Sous-espaces vectoriels II, dépendance linéaire

Sous-espaces vectoriels II, dépendance linéaire
Pierre Mathonet
Présentation provisoire
Département de Mathématique
Faculté des Sciences
Liège, le 13 Février 2013

Intersections de sous-espaces vectoriels
Définition
Si V1et V2sont des sous-espaces vectoriels de E, l’intersection de V1et
V2est l’ensemble
V1∩V2={x∈E:x∈V1et x∈V2}.
Proposition
Soient V1et V2des sous-espaces vectoriels de E . Alors V1∩V2est un
sous-espace vectoriel de E .
Exercice :
1Dans R2, déterminer l’intersection des sous-espaces vectoriels
V1={λ1
2:λ∈R},V2={x y∈R2:3x+2y=0}
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3Faire de même avec les sous-espaces vectoriels de R2suivants
V1={λ1
2:λ∈R},V2={µ3 4:µ∈R}.
4Trouver l’intersection des sous-espaces vectoriels de R3suivants
V1={λ
1
2
3
:λ∈R},V2={
x
y
z
∈R3:x+y−z=0}.
5Faire de même avec
V1={
x
y
z
∈R3:x+y−z=0}et
V2={
x
y
z
∈R3:4x+y−z=0}.
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P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.

Enveloppes linéaires
Si V1et V2sont des sous-espaces vectoriels de E,V1∪V2n’est pas un
sous-espace vectoriel (en général) : considérer par exemple
V1={(x,0)∼∈R2:x∈R}et V2={(0,y)∼∈R2:y∈R}.
Définition
Soit Eun espace vectoriel et Aune partie non vide de E. Le sous-espace
vectoriel engendré par A, ou l’enveloppe linéaire de Aest l’ensemble
iAh={λ1a1+· · · +λpap:p∈N, λ1, . . . , λp∈R,a1, . . . ap∈A}.
Proposition
Pour toute partie A non vide de E, iAhest un sous-espace vectoriel de E .
Il contient A et est inclus dans tout sous-espace vectoriel V contenant A.
C’est l’unique sous-espace vectoriel ayant cette propriété.
Donc, iAhest le plus petit sous-espace vectoriel contenant A.
Exercice : Soient u,v∈E, déterminer i{u}h et i{u,v}h.
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Sommes de sous-espaces vectoriels
Définition
Soient V1et V2deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. La
somme de V1et V2, notée V1+V2est l’ensemble
V1+V2={u1+u2:u1∈V1,u2∈V2}.
Proposition
Si V1et V2sont deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E,
alors V1+V2est un sous-espace vectoriel de E. On a de plus
V1+V2=iV1∪V2h.
Notation : si A={u1,...,up}, on note iAhpar iu1,...,uph.
Remarque : on a iuh+ivh=iu,vh
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