Untitled

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The University of New South
Wales
School of Electrical Engineering and
Computer Science and Engineering
ETUDE DYNAMIQUE DES
PARTICULES DE SPIN 0 ET
1 DANS LE FORMALISME
DKP
Boutheïna Boutabia-Chéraïtia
Doctorat en Physique Mathématique
2008

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Supervisor:
Assessor:

Contents
INTRODUCTION i
0.1 Aperçu historique ......................... ii
0.2 Introduction générale ....................... iii
1PRELIMINAIRES 1
1.1 Notations et conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Coordonnées.......................... 2
1.1.2 Tenseur métrique, indices covariants et contravariants . . . 2
1.2 L’équation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 L’équationdeDirac.......................... 5
1.3.1 Mer de Dirac. Théorie des trous . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Di¢ cultés de la théorie des trous . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Le paradoxe de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Théorie de la di¤usion dans le cas non-
relativiste ............................... 13
1.5.1 Fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2 Matrice de di¤usion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.3 Formalisme à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.4 Fonction de Green et matrice de di¤usion . . . . . . . . . . 19
1.5.5 Application au cas de la barrière rectangulaire . . . . . . . 21
1.6 Théorie de la di¤usion dans le cas relativiste . . . . . . . . . . . . 24
1.6.1 Equation de Feshbach-Villars . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.2 Matrice de di¤usion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.3 Formalisme à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7 Conditions aux limites pour la particule de Dirac dans la boite
unidimensionnelle........................... 35
1.7.1 Introduction.......................... 35
1.7.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2RESOLUTION DE L’EQUATION DKP DANS LE POTEN-
TIEL SCALAIRE DE WOODS-SAXON 41
2.1 Introduction.............................. 42
i

CONTENTS ii
2.2 Solution de l’équation DKP pour les particules de spin 1 . . . . . 46
2.2.1 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.2 Cas de la barrière de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3 Solution de l’équation DKP pour le spin 0 . . . . . . . . . . . . . 59
3DIFFUSION DES PARTICULES DKP PAR LA BARRIERE
DE POTENTIEL 63
3.1 Introduction ............................. 64
3.2 Fonction de Green pour l’équation DKP . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Fonction de Green-DKP et analogie F V , spin 1.......... 71
3.4 Fonction de Green-DKP et analogie F V , spin 0.......... 76
3.5 Matrice de di¤usion, spin 1...................... 78
3.6 Matrice de di¤usion, spin 0...................... 80
4CONDITIONS AUX LIMITES POUR LA PARTICULE DKP
DANS LA BOITE UNIDIMENSIONNELLE 82
4.1 Introduction.............................. 83
4.2 Extension self-adjointe de l’Hamiltonien
DKP; Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5CONCLUSION 93
AANNEXES DE MATHEMATIQUES 96
A.1 Dé…nitions............................... 97
A.1.1 Espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.1.2 Fonction continue et fonction absolument continue . . . . . 98
A.2 Extension self-adjointe de l’Hamiltonien de Dirac . . . . . . . . . 99
A.3 Résolution d’une équation di¤érentielle de type hypergéométrique 101
BLEXIQUE 104