Poster 5e Postulat

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Le XIXe siècle : P5 battu en brèche
Omar Khayyam et Girolamo Saccheri avaient tous les éléments en main
pour lancer l’assaut contre le cinquième postulat. Mais ils n’osèrent pas
aller jusque là. Ce n’est nalement qu’au début du XIXè siècle que des
mathématiciens franchiront le pas et construiront des géométries nouvelles,
mais tout aussi cohérentes que la géométrie euclidienne, dans lesquelles P5
est faux. Aujourd’hui, trois géométries coexistent : euclidienne, sphérique et
hyperbolique.
Géométrie hyperbolique
C’est cette géométrie où par un point hors
d’une droite passent plusieurs parallèles à
la droite donnée qui va être la première à
acquérir le statut de géométrie diérente
de la géométrie d’Euclide.
Aux origines de la géométrie
Les questions d’arpentage se posent depuis les origines de la civilisation.
Babyloniens et Égyptiens, notamment, ont produit diverses méthodes
pratiques pour résoudre des questions de nature géométrique. Le mot
géométrie lui-même rappelle cette origine (du grec geo, la terre, et metron, la
mesure, littéralement la mesure de la terre). Par extension, il désigne l’étude
des gures planes ou dans l’espace et de leurs transformations rigides.
Hérodote aurait dit « Le Nil est l’inventeur de la géométrie ».
L’abstraction, une invention grecque
Les Grecs sont les premiers à regarder les objets géométriques (cercle,
droite) comme des objets idéaux, abstraits, dont on ne peut réaliser que des
approximations sur un papier ou dans le sable. Pour manipuler ces objets, il ne
sut pas de regarder certaines conséquences sur le sable, mais il faut les dénir
abstraitement, leur attribuer des propriétés initiales évidentes (axiomes ou
postulats) et en déduire de nouvelles propriétés par un raisonnement logique.
87 problèmes ré-
solus d’arithmétique,
d’algèbre, de géomé-
trie et d’arpentage
Papyrus Rhind
env. 1500 av. JC
équipartition du
triangle
MAH 16055
1900-1600 av. JC
Allégorie expo-
sée par Platon dans le
Livre VII de La Répu-
blique.
Allégorie de la caverne
env. 370 av. JC
Première publi-
cation sur une géomé-
trie non euclidienne.
Bulletin of Kazan Uni.
1829-1830
Nikolaï Lobatchevski
(1792 - 1856)
Modèle de Lobatchevski
P
Gauss découvre
la géométrie hyperbo-
lique mais n’a jamais
publié ses travaux.
Travaux de Gauss
avant 1832
Carl Friedrich Gauß
(1777 - 1855)
Appendice de
24 p. où J.Bolyai pré-
sente sa géométrie non
euclidienne.
Appendice au Tentamen
de Farkas Bolyai
1832
János Bolyai
(1802-1860)
Géométrie euclidienne
Le fait de voir apparaître d’autres géométries
possibles amène les mathématiciens du
XIXe siècle à reprendre l’axiomatisation
d’Euclide dans une approche formaliste. On
ne considère plus les objets géométriques
comme existant abstraitement, mais cette
fois la théorie n’est qu’un pur jeu formel
dans lequel on nomme des objets auxquels
on attribue des propriétés.
Géométrie sphérique
Géométrie veut dire mesure de la Terre, or
la Terre n’est pas plate mais sphérique.
Astronomes et marins connaissent depuis
l’Antiquité les propriétés de cette géométrie
dans laquelle les « droites » sont les grands
cercles (et ne sont donc jamais parallèles !),
sans que l’on remarque avant le XIXè siècle
qu’elle fournit une situation dans laquelle
P5 est faux. Trouver un cadre explicite pour
une géométrie non euclidienne n’était donc
pas un problème, l’obstacle intellectuel était
ailleurs.
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d1
P
d
d
1
P
Axiomatisation
formelle de la géomé-
trie
Grundlagen der Geometrie
1899 - David Hilbert
Il faut toujours pouvoir dire
« table », « chaise » et « bock de
bière » à la place de « point »,
« droite » et « plan ».
David Hilbert (1862-1943)
Bernhard Riemann
(1826-1866)
Riemann présente
l’idée de marier géo-
métrie et analyse pour
faire des mesures.
Sur les hypothèses sous-
jacentes à la géométrie
1854
YBC 7289
env. 1700 av. JC
la plus ancienne
représentation connue
d’une valeur approchée
de 2.
Histoire d’une erreur — Le cinquième postulat d’Euclide
faculté des sciences
SECTION DE MATHÉMATIQUES

Les Éléments d’Euclide : l’axiomatisation
Rien ne peut se déduire de rien, pour construire une théorie il faut admettre
des vérités. Les grecs en avaient de deux types: les axiomes (ou notions
communes) dont la portée étaient universelle et qui ne pouvaient être remis
en cause que par un esprit non rationnel, et les postulats dont la portée était
restreinte à une certaine théorie (on pourrait dire qu’il s’agissait des règles
du jeu choisi). Partant de là, les géomètres grecs ont essayé de construire
une théorie cohérente. La plus aboutie est certainement constituée par Les
Éléments d’Euclide.
Au début des Éléments, on trouve une trentaine de dénitions, 8 axiomes et
5postulats. Autant par sa forme que par ce qu’il énonce, le dernier postulat
est diérent des autres. Les trois premiers sont des assertions d’existence
de certains objets, le quatrième est un résultat d’homogénéité, alors que le
dernier arme quelque chose qui semble bien moins évident, d’autant plus
qu’il fait appel à l’inni. Sa forme rappelle celle d’un théorème puisqu’elle
contient une hypothèse impliquant une conclusion.
L’erreur : vouloir démontrer le V e postulat
Le cinquième postulat (P5) apparaît comme moins « évidemment vrai » que les
autres, si bien que, dès l’Antiquité, des géomètres ont cru qu’il serait possible
de le déduire des quatre premiers (réduisant ainsi la liste des postulats de la
géométrie euclidienne), ou, au moins, de le remplacer par un autre énoncé
plus naturel. Voici quelques exemples de ces postulats alternatifs..
Une volonté de classication :
le Programme d’Erlangen
En 1872, Felix Klein présente son Programme d’Erlangen, qui vise à une
synthèse des diérentes géométries. Désormais, une géométrie se dénit à
partir d’un espace de référence sur lequel on s’autorise un certain nombre de
transformations (pour la géométrie euclidienne, ce sont les translations, les
rotations et les symétries). L’accent est mis sur l’ensemble de ces transformations,
qui constitue une structure algébrique appelée groupe.
Et aujourd’hui ?
Dignes héritiers des géomètres arpenteurs de l’Antiquité, les physiciens
d’aujourd’hui se sont lancés dans l’étude de la géométrie de l’univers. Espaces à
26 dimensions, singularités ou encore espace-temps fractal sont des exemples
de ces outils mathématiques qui, progressivement, permettent de lever de
nouveaux coins du voile sur le monde qui nous entoure..
1) Il existe toujours une droite qui passe
par deux points du plan.
2) Tout segment peut être étendu suivant
sa direction en une droite (innie).
3) A partir d’un segment, il existe un
cercle dont le centre est un des points
du segment et dont le
rayon est la longueur du
segment.
4) Tous les angles droits
sont égaux entre eux.
5) Et si une droite
tombant sur deux
droites, fait les angles
intérieurs du même côté
plus petits que deux
droits, alors ces deux
droites, prolongées à
l’inni, se rencontreront
du côté où les angles
sont plus petits que deux
droits.
Axiomatisation
systématique de la
géométrie (Dessins de
Tartaglia)
Éléments d’Euclide
env. 300 av. JC
Un des premiers
commentateurs à re-
mettre en cause P5.
Commentaire sur les
Éléments d’Euclide
env. 450
Si deux droites sont parallèles à
une troisième, elles sont parallèles
entre elles.
Proclus (411 - 485)
Le plus connu des
axiomes équivalents. Dû
à Proclus et popularisé
par Playfair en 1795.
Axiome de Playfair
env. 450
Par un point extérieur à une
droite, il passe une et une seule
parallèle à celle-ci.
Proclus (411 - 485)
John Playfair
(1748 - 1819)
Legendre tente
en vain de prouver P5.
Éléments de géométrie
1794
La somme des angles d’un triangle
égale deux angles droits.
Girolamo Saccheri (1667 - 1733)
Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833)
Adrien-Marie
Legendre
Il existe des quadrilatères avec
quatre angles droits.
Omar Khayyam (1048 - 1131)
Girolamo Saccheri (1667 - 1733)
Khayyam jette
les premières bases
pour les géométries
non euclidiennes.
Sur le difcultés des
dénitions d’Euclide
env. 1100
Axiomatique où
Saccheri réfute P5
mais croit parvenir à
une contradiction
Euclide lavé de toute tache
1733
Programme de re-
cherche qui remet en
question la vision clas-
sique des géométries.
Programme d’Erlangen
1872
Felix Klein
(1849 - 1925)
Théorie relati-
viste de la gravitation
qui implique un espace-
temps hyperbolique.
Relativité générale
1915
Albert Einstein
(1879 - 1955)
La relativité restreinte doit
admettre une courbure négative
de l’espace-temps qui implique
que l’espace est hyperbolique.
Histoire d’une erreur — Le cinquième postulat d’Euclide
Conception : Shaula Fiorelli Vilmart