Son, Musique et Mathématiques

MPS 2015/2016 : TP1
Date : ... ... / ... ... / ... ...
Nom et Classe :
Son, Musique et Mathématiques
Gamme Pythagoricienne :
Selon la tradition pythagoricienne, reprise par les philosophes arabes, la musique est avant tout
question de proportions.
Pour les Grecs ce n'est pas un hasard que le rapport de hauteur de son de 1 à 2 corresponde à
l'octave : c'est la preuve de l'harmonie d'un univers régi par des nombres.
Sur l'instrument monocorde, ils constatent, en plaçant le chevalet exactement au milieu, que les
deux moitiés donnent le même son. Ce son ressemble à celui donné par la corde entière, mais en
plus aigu : on dit qu'il est à l'octave, sa fréquence est double du son initial.
Ainsi la gamme pythagoricienne a été créée pour répondre à des critères autant numériques
qu'esthétiques.
Il en résulte une détermination d'intervalles où les accords les plus harmonieux de la musique
s'expriment par les rapports arithmétiques les plus simples :
– la quinte ( intervalle séparant cinq notes ) par le rapport 3/2.
– la quarte ( intervalle séparant quatre notes ) par le rapport 4/3.
–
Lexique :
Une octave est l’intervalle séparant deux sons dont la fréquence fondamentale du plus aigu est le
double de celle du plus grave.
Une octave divisée en plusieurs sous-intervalles, permet de définir les gammes.
Construction mathématiques d'une gamme pythagoricienne :
On se donne pour mission de représenter sur un axe les notes Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La, Si, Do
en respectant les rapports 3/2 pour la quinte et 4/3 pour la quarte.
Nous construisons ainsi le schéma d'un instrument monocorde doté de la gamme
pythagoricienne.
Nos outils sont : une règle non graduée, un compas, une équerre pour la construction de
droites parallèles.
Pour acceder à ces constructions, on donne le tableau des proportions correspondantes aux
notes sur une octave :
Do
Ré
Mi
Fa
Sol
La
Si
Do
1/2
8/9
64/81
3/4
2 /3
16/27
128/243
1
La construction s'effectue sur le document en annexe.
Compte rendu de séance :
1) Construction de la gamme pythagoricienne, laisser les marques de constructions.
2) Reporter les indices dont vous avez eu besoin en marge de votre construction.
3) Ecrire un programme de construction pour le quotient 2/3.
4) Vous pourrez compléter le lexique proposé dans l'énoncé par les termes que vous avez du
chercher.
Votre recherche peut compléter le point de vu historique, et/ou mathématique de l'énoncé.
Indice 1 :
Un ordre de difficulté croissant de construction :
1/2 ( Do ) puis 3/4 ( Fa ) puis 2/3 ( Sol ) puis 8/9 ( Ré ) puis ... ...
Indice 2 :
Construire le quotient 1/2 , ( Do à l'octave) :
Partager le segment en 2 parts de même mesure : Construction de la médiatrice du segment à la
règle et au compas.
Indice 2bis :
Construire le quotient 3/4 , ( Fa ):
1/4 est la moitié de 1/2.
Vous venez de construire 1/2, procédez de même pour 3/4.
Indice 3 :
Construire le quotient 2/3 , ( Sol ) :
Tracer un segment de longueur 3 unités reportées au compas, et dont une des extrémités est
commune avec l'extrémité du segment imposé et non nommée, comme ci-dessous :
Utiliser le théorème de Thalès pour construire le quotient 2/3.
Indice 4 :
Construire les quotients restants comme pour 2/3 en appliquant le théorème de Thalès.
Vous choisirez dans chaque cas un segment dont vous aurez déterminé le nombre d'unités reportées.
TP1 : Son, Musique et Mathématiques
Annexe