Page 1 CRPE — Mathématiques Elisabeth REBILLARD — AFADEC

CRPE — Mathématiques
Elisabeth REBILLARD — AFADEC — Droits de reproduction réservés 1
CORRIGE
EXERCICE 1
[2 points = 0,25×7 + 0,25 suivant qu'une définition est donnée ou pas]
!
!
!
!!=!!×! !×!!=! ! !"!=!0,4!;!
!
! n'a pas d'écriture décimale, on ne peut écrire 7 comme le produit d'une puissance de 2 par
une puissance de 5 ;
0,33 est un nombre décimal ;
3 est un nombre entier donc un nombre décimal car les nombres entiers font partie de
l'ensemble des nombres décimaux ;
!!
!" = !!:! !":! =!!! ! = !! !" = 2,2 ;
!
!"# = ! !! = !! !!×!!=! !""
!= 0,04 ;
!"
!! ; 55 = 5×11 or ni 11 ni 5 ne divisent 29 ; la fraction est donc irréductible. Son
dénominateur étant divisible par un autre nombre que 2 ou 5, la fraction n'est pas un nombre
décimal.
(on pouvait aussi diviser et remarquer que le résultat donné par la calculatrice : 0,5272727
pouvait s'écrire 0,527 qui est l'écriture d'un rationnel mais pas d'un décimal)
Définition 1
Un nombre décimal est un nombre rationnel (une fraction) qui peut s’écrire sous la forme
d’une fraction décimale (avec une puissance de 10 au dénominateur)
Définition 2
Un nombre décimal est un nombre dont l’écriture fractionnaire irréductible est de la forme
!
!!×!!

CRPE — Mathématiques
Elisabeth REBILLARD — AFADEC — Droits de reproduction réservés 2
!
EXERCICE 2
[2 points = 0,5!× 4]
a) A l'aide d'une lecture graphique, on trouve 150 kg puis 240 kg.
b) La fonction m est une fonction affine ; en général, la lecture de l'ordonnée du point
d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées donne la valeur de b mais ici, l'échelle ne
peut qu'indiquer que cette valeur est proche de 100.
On va donc devoir calculer : a = ∆!
∆! = !"#!!"# !"#!!" = 0,9 ; on trouve b en remplaçant par a par 0,9 , x
par 50 et y par 150 (par exemple) dans l'égalité : !=!" +! : 150 =0,9×50 +!!!!"!!=105.
l'expression algébrique de la fonction affine est !(!)=0,9!+105.
(le symbole ∆!représente une différence)
c) b est la masse du container vide : 105 kg.
d) 1 litre d'huile pèse 0,9 kg (le coefficient directeur a).
EXERCICE 3
[3 points = 0,5+!!+!+!,!]
Les indications en italique sont données à titre explicatif
1. Un prix qui subit une augmentation de 25 % est multiplié par 1,25 (1 + !"
!"" )
Un prix qui subit une baisse de 20 % est multiplié par 0,8 (1 −!"
!"" )
Nouveau prix : 120 € (120×1,25×0,8=120)
2. a) On aura 120.(1+!!
!"" )(1-!! !"" ) = 120
donc, en divisant chaque terme par 120 : (1+!!
!"" )(1-!! !"" ) = 1
et par suite (!""!!
!"" )(!!""!! !"" ) = 1
les deux facteurs sont inverses l'un de l'autre puisque leur produit est égal à 1 donc :
!""!!
!""
! =!!""
!""!! et (100 +!)(100 −!) = 10 000 (produit en croix)

CRPE — Mathématiques
Elisabeth REBILLARD — AFADEC — Droits de reproduction réservés 3
10 000+100!−100!−!" =10!000 (on développe)
100!+!" =100!
!100 +!=100! (on factorise par y)
et donc !=!""!
!!!"".
b) on a tapé : "=100*B1/(B1+100)" (ne pas oublier les parenthèses autour du dénominateur)
Dans un tableur, on multiplie à l'aide de la touche "*", on divise à l'aide de la touche "/" ; pour
mettre au carré ou au cube, on utilise la touche "^" (et pas le "carré² qui est en haut à gauche
du clavier).
la fonction qui à ! associe !=!""!
!!!"" n'est pas une fonction linéaire, il n'y a donc pas
proportionnalité.
c) !=40. Donc on remplace y par 40 dans la formule de la question a), puis on résout
l'équation d'inconnue x
40 = !""!
!!!"" donc 100!=4!000 +40! puis 60!=4!000
on trouve !=!""
! ; le pourcentage de hausse est d'environ 66,7 %.

CRPE — Mathématiques
Elisabeth REBILLARD — AFADEC — Droits de reproduction réservés 4
PROBLEME
[5 points = 5!×!1]
!
1. On sait que C et D sont symétriques respectivement de A et B par rapport à F et la symétrie
centrale conserve les longueurs, donc !"!=!!" et !"!=!!".
On!sait!que!ABF!est!un!triangle!équilatéral!donc!AF!=!FB!(=!AB)!donc!AC!=!BD.!
Si! un! quadrilatère! a! ses! diagonales! qui! ont! le! même! milieu! et! sont! de! même! longueur!
alors!c'est!un!rectangle.!
Donc!ABCD!est!un!rectangle.!
2.!a)!On!sait!que!(EF)!est!perpendiculaire!à!(AC)!et!que!F!est!le!milieu!de![AC].!
Si! une! droite! est! perpendiculaire! à! un! segment! et! passe! par! son! milieu! alors! c'est! la!
médiatrice!de!ce!segment.!
Donc!(EF)!est!la!médiatrice!de![AC]!
Si!un!point!est!sur!la!médiatrice!d'un!segment!alors!il!est!équidistant!des!extrémités!de!
ce!segment.!
Donc!EC!=!EA,!et!ainsi!le!triangle!AEC!est!isocèle!en!E.!
Le!triangle!ABF!étant!équilatéral,!ses!angles!mesurent!chacun!60°.!

CRPE — Mathématiques
Elisabeth REBILLARD — AFADEC — Droits de reproduction réservés 5
Les!droites!(AD)!et!(BC)!sont!parallèles!(ABCD!est!un!rectangle)!donc!les!angles!alternesJ
internes!!"#!et!!"#!ont!la!même!mesure.!
Donc!!"!!=!60°!et!le!triangle!AEC,!qui!a!un!angle!de!60°!est!équilatéral.!
b)!BF!=!FC!=!ABC!est!un!rectangle)!donc!le!triangle!BFC!est!isocèle!en!F.!
!"# =!!"# −!!"# =90 −60 =30°!donc!!"# =!!"# =30°.!
Dans!un!triangle,!la!somme!des!mesures!des!trois!angles!est!égale!à!180°.!
Donc!!"#!=!180 −2×30 =120°.!
c)!La!droite!(AD)!est!perpendiculaire!à!(CE)!(angle!droit!du!rectangle!ABCD).!
Donc!(AD)!est!la!hauteur!issue!de!A!du!triangle!ABC.!
Comme!le!triangle!AEC!est!équilatéral,!la!hauteur!est!aussi!médiane,!donc!D!est!le!milieu!
de![CE].!
d)! On! sait! que! (AB)! est! parallèle! à! (CD)! (côtés! opposés! du! rectangle! ABCD)! et! que!
!"!=!!"!=!!".!
Si! un! quadrilatère! (non! croisé)! a! deux! côtés! opposés! parallèles! et! de! même! longueur!
alors!c'est!un!parallélogramme.!
Donc!ABDE!est!un!parallélogramme.!
3.a)!Si!!"!=!!!alors!!"!=!!"!=!!"!=!!"!=!!"!=!!.! !"!=!2!.!
On!sait!que!FEC!est!un! triangle!rectangle!en!F!;!on!peut!donc!appliquer!le!théorème!de!
Pythagore!
donc!:! ! !"²!=!!"²!+!!"²!
! ! !"²!=!4!²!−!!²!
! ! EF²!=!3a!
! ! EF!=!!3.!
! !