec la probabilité de trouver l’électron
dans l’état |>. On trouvera également 1/2 .
Maintenant on comprend à qui sert le facteur 1/racine(2) dans l’équation quantique
de l’électron : c’est pour que la somme des probabilités de tous les états soit égale à
1 ! Si on avait une superposition de 3 états, le facteur de normalisation serait
1/racine(3).
Une dernière remarque ici : si on mesure l’état d’un électron, on modifie sa
« fonction d’onde », cad son équation quantique : avant la mesure, il était une
superposition d’états. Après la mesure, il a un état bien déterminé, et son équation
su résume à |e >= |>.
On peut retenir cela ainsi : faire une mesure sur un système quantique modifie ce
système.
6) Intrication des particules quantiques :
Encore une autre bizarrerie, l’intrication : ceci signifie que 2 particules crées en
même temps gardent chacune le souvenir de l’autre, et changent leur état en
fonction de l’état de l’autre.
Exemple :
Si on créée 2 électrons à partir d’un objet qui a un spin égal à 0, on sait que la
somme des 2 spins des électrons créés doit être égale à 0 par conservation.
Or tant que l’on n’a pas mesuré l’état des électrons, ils sont tous les 2 une
superposition des 2 états de spin comme vu précédemment.
Mais si on mesure le spin d’un des électrons, disons à +1/2, l’autre électron a donc
forcément pris un spin de –1/2, même si on n’y a pas touché : son état a été
déterminé par la mesure de l’état du premier électron, et ce peu importe la distance
qu’il y a entre les 2.
Au début du siècle, ce genre de phénomène était controversé et a donné lieu à un
« combat » entre physiciens. 2 hypothèses opposaient 2 clans :
1) les états des particules sont déterminés dès le départ quand elles sont
produites ; il n’y a pas de superposition ni d’intrication.
2) Les particules sont produites dans une superposition d’états et sont liées peu
importe la distance qui les sépare.
Il a fallu attendre les expériences de Mr Alain Aspect en 1980 avec la polarisation
de photons (voir annexe), qui a réussi à convaincre toute la communauté
scientifique de la véracité de la physique quantique concernant les postulats
théoriques d’intrication et de superposition.
7) Le chat de Schrödinger :
On termine cette introduction à la physique quantique avec le célèbre paradoxe du
chat de Schrödinger.
Prenons une boîte close, avec un chat à l’intérieur. Dans cette boîte, on introduit le
dispositif suivant :
Un matériau radioactif (par exemple de l’uranium), qui peut émettre une particule
alpha n’importe quand ; ceci actionnerait l’aiguille d’un compteur Geiger, ce qui
entraînerait un marteau ; le marteau frapperait alors uns pastille de cyanure, et le
chat mourrait.
Donc tant que l’on n’a pas ouvert la boîte, on ne sait pas si le chat est mort ou
vivant. Il est en quelque sorte dans une superposition d’états. On peut même écrire
l’équation quantique du chat :
|chat>=1/racine(2) * [ |mort> + |vivant>]
Maintenant on ouvre la boite. On a 50% de le trouver mort ou vivant. Supposons
qu’on le trouve vivant…
Jusque là, tout va bien, l’histoire ne parait pas absurde et même logique.
Mais attention, c’est là que le paradoxe de la physique quantique intervient : si on
trouve la chat vivant en ouvrant la boite, ça ne veut pas dire qu’il n’était pas mort
avant, vu qu’il était dans une superposition des 2 états !
Hé oui, histoire à méditer, mais pas trop quand même, il faut juste avoir de
l’imagination, et comprendre que la physique quantique ne s’applique pas à notre
monde macroscopique, sous peine d’arriver à des absurdités ; de la même manière
qu’on ne peut pas décrire le monde subatomique avec nos équations habituelles : la
physique quantique est nécessaire pour décrire l’infiniment petit, mais ne décrit que
l’infiniment petit.
Conclusion :
La physique quantique permet de décrire le monde de l’infiniment petit, c’est à dire
le mouvement des particules subatomiques (les quarks, électrons, photons, …).
Toutes les particules subatomiques possèdent la propriété de dualité ondecorpuscule : on peut les décrire comme des particules (corpuscules matériels), qui
se comportent comme des ondes. Pour décrire de tels objets, on utilise la
probabilité de présence : une particule a une certaine probabilité d’être dans tous
les endroits de l’espace ; également, les particules ont une certaine probabilité
d’être dans un état ou un autre. Tous les objets quantiques possèdent des propriétés
non communes dans la description du monde macroscopique que nous
connaissons : la superposition d’états et l’intrication.
De manière générale, rien en physique quantique ne peut être vraiment comparé à
la physique dite classique (macroscopique). Il faut juste faire preuve d’imagination
pour trouver et comprendre quelques exemples concrets de la vie de tous les jours,
mais garder en tête que, du moins jusqu’à présent, la physique macroscopique et la
physique quantique ne sont absolument pas compatibles et ne s’expriment pas du
tout de la même façon, et surtout, pas sur les même concepts. Il y a finalement 2
mondes différents, et donc 2 physiques différentes.
Annexe 1
Polarisation de la lumière et expérience d’Aspect
Alain Aspect a réalisé une expérience avec la polarisation des photons, qui a
permis de valider l’hypothèse d’intrication des particules quantiques.
Polarisation de la lumière :
On définit la polarisation d’une onde électromagnétique en considérant le plan
perpendiculaire à l’axe de propagation (par exemple Z) :
x
Onde EM
x
X
y
Axe de propagation
z
y
Si on ne polarise pas l’onde, elle peut avoir n’importe quelle valeur sur le plan
(x,y). Polariser une onde, c‘est lui imposer une valeur, c’est à dire un axe déterminé
sur le plan (x,y). Par exemple, une onde polarisée suivant l’axe X sera nulle suivant
Y ; si on polarise une onde suivant l’axe X, puis suivant Y, on détruit l’onde et on
n’observe plus rien.
Si on polarise une onde suivant l’axe X, puis que l’on rajoute un polariseur incliné
entre X et Y (rayon rouge ci-dessus), on re-mélange les états qui venaient d’être
polarisés suivant X. Encore un effet quantique étrange. Ceci vient du fait que le 2e
polariseur agit sur les états X, mais pas seulement.
Expérience d’Aspect :
Le but de l’expérience de Mr Aspect était de montrer que 2 photons émis en même
temps sont intriqués, c’est à dire que la mesure de l’un détermine l’état de l’autre.
Ceci revient à mesurer leur état exactement en même temps, et vérifier qu’ils sont
compatibles avec
1) les équations de la physique quantique et la superposition d’états
2) le fait que leur état mesuré correspond à celui dans lequel ils ont été produits
Vérifier ces 2 choses permettrait de valider l’hypothèse d’intrication des particules
quantiques.
Description de l’expérience :
Une source lumineuse S est réglée de telle façon à émettre 2 photons (1 et 2)
exactement en même temps, de telle façon qu’ils aient exactement la même
polarisation, les 2 verticaux ou les 2 horizontaux. On peut donc écrire la
superposition d’états « 2 photons en polarisation verticale ou 2 photons en
polarisation horizontale » ainsi :
( désigne la fonction d’onde qui décrit l’état des 2 photons)
on place ensuite sur leur chemin 2 polariseurs inclinés entre les 2 polarisations
possible, le premier ayant un angle  avec l’axe horizontal, le deuxième un angle 
(l’expérience n’est intéressante que si les polariseurs ne sont pas alignés ni avec
l’axe vertical ni avec l’axe horizontal). Que le photon soit polarisé horizontalement
ou verticalement, comme le polariseur a une composante sur leur axe de
polarisation, on a 1 chance sur 2 de laisser passer le photon ; s’il passe, il sera alors
polarisé parallèlement au polariseur qu’il vient de traverser, état qu’on note alors
« + ». Sinon, le photon ne passe pas et on note cet état « - » .
La mécanique quantique donne les probabilités de trouver les 2 photons émis en
même temps dans les différents états : les 2 sortant (état +), les 2 ne sortant pas
(état -), ou bien l’un sortant et l’autre pas (état +,- ou -,+).
Ces probabilités dépendent des angles des polariseurs, et on a :
P++= P++=1/2 cos²()
P+-= P-+=1/2 cos²()
Pour valider la mécanique quantique, il faut réaliser plusieurs fois l’expérience : on
envoie 2 photons de même polarisation horizontale ou verticale, et on mesure à la
sortie leur état + ou -. Le nombre de mesure que l’on compte dans chaque
possibilité (++, --, +-, -+) doit correspondre aux valeurs 1/2 cos²() et 1/2
sin²() que l’on calcule à part.
En 1980, Alain Aspect a obtenu une telle cohérence statistique entre expérience et
valeur théorique qu’il a réussi à convaincre toute la communauté scientifique de
l’intrication des objets quantiques.
Annexe 2
Le croissant quantique
(parodie du chat et délire perso…)
Toute ressemblance avec des faits réels ou personnes apparaissant dans ce texte n’est que pur hasard.
Imaginons une chambre, appelons-la la chambre 65. A l’intérieur se trouvent 4
individus, A, J, L et C.
Comme l’équation quantique de L et C se résume à un seul état |endormi>, on peut
éliminer ces 2 objets quantiques du problème. L’objet |J> possédant une vitesse de
réaction proche de zéro, on peut l’éliminer sans fausser la résolution finale du
problème.
Dans la chambre, des individus extérieurs au problème, Al, M et R (ayant
habituellement pour but et rôle de faire régner l’ordre et la terreur dans leur
domaine d’action), ont placé un réveil quantique qui fonctionne à l’uranium :
l’heure de l’alarme est aléatoire et dépend du moment où va se désintégrer
l’élément radioactif.
Près du réveil est placé un autre objet quantique passif : un croissant quantique.
A noter que cet objet est en fait une superposition d’états entre un croissant et un
pain au chocolat, puisque cet état dépend du jour de la semaine (et de l’humeur très
aléatoire de l’individu extérieur M).
Dans la chambre on a donc les objets « A » et « croissant quantique » qui sont dans
une superposition d’états quantiques :
|A> = 1/racine(2) *[ |endormi> + |réveillé> ]
|croissant quantique> = 1/racine(2) *[ |croissant> + |pain choco> ]
C
A
L
J
?????????
Al, R, M
Les individus extérieurs se trouvent finalement devant la chambre 65, dont toutes
les sorties sont closes. Qu’est il arrivé au croissant ?
1) l’uranium s’est désintégré, le réveil a sonné, et l’individu A s’est
instantanément jeté sur le croissant pour le manger.
2) Le réveil n’a pas sonné et le croissant est intact.
A noter que dans le cas 1), l’individu A a modifié l’état du croissant quantique
puisqu’il l’a mesuré : le croissant n’est plus une superposition d’états pain-choco /
croissant, mais possède désormais une fonction d’onde bien définie dans un des 2
états. Dans le cas 2) par contre, on ne peut toujours pas dire de quel objet s’agit le
croissant quantique.
L’individu extérieur Al, plus impatient et téméraire que les 2 autres, ouvre
finalement la porte de la chambre 65 et perturbe donc son système quantique…
Imaginons que l’on trouve le croissant quantique dans l’état « non mangé » (le
réveil n’a pas sonné)…
Hé bien… ça ne signifie pas qu’il n’était pas mangé juste avant !
Tout ce que l’on peut dire à présent est que l’état de la chambre est bien défini : les
4 objets A, J, L et C son endormis et le croissant/pain-choco est intact.
Supplément :
On peut aussi considérer que les objets A et J sont intriqués et intimement liés
depuis leur création. Tout ce que fait l’un, l’autre le fait aussi.
Le fait que A se lève pour manger le croissant entraîne aussi l’objet J à se lever
pour partager le croissant. Ou dit autrement, le fait de faire passer A dans l’état
|réveillé> implique que J n’est plus une superposition d’états |endormi> et
|réveillé> mais est aussi dans l’état |réveillé>.