ACP et lois markoviennes

Automates cellulaires probabilistes et processus itérés ad
libitum
Jérôme Casse
LaBRI, Université de Bordeaux
Soutenance de thèse
19 novembre 2015
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
1 / 58
Plan
1
Automates cellulaires probabilistes et lois invariantes markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Cas d’un alphabet E général (fini ou infini / discret ou continu)
2
Processus itérés ad libitum
Processus α-stables itérés ad libitum
Lois finies-dimensionnelles du mouvement brownien itéré ad libitum
3
Fonction de corrélation du modèle à 8 sommets où a + c = b + d
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
2 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Automates cellulaires probabilistes et lois
invariantes markoviennes
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
1
Automates cellulaires probabilistes et lois invariantes markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Cas d’un alphabet E général (fini ou infini / discret ou continu)
2
Processus itérés ad libitum
3
Fonction de corrélation du modèle à 8 sommets où a + c = b + d
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Automate cellulaire déterministe
Définition
E un alphabet.
f : E2
−→ E
une règle locale.
(a, b) 7−→ c
L’automate cellulaire A : E Z −→ E Z avec wi0 = f (wi , wi+1 ).
Initial
0
1
0
1
2
E = {0, 1, 2}.
f (a, b) = a + b mod 3.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Automate cellulaire déterministe
Définition
E un alphabet.
f : E2
−→ E
une règle locale.
(a, b) 7−→ c
L’automate cellulaire A : E Z −→ E Z avec wi0 = f (wi , wi+1 ).
Initial
0
1
0
1
2
Image
1
1
1
0
0
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
E = {0, 1, 2}.
f (a, b) = a + b mod 3.
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Automate cellulaire déterministe
Définition
E un alphabet.
f : E2
−→ E
une règle locale.
(a, b) 7−→ c
L’automate cellulaire A : E Z −→ E Z avec wi0 = f (wi , wi+1 ).
Initial
0
Image
1
Jérôme Casse
1
0
1
2
E = {0, 1, 2}.
f (a, b) = a + b mod 3.
ACP et PI a.l.
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Automate cellulaire déterministe
Définition
E un alphabet.
f : E2
−→ E
une règle locale.
(a, b) 7−→ c
L’automate cellulaire A : E Z −→ E Z avec wi0 = f (wi , wi+1 ).
Initial
0
1
0
1
2
Image
1
1
1
0
0
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
E = {0, 1, 2}.
f (a, b) = a + b mod 3.
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Cas d’un alphabet E fini
Automate cellulaire probabiliste (ACP)
f est remplacée par une dynamique locale aléatoire T où


T a,b = P 

c
Jérôme Casse
a
b
c
a
Initial
a
b
Image
c
e
ACP et PI a.l.
b


.

d
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Cas d’un alphabet E fini
Exemple d’un ACP
E = {0, 1, 2}.
(
1/2 si c = a + b mod 3
T a,b =
c
1/4 sinon
Initial
Jérôme Casse
0
1
0
ACP et PI a.l.
1
2
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Cas d’un alphabet E fini
Exemple d’un ACP
E = {0, 1, 2}.
(
1/2 si c = a + b mod 3
T a,b =
c
1/4 sinon
Jérôme Casse
Initial
0
Image
1
1
0
ACP et PI a.l.
1
2
19 novembre 2015
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Exemple d’un ACP
E = {0, 1, 2}.
(
1/2 si c = a + b mod 3
T a,b =
c
1/4 sinon
Jérôme Casse
Initial
0
1
0
1
2
Image
1
1
2
0
0
ACP et PI a.l.
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Cas d’un alphabet E fini
Automate cellulaire probabiliste (ACP)
Transforme une configuration x en une configuration aléatoire y (qui a
pour loi ν).
k
Y
ν(yj , . . . , yk ) =
T xi ,xi+1 .
i=j
Initial x1
x2
x3
Image y1
y2
y3
Jérôme Casse
yi
x4
∼ν
ACP et PI a.l.
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Automate cellulaire probabiliste (ACP)
x ∼ µ en y ∼ ν
ν(yj , . . . , yk ) =
X
µ(xj , . . . , xk+1 )
x
Initial x1
x2
x3
Image y1
y2
y3
x4
k
Y
i=j
T xi ,xi+1 .
yi
∼µ
∼ν
Formellement, ACP est une application de M E Z dans M E Z .
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Automate cellulaire probabiliste (ACP)
x ∼ µ en y ∼ ν
ν(yj , . . . , yk ) =
X
µ(xj , . . . , xk+1 )
x
Initial x1
x2
x3
Image y1
y2
y3
x4
k
Y
i=j
T xi ,xi+1 .
yi
∼µ
∼ν
Si ν = µ, on dit que µ probabilité invariante.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Question principale
Pour un ACP A donné par T , quelles sont ses lois invariantes ?
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Question principale
Pour un ACP A donné par T , quelles sont ses lois invariantes ?
Pour quel T peut-on trouver une loi invariante ?
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
9 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Question principale
Pour un ACP A donné par T , quelles sont ses lois invariantes ?
Pour quel T peut-on trouver une loi invariante ?
À l’heure actuelle, que quand la loi est markovienne.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Lois markoviennes
Définition
Soit (M(a; b))a,b∈E une matrice de probabilité. La chaîne de Markov (Xi )
de noyau M est une mesure qui vérifie
P (Xi+1 = xi+1 |Xi = xi , Xi−1 = xi−1 , . . .)
= P (Xi+1 = xi+1 |Xi = xi ) = M(xi ; xi+1 ).
xi−1
xi
M (xi ; xi+1 )
xi+1
xi+2
k−1
Y
µ(xj , . . . , xk ) = P (Xi = xi )j≤i≤k = ρxj
M(xi ; xi+1 ).
i=j
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ACP et PI a.l.
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Littérature : sur le réseau Z
[Belyaev & al. (1969)] : un ACP (Z, E = {0, 1}, T ) a une loi
invariante markovienne M ssi T vérifie une condition du type :
T 0,0 T 1,1 T 0,1 T 1,0 = T 1,1 T 0,0 T 1,0 T 0,1
0
0
1
1
1
1
0
0
ou une autre parmi 3 conditions similaires.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Littérature : sur le réseau Z
[Belyaev & al. (1969)] : un ACP (Z, E = {0, 1}, T ) a une loi
invariante markovienne M ssi T vérifie une condition du type :
T 0,0 T 1,1 T 0,1 T 1,0 = T 1,1 T 0,0 T 1,0 T 0,1
0
0
1
1
1
1
0
0
ou une autre parmi 3 conditions similaires.
[Toom & al. (1990)] : un ACP (Z, E fini, T ) admet une loi
markovienne de noyau M où M = DU = UD, si :
D(a; c)U(c; b)
T (a, b; c) =
pour tout a, b, c ∈ E .
(DU)(a; b)
Jérôme Casse
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Littérature : sur le réseau Z
[Belyaev & al. (1969)] : un ACP (Z, E = {0, 1}, T ) a une loi
invariante markovienne M ssi T vérifie une condition du type :
T 0,0 T 1,1 T 0,1 T 1,0 = T 1,1 T 0,0 T 1,0 T 0,1
0
0
1
1
1
1
0
0
ou une autre parmi 3 conditions similaires.
[Toom & al. (1990)] : un ACP (Z, E fini, T ) admet une loi
markovienne de noyau M où M = DU = UD, si :
D(a; c)U(c; b)
T (a, b; c) =
pour tout a, b, c ∈ E .
(DU)(a; b)
[Mairesse et Marcovici (2014)] : un ACP (Z, E fini, T ) admet une loi
invariante produit (M(a; b) = ρb ) si T vérifie
X
ρb T (a, b; c) = ρc pour tout a, b, c
b∈E
ou la condition symétrique en a, b.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Littérature : sur d’autres réseaux
ACP sur Z/nZ :
n−1
Initial
0
1
2
Image
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Littérature : sur d’autres réseaux
[Vasilyev (1978)] : un ACP (Zd , E fini, T ) admet une mesure de Gibbs
invariante ssi T est réversible.
[Bousquet-Mélou (1998)] : un ACP (Z/nZ, E = {0, 1}, T ) admet une
loi invariante markovienne cyclique M ssi
T 0,0 T 1,1 T 0,1 T 1,0 = T 1,1 T 0,0 T 1,0 T 0,1 .
0
0
1
1
1
1
0
0
[Dai-Pra, Louis, Roelly (1992 et 2002)] : de nombreuses propriétés sur
les liens entre les mesures de Gibbs stationnaires d’un ACP
(Zd , E fini, T ) et les mesures stationnaires (de Gibbs ou pas)
invariantes par translation du même ACP.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
ACP agissant sur HZ
Dans ce cas, on considère qu’un
ACP agit sur M E HZ .
(x, y ) ∼ µ en (y , z) ∼ ν.
ν(y1 , z1 , . . . , zk , yk+1 ) =
X
µ(x1 , y1 , . . . , yk+1 , xk+2 )
x
t = 0(
Initial
t = 1(
Image
t=2
Jérôme Casse
x1
x2
x3
y1
y2
y3
z1
k
Y
T yi ,yi+1 .
zi
i=1
x4
z2
ACP et PI a.l.
)
)
∼µ
∼ν
19 novembre 2015
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Chaîne de Markov sur HZ (HZMC)
Définition
Soient (D(a; c))a,c∈E et (U(c; b))c,b∈E deux matrices de probabilité. La
chaîne de Markov de noyaux (D, U) sur HZ est une mesure sur HZ qui
vérifie
P (Yi = yi |Xi = xi , Yi−1 = yi−1 , . . .) = D(xi ; yi )
P (Xi+1 = xi+1 |Yi = yi , Xi = xi , . . .) = U(yi ; xi+1 ).
et
xi−1
xi
xi+1
xi+2
yi+1
yi+2
D(xi ; yi )
U (yi ; xi+1 )
yi−1
Jérôme Casse
yi
ACP et PI a.l.
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Le résultat pour tout alphabet fini
Théorème
Soit A = (Z, E = {0, 1, . . . , κ}, T ) un ACP. A admet une HZMC invariante
ssi
(i) T 0,0 T a,b T a,0 T 0,b = T a,b T 0,0 T 0,b T a,0 pour tous a, b, c et
0
0
c
c
c
c
0
0
(ii) D γ U γ = U γ D γ .
Dans ce cas, la HZMC a pour noyaux (D γ , U γ ).
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Que sont D γ et U γ ? Une solution algébrique
1. A1 = T i,i
j
2. A2 =
: ν le vecteur propre à gauche avec
i,j∈E
T a,a νa
0
T a,d
0
!
X
νx = 1.
x
: γ le vecteur propre à gauche.
d,a∈E
3. Les deux noyaux de Markov (D γ , U γ ) :
P
γk
γb
T a,k
T 0,b
T a,k c
T 0,b c
γ
0
et Uc,b
= P 0γk
.
P γk
T
0,k
k
k
T a,k
T 0,k c
k
γ
Da,c
=
0
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
0
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Rappel : le résultat pour tout alphabet fini
Théorème
Soit A = (Z, E = {0, 1, . . . , κ}, T ) un ACP. A admet une HZMC ssi
(i) T 0,0 T a,b T a,0 T 0,b = T a,b T 0,0 T 0,b T a,0 pour tous a, b, c et
0
0
c
c
c
c
0
0
(ii) D γ U γ = U γ D γ .
CNS uniquement sur T .
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Éléments de preuve : 4 lemmes
Le premier lemme :
Lemme (Vasilyev (1978), Toom (1990))
Soit A = (Z, E = {0, 1, . . . , κ}, T ). La HZMC de noyaux (D, U) est
invariante par A ssi :
Da,c Uc,b
(i) T a,b =
pour tous a, b, c et
c
(DU)a,b
(ii) DU = UD.
d
U D
a
b
D U
c
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Éléments de preuve : 4 lemmes
Équivalence entre les conditions rouges.
Lemme
Soit A = (Z, E = {0, 1, . . . , κ}, T ). Les trois conditions suivantes sont
équivalentes :
(a) il existe D et U matrices stochastiques tel que, pour tous a, b, c,
T a,b =
c
Da,c Uc,b
,
(DU)a,b
(b) pour tous a, b, c ∈ E , T 0,0 T a,b T a,0 T 0,b = T a,b T 0,0 T 0,b T a,0 ,
0
c
0
c
c
c
0
0
(c) pour tous a, a0 , b, b 0 , c, c 0 ∈ E ,
T a0 ,b0 T a,b T a,b0 T a0 ,b = T a,b T a0 ,b0 T a0 ,b T a,b0 .
c0
Jérôme Casse
c0
c
c
ACP et PI a.l.
c
c
c0
c0
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Éléments de preuve : 4 lemmes
Équivalence entre les conditions rouges.
Indexation de la classe des (D, U) solutions par η ∈ M(E ).
Lemme
Soit A = (Z, E = {0, 1, . . . , κ}, T ). Les trois conditions suivantes sont
équivalentes :
(a) il existe D et U matrices stochastiques tel que, pour tous a, b, c,
T a,b =
c
Da,c Uc,b
,
(DU)a,b
(b) pour tous a, b, c ∈ E , T 0,0 T a,b T a,0 T 0,b = T a,b T 0,0 T 0,b T a,0 ,
0
Jérôme Casse
0
c
ACP et PI a.l.
c
c
c
0
0
19 novembre 2015
19 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Éléments de preuve : 4 lemmes
Équivalence entre les conditions rouges.
Indexation de la classe des (D, U) solutions par η ∈ M(E ).
D η U η = U η D η implique une unique solution γ possible.
Lemme
Soit A = (Z, E = {0, 1, . . . , κ}, T ). Les trois conditions suivantes sont
équivalentes :
(a) il existe D et U matrices stochastiques tel que, pour tous a, b, c,
T a,b =
c
Da,c Uc,b
,
(DU)a,b
(b) pour tous a, b, c ∈ E , T 0,0 T a,b T a,0 T 0,b = T a,b T 0,0 T 0,b T a,0 ,
0
Jérôme Casse
0
c
ACP et PI a.l.
c
c
c
0
0
19 novembre 2015
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ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Résultats supplémentaires en lien
Sur le réseau N.
Sur le réseau Z/nZ :
Théorème
Soit A = (Z/nZ, E = {0, 1, . . . , κ}, T ) un ACP. A admet une cyclic-HZMC
invariante ssi
(i) T 0,0 T a,b T a,0 T 0,b = T a,b T 0,0 T 0,b T a,0 pour tous a, b, c et
0
c
c
0
0
c
c
0
(ii) Diagonal (D γ U γ )k = Diagonal (U γ D γ )k pour tout 1 ≤ k ≤ κ + 1.
Dans ce cas, la cyclic-HZMC a pour noyaux (D γ , U γ ).
Conditions suffisantes sur T pour des ACP à taux non positifs.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
20 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Lien entre les différentes structures
Loi markovienne
Loi HZMC
pour L = Z/nZ
pour L = Z/nZ
pour un n. i. de n
M = DU = UD
pour un n. i. de n
Loi HZMC pour L = Z
Loi markovienne
pour L = Z
Loi HZMC d’ordre 2
pour L = Z
M = DU = UD
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
21 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
1
Automates cellulaires probabilistes et lois invariantes markoviennes
Cas d’un alphabet E fini
Cas d’un alphabet E général (fini ou infini / discret ou continu)
2
Processus itérés ad libitum
3
Fonction de corrélation du modèle à 8 sommets où a + c = b + d
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
22 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
Formalisme
E = R.
La matrice de transition T (a, b; c) est remplacé par un noyau de
transition T (a, b; C ).
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
23 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
Exemple : ACP gaussien
a
T (a,
 b; C ) =
P
Initial

a+b
+ |{z}
N ∈ C
4
1.61
∼N (0,1)
1.28
b
a+b
4
0.68
+N
−1.9
Image
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
24 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
Exemple : ACP gaussien
a
T (a,
 b; C ) =
P

a+b
+ |{z}
N ∈ C
4
Initial
1.61
Image
0.27
Jérôme Casse
∼N (0,1)
1.28
b
a+b
4
0.68
+N
−1.9
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
24 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
Exemple : ACP gaussien
a
T (a,
 b; C ) =
P

a+b
+ |{z}
N ∈ C
4
∼N (0,1)
a+b
4
Initial
1.61
1.28
0.68
−1.9
Image
0.27
1.66
−0.1
−1.5
Jérôme Casse
b
ACP et PI a.l.
+N
19 novembre 2015
24 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
ACP avec alphabets infinis
[Briceño & al. 2013]
[Ceccherini-Silberstein et Coornaert 2013]
[Vancheri & al. 2005]
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
25 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
Question
Éclaircir les problèmes topologiques.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
26 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
Fini vs Infini
Pas nécessairement une probabilité invariante.
t=0
0
0
0
0
t=1
1
0
1
1
t=2
2
2
2
2
t=3
3
3
3
4
t=4
4
4
5
5
Jérôme Casse
(
a+b
a.p. 1/6
c=
max(a, b) + 1 a.p. 5/6
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
27 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
Fini vs Infini
Certaines transitions ne semblent pas utiles.
Par exemple : T (1, 1; .) ne semble pas être utile dans un ACP gaussien.
Jérôme Casse
Initial
1.61
1.28
0.68
−1.9
Image
0.27
1.66
−0.1
−1.5
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
28 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
Fini vs Infini
Certaines transitions ne semblent pas utiles.
Par exemple : T (1, 1; .) ne semble pas être utile dans un ACP gaussien.
Initial
1.61
1.28
0.68
−1.9
Image
0.27
1.66
−0.1
−1.5
Prenons T̄ tel que T̄ (a, b; .) = T (a, b; .) sauf T̄ (1, 1; .) = δ1 (.).
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
28 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
Fini vs Infini
Certaines transitions ne semblent pas utiles.
Par exemple : T (1, 1; .) ne semble pas être utile dans un ACP gaussien.
Prenons T̄ tel que T̄ (a, b; .) = T (a, b; .) sauf T̄ (1, 1; .) = δ1 (.).
Jérôme Casse
Initial
1.61
1.28
0.68
−1.9
Image
0.27
1.66
−0.1
−1.5
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
28 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
Fini vs Infini
Certaines transitions ne semblent pas utiles.
Par exemple : T (1, 1; .) ne semble pas être utile dans un ACP gaussien.
Prenons T̄ tel que T̄ (a, b; .) = T (a, b; .) sauf T̄ (1, 1; .) = δ1 (.).
Sous certaines lois initiales, cela change tout.
Pour T :
Initial
1
1
1
1
Image
2.11
1.78
1.18
−1.4
Initial
1
1
1
1
Image
1
1
1
1
Pour T̄ :
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
28 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
Question
Pour un T donné, décrire toutes ses lois invariantes markoviennes.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
29 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
Question
Pour un T donné, décrire toutes ses lois invariantes markoviennes.
Notamment prendre en compte les “pièges”.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
29 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
La solution : une mesure de référence
Choisir une mesure µ, dite de référence, pour étudier l’ACP.
Définition (µ-positivité)
Un ACP est µ-positif si, pour µ-presque tout a, b ∈ E , ∀C ∈ B (E ),
T (a, b; C ) > 0 ⇔ µ(C ) > 0.
Le support de µ est notre ensemble “piège”.
Définition (µ-densité)
Dans ce cas, pour
µ-presque tout a, b ∈ E ,
Z
T (a, b; C ) =
t(a, b; c)dµ(c).
C
Travailler sur les µ-densités.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
30 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
Le résultat sur les ACP à alphabet infini
Théorème
µ, une mesure σ-finie sur E . A = (Z, E , T ) µ-positif. A admet une
µ-positive HZMC invariante ssi
(i) il existe (a0 , b0 , c0 ) ∈ E 3 tel que t(a0 , b0 ; .) et µ sont positivement
équivalente et pour µ3 -presque tout (a, b, c),
t(a0 , b0 ; c0 )t(a, b; c0 )t(a, b0 ; c)t(a0 , b; c)
= t(a, b; c)t(a0 , b0 ; c)t(a0 , b; c0 )t(a, b0 ; c0 ),
(ii) il existe η > 0 ∈ L1 (µ), solution de : pour µ2 -presque tout (a, b),
Z
Z
η
η
d (a; c)u (c; b)dµ(c) =
u η (a; c)d η (c; b)dµ(c).
E
E
(iii) la chaîne de Markov de noyau D η admet une probabilité invariante.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
31 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
Les µ-densités de D η et U η
d η (a; c) =
Z
E
η(x)
t(a, x; c)dµ(x)
t(a, x; c0 )
Z
et
η(x)
dµ(x)
E t(a, x; c0 )
η(b)
t(a0 , b; c)
t(a0 , b; c0 )
η
Z
u (c; b) =
.
η(x)
t(a0 , x; c)dµ(x)
E t(a0 , x; c0 )
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
32 / 58
ACP et lois markoviennes
Cas E espace polonais
Extension à d’autres réseaux
Version de ce théorème pour L = N et L = Z/nZ.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
33 / 58
Processus itérés ad libitum
Processus itérés ad libitum
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
34 / 58
Processus itérés ad libitum
Le mouvement brownien itéré n fois
Mouvement brownien (MB) : processus continu gaussien à
accroissements indépendants et stationnaires.
Mouvement brownien bilatère (B(t) : t ∈ R) : (B(t) : t ≥ 0) et
(B(−t) : t ≥ 0) sont deux MB indépendants.
1
−1
1
−1
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
35 / 58
Processus itérés ad libitum
Le mouvement brownien itéré n fois
Définition
Soit B1 , B2 , . . . , Bn , n mouvements browniens indépendants bilatères. Le
mouvement brownien itéré n fois est le processus I (n) défini, pour tout t,
par
I (n) (t) = Bn (Bn−1 (. . . B1 (t) . . . )) = Bn I (n−1) (t) .
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
35 / 58
Processus itérés ad libitum
Résultats sur I (2)
I (2) , construction de solutions d’équations différentielles paraboliques
[Funaki 1979].
Propriétés probabilistes et analytiques de I (2) : fin des années 1990.
I (n) moins étudiés : lien avec certaines équations différentielles
[Orsingher-Beghin 2009].
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
36 / 58
Processus itérés ad libitum
Question
I (n) (t) = Bn (Bn−1 (. . . B1 (t) . . . )) = Bn I (n−1) (t) .
Que peut-on dire de I (n) quand n → ∞ ?
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
37 / 58
Processus itérés ad libitum
Question
I (n) (t) = Bn (Bn−1 (. . . B1 (t) . . . )) = Bn I (n−1) (t) .
Que peut-on dire de I (n) quand n → ∞ ?
Convergence des lois finies-dimensionnelles de I (n) quand n → ∞ ?
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
37 / 58
Processus itérés ad libitum
La loi monodimensionnelle I (n) (t)
Théorème (Turban 2004)
(d)
Pour tout t 6= 0, I (n) (t) −→ I1 = E avec
, signe aléatoire uniforme et
E ∼ E(2).
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
38 / 58
Processus itérés ad libitum
Convergence des lois finies dimensionnelles
Théorème (Curien et Konstantopoulos 2014)
Soit k ≥ 1. Soit t1 , . . . , tk ∈ R non nuls et distincts.
(d)
I (n) (t1 ), . . . , I (n) (tk ) −→ (I1 , . . . , Ik ) ∼ µk .
µk indépendante de (t1 , . . . , tk ).
µk invariante par permutation.
(B(I1 ), . . . , B(Ik )) ∼ µk .
(I2 − I1 , . . . , Ik − I1 ) ∼ µk−1 .
Pas de description des µk (pas même de µ2 ).
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
39 / 58
Processus itérés ad libitum
α-stables itéré ad libitum
1
Automates cellulaires probabilistes et lois invariantes markoviennes
2
Processus itérés ad libitum
Processus α-stables itérés ad libitum
Lois finies-dimensionnelles du mouvement brownien itéré ad libitum
3
Fonction de corrélation du modèle à 8 sommets où a + c = b + d
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
40 / 58
Processus itérés ad libitum
α-stables itéré ad libitum
Processus α-stable itéré n fois
Définition
Le processus (X (t) : t ≥ 0) est un processus stable de paramètres (α, σ, r )
(α ∈ [0, 2], σ ∈ R+ et r ∈ R) s’il vérifie :
X (0) = 0,
les accroissements sont indépendants et stationnaires,
la transformée de Fourier du processus est e tη(u) avec
η(u) = −|u|α σ α + iru.
Processus α-stable bilatère (X (t) : t ∈ R) : (X (t) : t ≥ 0) et
(−X (−t) : t ≥ 0) sont deux processus α-stables indépendants.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
41 / 58
Processus itérés ad libitum
α-stables itéré ad libitum
Processus α-stable itéré n fois
1
−1
1
−1
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
41 / 58
Processus itérés ad libitum
α-stables itéré ad libitum
Processus α-stable itéré n fois
Définition
Soit X1 , X2 , . . . , Xn , n processus α-stables bilatères de paramètres (α, σ, r )
indépendants. Le processus α-stable itéré n fois de paramètres (α, σ, r ) est
le processus I (n) défini, pour tout t, par
I (n) (t) = Xn (Xn−1 (. . . X1 (t) . . . )) = Xn I (n−1) (t) .
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
41 / 58
Processus itérés ad libitum
α-stables itéré ad libitum
Lois multi-dimensionnelles des processus α itérés
Théorème
Soit I (n) : n ≥ 0 , une suite de processus stables itérés n fois de
paramètres (α, σ, r ). Soit k ≥ 1. Soit t1 , . . . , tk ∈ R distincts et non nuls.
α ≤ 1 ou |r | > 1 ⇒ I (n) (t1 ) ne converge pas en loi dans R.
(d)
1 < α ≤ 2 et |r | < 1 ⇒ I (n) (t1 ), . . . , I (n) (tk ) −→ (I1 , . . . , Ik ) ∼ µk .
µk ne dépend pas des ti , mais dépend de (α, σ, r )
µk est invariante par permutation.
(X (I1 ), . . . , X (Ik )) ∼ µk .
(I2 − I1 , . . . , Ik − I1 ) ∼ µk−1 .
Ergodicité : Meyn et Tweedie.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
42 / 58
Processus itérés ad libitum
Lois finies-dim du MBI
1
Automates cellulaires probabilistes et lois invariantes markoviennes
2
Processus itérés ad libitum
Processus α-stables itérés ad libitum
Lois finies-dimensionnelles du mouvement brownien itéré ad libitum
3
Fonction de corrélation du modèle à 8 sommets où a + c = b + d
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
43 / 58
Processus itérés ad libitum
Lois finies-dim du MBI
Question
Décrire la loi limite µk pour tout k.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
44 / 58
Processus itérés ad libitum
Lois finies-dim du MBI
Écarts de (I1 , . . . , Ik )
I2
I1
0
G1
Jérôme Casse
G2
I4
G3
ACP et PI a.l.
I3
G4
19 novembre 2015
45 / 58
Processus itérés ad libitum
Lois finies-dim du MBI
Écarts de (I1 , . . . , Ik )
I2
I1
0
G1
G2
I4
G3
I3
G4
Si (I1 , . . . , Ik ) ∼ µk , alors (G1 , . . . , Gk ) = gaps(0, I1 , . . . , Ik ) ∼ γk .
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
45 / 58
Processus itérés ad libitum
Lois finies-dim du MBI
Écarts de (I1 , . . . , Ik )
I2
I1
0
G1
G2
I4
G3
I3
G4
Si (I1 , . . . , Ik ) ∼ µk , alors (G1 , . . . , Gk ) = gaps(0, I1 , . . . , Ik ) ∼ γk .
Proposition
Soit (t1 , . . . , tk ) k réels distincts et X un processus α-stable bilatère. Les
écarts de (X (t1 ), . . . , X (tk )) ne dépendent que des écarts de (t1 , . . . , tk ).
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
45 / 58
Processus itérés ad libitum
Lois finies-dim du MBI
Écarts de (I1 , . . . , Ik )
I2
I1
0
G1
G2
I4
G3
I3
G4
Si (I1 , . . . , Ik ) ∼ µk , alors (G1 , . . . , Gk ) = gaps(0, I1 , . . . , Ik ) ∼ γk .
Proposition
Soit (t1 , . . . , tk ) k réels distincts et X un processus α-stable bilatère. Les
écarts de (X (t1 ), . . . , X (tk )) ne dépendent que des écarts de (t1 , . . . , tk ).
La suite des écarts du mouvement brownien itéré n fois :
(n)
(n)
(G1 , . . . , Gk ) = gaps(0, I (n) (t1 ), . . . , I (n) (tk ))
est une chaîne de Markov en n de noyau Ψ.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
45 / 58
Processus itérés ad libitum
Lois finies-dim du MBI
De γk vers µk
G1
Jérôme Casse
G2
G3
ACP et PI a.l.
G4
19 novembre 2015
46 / 58
Processus itérés ad libitum
Lois finies-dim du MBI
De γk vers µk
0
G1
Jérôme Casse
G2
G3
ACP et PI a.l.
G4
19 novembre 2015
46 / 58
Processus itérés ad libitum
Lois finies-dim du MBI
De γk vers µk
I1
0
G1
Jérôme Casse
G2
G3
ACP et PI a.l.
G4
19 novembre 2015
46 / 58
Processus itérés ad libitum
Lois finies-dim du MBI
De γk vers µk
I2
I1
0
G1
Jérôme Casse
G2
G3
ACP et PI a.l.
G4
19 novembre 2015
46 / 58
Processus itérés ad libitum
Lois finies-dim du MBI
De γk vers µk
I2
I1
0
G1
Jérôme Casse
G2
I3
G3
ACP et PI a.l.
G4
19 novembre 2015
46 / 58
Processus itérés ad libitum
Lois finies-dim du MBI
De γk vers µk
I2
I1
0
G1
Jérôme Casse
G2
I4
G3
ACP et PI a.l.
I3
G4
19 novembre 2015
46 / 58
Processus itérés ad libitum
Lois finies-dim du MBI
Stabilité de Ψ
Uniquement dans le cas mouvement brownien.
Proposition
Si, initialement, (X1 , . . . , Xk ) ∼ [E(λ1 ), . . . , E(λk )],
alors, l’image (Y1 , . . . , Yk ) ∼ [E(Fτ,1 (λ)), . . . , E(Fτ,k (λ))] avec probabilité
wτ (λ)
où λ = (λ1 , . . . , λk ) et où wτ et les Fτ,i sont explicites.
Induit une chaîne de Markov, de type IFS, sur les paramètres λ.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
47 / 58
Processus itérés ad libitum
Lois finies-dim du MBI
La chaîne de Markov des paramètres
τ
(0, 1, 2)
Fτ
(s1 , s2 )
(0, 2, 1)
(s1 , s1 + s2 )
(1, 0, 2)
(s1 + s2 , s2 )
(1, 2, 0)
(s2 , s1 + s2 )
(2, 0, 1)
(s1 + s2 , s1 )
(2, 1, 0)
(s2 , s1 )
wτ
1/4
1 s2
4 s1 + s2
1 s1
4 s1 + s2
1 s1
4 s1 + s2
1 s2
4 s1 + s2
1/4
avec si =
√
2λi .
Proposition
Pour tout k, cette chaîne de Markov admet une unique loi invariante νk à
support dans [2, 2k 2 ]k .
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
48 / 58
Processus itérés ad libitum
Lois finies-dim du MBI
La chaîne de Markov des paramètres
Proposition
Pour tout k, cette chaîne de Markov admet une unique loi invariante νk à
support dans [2, 2k 2 ]k .
c2
6
4
2
2
Jérôme Casse
4
ACP et PI a.l.
6
c1
19 novembre 2015
48 / 58
Processus itérés ad libitum
Lois finies-dim du MBI
Résumé : de νk vers µk
νk :
Λ = (λ1 , . . . , λk ) ∼ νk .
de νk vers γk : soit (E (1) , . . . , E (k) ) une suite de variable i.i.d. (et ind.
de Λ) de loi E(1),
−1 (k)
(1)
λ−1
E
,
.
.
.
,
λ
E
∼ γk .
1
k
de γk vers µk : soit τ ∼ U(S([0, k])),
I2
I1
0
G1
G2
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
I4
G3
I3
G4
19 novembre 2015
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Processus itérés ad libitum
Lois finies-dim du MBI
D’autres résultats liés à ces travaux
Description des lois finies-dimensionelles des I (n) .
Application à d’autres processus gaussiens.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
50 / 58
Modèle à 8 sommets
Fonction de corrélation du modèle à 8
sommets où a + c = b + d
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
51 / 58
Modèle à 8 sommets
Modèle à sommets
Le graphe Kn :
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
52 / 58
Modèle à 8 sommets
Modèle à sommets
Le graphe Kn :
Une orientation des arêtes de
KN : 16 types de sommets
7
2
3
2
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
1
19 novembre 2015
52 / 58
Modèle à 8 sommets
Modèle à sommets
Le graphe Kn :
Une orientation des arêtes de
KN : 16 types de sommets
7
2
Un poids global :
W (C ) =
16
Y
3
wini .
i=1
2
Pour l’exemple :
W (C ) = w1 w22 w3 w7
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
1
19 novembre 2015
52 / 58
Modèle à 8 sommets
Modèle à sommets
Le graphe Kn :
Une orientation des arêtes de
KN : 16 types de sommets
7
2
Un poids global :
W (C ) =
16
Y
3
wini .
i=1
2
1
Une loi de probabilité :
W (C )
P (C ) = P
C W (C )
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
52 / 58
Modèle à 8 sommets
Modèle à sommets
Le graphe Kn :
Une orientation des arêtes de
KN : 16 types de sommets
Un poids global :
W (C ) =
1
1
7
0
16
Y
1
0
2
0
0
1
0
1
3
wini .
1
i=1
0
2
Une loi de probabilité :
0
1
1
1
0
État d’une arête :
(
0 si dirigée vers le bas
e(arête) =
1 si dirigée vers le haut
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
52 / 58
Modèle à 8 sommets
Modèle à 8 sommets
Orientations avec 0, 2 ou 4 arêtes entrantes en chaque sommet.
configurations
ou
ou
ou
ou
8 autres
types
poids
1,2
a
3,4
b
5,6
c
7,8
d
9 à 16
0
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
53 / 58
Modèle à 8 sommets
Question
Caractéristiques à grande échelle du modèle en fonction des
paramètres locaux (a, b, c, d).
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
54 / 58
Modèle à 8 sommets
Question
Caractéristiques à grande échelle du modèle en fonction des
paramètres locaux (a, b, c, d).
Comment les arêtes à grande distance sont-elles corrélées ?
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
54 / 58
Modèle à 8 sommets
Fonction corrélation
Définition
La fonction de corrélation est
C (i, t) = E [e(0, 0)e(i, t)] − E [e(0, 0)] E [e(i, t)] .
Jérôme Casse
(−2, 3) (−1, 3)
(0, 3)
(1, 3)
(−2, 2) (−1, 2)
(0, 2)
(1, 2)
(−2, 1) (−1, 1)
(0, 1)
(1, 1)
(−2, 0) (−1, 0)
(0, 0)
(1, 0)
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
55 / 58
Modèle à 8 sommets
Fonction corrélation
Définition
La fonction de corrélation est
C (i, t) = E [e(0, 0)e(i, t)] − E [e(0, 0)] E [e(i, t)] .
[Kendall, Domany et Nienhuis (1990)] : calcul de la fonction de
corrélation dans le modèle à 6 sommets (d = 0) avec a + c = b et
sous certaines conditions de bords.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
55 / 58
Modèle à 8 sommets
Résultat de la thèse
Théorème
Dans le cas a + c = b + d et sous certaines conditions de bords, C (i, t) est
le coefficient en l t x i+t du dévelopement en série de la fraction rationnelle
1 + l(1 − (p + r ) + x(r − p))
1 + x 2 l 2 (2p − 1)(2r − 1) + l(1 − (p + r ))(1 + x 2 )
avec p =
a
a+c
et r =
b
b+d .
La condition de bord est liée à un ACP dont une des lois invariantes
est markovienne.
La preuve repose sur du dénombrement à la Flajolet-Sedgewick.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
56 / 58
Modèle à 8 sommets
Résultat de la thèse
On pose p =
a
a+c
et r =
b
b+d .
Théorème (Asymptotique de C (i, t))
Si a + c = b + d et p + r 6= 1, alors
max(|1 − 2p|, |1 − 2r |)t
√
C (i, t) = O
.
t
Si a + c = b + d et p + r = 1 (i.e. a = d et b = c), alors
C (0, t) = (1 − 2p)t ,
C (i, t) = 0 si i 6= 0.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
57 / 58
Modèle à 8 sommets
Merci.
Jérôme Casse
ACP et PI a.l.
19 novembre 2015
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