non euclidienne, géométrie - mathématiques. - Devoir

non euclidienne, géométrie - mathématiques.
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PRÉSENTATION
non euclidienne, géométrie, branche de la géométrie fondée sur des axiomes différents de ceux énumérés par Euclide dans son ouvrage principal intitulé Éléments.
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HISTORIQUE
Alors que la géométrie euclidienne comprend certains des résultats mathématiques les plus anciens, les géométries non euclidiennes ne sont légitimées qu’à partir du XIXe siècle. Le débat qui va déboucher sur la découverte de ces géométries débute
dès l’époque de l’écriture des Éléments d’Euclide, au IIIe siècle av. J.-C. En effet, l’ouvrage commence par l’énumération d’un nombre limité de postulats (cinq) dont toute sa géométrie découle, formant un tout logique, qui a été et reste une référence
pour tous ses successeurs. Le plus connu de ces postulats, le cinquième, affirme que, dans un plan, par un point il passe une et une seule parallèle à une droite donnée. Les mathématiciens ont longtemps cru que ce postulat découlait des quatre
autres et qu’il pouvait être démontré.
En 1733, l’Italien Giovanni Girolamo Saccheri tente parmi d’autres de le démontrer par l’absurde en construisant une géométrie selon laquelle, par tout point n’appartenant pas à une droite donnée, on peut tracer un nombre infini de parallèles à la
droite. Il démontre ainsi de nombreux résultats de ce qui deviendra la géométrie hyperbolique. Il croit pourtant avoir montré l’incohérence et l’impossibilité de cette géométrie.
Puis, dans la première partie du XIXe siècle, le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss, le Russe Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski et le Hongrois János Bolyai montrent indépendamment qu’il est possible de construire un système de géométrie
hyperbolique cohérent. Leurs travaux sont les premiers à démontrer que la géométrie euclidienne n’est pas la seule géométrie possible, ni la seule structure possible pour l’Univers.
Il faut attendre 1860 pour que le mathématicien allemand Georg Riemann montre que l’on peut construire une autre géométrie, dans laquelle il n’existe aucune parallèle à toute droite donnée : la géométrie elliptique.
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MODÈLES DE REPRÉSENTATION DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES
Considérons deux droites dans le plan, perpendiculaires à une troisième. En géométrie classique, elles ne se coupent jamais et sont donc parallèles. De plus, la distance entre les deux droites reste constante. Dans le vocabulaire de Riemann, on dit
que la courbure est nulle.
En géométrie elliptique, elles finissent toujours par se rejoindre : la courbure est alors positive ; alors qu’en géométrie hyperbolique, elles s’éloignent de plus en plus l’une de l’autre, et de plus en plus vite : la courbure est négative.
Des modèles permettent de représenter les géométries non euclidiennes. La sphère est par exemple un excellent modèle de géométrie elliptique (ou riemannienne). Les « lignes droites », appelées aussi géodésiques, sont définies comme le plus court
chemin entre deux points. Sur la sphère, il s’agit des grands cercles, c’est-à-dire les cercles dont le centre est le centre de la sphère. Deux grands cercles « perpendiculaires » à un troisième se coupent en deux points, diamétralement opposés. C’est le
cas des méridiens, perpendiculaires aux parallèles, qui se coupent aux pôles Nord et Sud.
Contrairement au cas usuel euclidien, la somme des angles d’un triangle dessiné sur une sphère est toujours supérieure à 180°. Plus le triangle est grand, plus cette somme augmente. De même, la circonférence d’un cercle divisée par son diamètre
est inférieure à p sur une surface elliptique.
La surface d’une selle de cheval, un col de montagne, l’embouchure d’une trompette sont des exemples de surfaces hyperboliques. Sur ces surfaces, la somme des angles d’un triangle est inférieure à 180° et le rapport circonférence sur diamètre d’un
cercle est supérieur à p. Le modèle le plus utilisé par les mathématiciens est le modèle du disque de Poincaré (voir Henri Poincaré). L’espace hyperbolique est représenté par un disque dont le périmètre représente l’horizon. Les droites sont ici
représentées par des arcs de cercle, dont les extrémités rejoignent le cercle extérieur en le coupant à angle droit. Ce modèle a notamment été utilisé par l’artiste néerlandais Maurits Cornelis Escher pour sa série de tableaux Circle Limit.
Pour une zone de petite dimension, la géométrie euclidienne et les géométries non euclidiennes sont fondamentalement équivalentes. Ce n’est qu’à grande échelle qu’une différence peut être constatée.
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APPLICATIONS
Le développement des géométries non euclidiennes s’est révélé très important pour la physique actuelle. Compte tenu de la limite de la vitesse de la lumière, l’addition des vitesses dites relativistes (proches de la vitesse de la lumière) dans le cadre
de la relativité restreinte trouve un cadre cohérent dans la géométrie hyperbolique. Par ailleurs, dans la théorie de la relativité générale d’Albert Einstein, l’Univers est globalement plat, donc euclidien, mais il possède une courbure au voisinage des
objets massifs, qui le rend localement elliptique (voir lentille gravitationnelle).
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