notes de cours (version 2009-10)

METHODES MATH ´ EMATIQUES
POUR LE
TRAITEMENT DU SIGNAL
B. Torr´ esani
Universit´ e de Provence
Master Math´ ematiques et Applications
Premi` ere ann´ ee
Ann´ ee Universitaire 2009-10, second semestre

Table des mati` eres
0. INTRODUCTION 7
1. Signaux Num´ eriques 11
1.1. S´ eriesdeFourier.......................................... 11
1.1.1. Rappels sur les espaces Lpet `p............................. 11
1.1.2. La th´ eorie L2........................................ 12
1.1.3. Probl` emes de convergence des s´ eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.4. Le probl` emedel’extension ................................ 16
1.1.5.Convolution-Produit.................................... 20
1.2. Signaux num´ eriquesetTFD ................................... 20
1.2.1. Transformation de Fourier discr` ete ........................... 20
1.2.2. Filtrage des signaux num´ eriques ............................ 21
1.2.3. La transformation en z.................................. 24
1.2.4. La transformation de Fourier en pratique : transformation de Fourier finie (TFF) 28
1.3. Filtrage et traitement de signaux num´ eriques : quelques exemples . . . . . . . . . . . . 30
1.3.1. Une application du filtrage num´ erique : filtrage adapt´ e ............... 30
1.3.2. Un exemple de probl` eme inverse : la d´ econvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4. Signaux num´ eriques multidimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5. Repr´ esentation des signaux num´ eriques............................ 36
1.5.1. Bases pour les signaux num´ eriques........................... 36
1.5.2. Exemple : le codeur d’images JPEG (tir´ e de l’article en ligne de l’encyclop´ edie
Wikipedia).......................................... 39
1.5.3. Rep` eres ........................................... 41
1.6. Probl` emeinverse.......................................... 43
2. SIGNAUX ALEATOIRES 45
2.1. D´ efinitions, propri´ et´ essimples.................................. 45
2.1.1. Premi` eres d´ efinitions ................................... 45
2.1.2.Exemples .......................................... 46
2.1.3. Signaux al´ eatoires du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2. Signaux al´ eatoires num´ eriques ................................. 49
2.2.1. Filtrage de convolution de signaux stationnaires en m.o.d. . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.2. Mesure spectrale et densit´ e spectrale pour les processus stationnaires en m.o.d. 50
2.2.3.Quelquesexemples .................................... 51
2.2.4. Le cas fini ; application ` a la simulation de processus stationnaires en m.o.d. . . . 52
2.2.5. Repr´ esentation spectrale pour les processus stationnaires en moyenne d’ordre
deux ............................................. 55
2.2.6. Filtrage num´ erique..................................... 56
2.2.7. Retour sur les signaux AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3

Table des mati` eres
2.3. Quelques exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.1. Filtrage optimal et d´ etection ............................... 57
2.3.2. D´ ebruitage d’un signal al´ eatoire : filtre de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.3. Codage du signal de parole par pr´ ediction lin´ eaire .................. 59
2.3.4.Estimationspectrale.................................... 61
2.4. Repr´ esentationsHilbertiennes.................................. 63
2.4.1. Repr´ esentation sur une base pour les signaux al´ eatoires de longueur finie . . . . 63
2.4.2. Base de Karhunen-Lo` eve pour les signaux de longueur finie . . . . . . . . . . . . 63
2.5. Quantification, PCM et codage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.5.1.Quantificationscalaire .................................. 65
2.5.2.Quantificationuniforme.................................. 65
2.5.3. Compensation logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5.4. Quantification scalaire optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5.5. Quantification vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3. SIGNAUX ANALOGIQUES ;
FILTRAGE ET ECHANTILLONNAGE 73
3.1. Pr´ eliminaires ............................................ 73
3.2. Signaux d’´ energiefinie ...................................... 74
3.2.1. Transformation de Fourier et propri´ et´ essimples ................... 74
3.2.2. Inversion dans L1(R).................................... 75
3.2.3. Transformation de Fourier et r´ egularit´ e......................... 76
3.2.4. La th´ eorie L2(R)...................................... 78
3.2.5. In´ egalit´ esdeHeisenberg ................................. 80
3.2.6. Produit de convolution et produit simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.7. Autocorr´ elation....................................... 82
3.3. La th´ eoriespectraledeWiener.................................. 83
3.4. Filtrage lin´ eaire (signaux d’´ energiefinie) ............................ 85
3.4.1.Terminologie ........................................ 85
3.4.2. Filtres lin´ eaires....................................... 85
3.4.3.Exemples .......................................... 86
3.5. Filtrage adapt´ e........................................... 89
3.5.1. Le filtre adapt´ e, version d´ eterministe .......................... 89
3.5.2. Application ` a la d´ etection................................. 91
3.5.3. Fonction d’ambig ¨ uit´ eradar................................ 92
3.6. Bancs de filtres, et analyse de Fourier locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.6.1.Bancsdefiltres....................................... 93
3.6.2. Transformation de Fourier ` a fenˆ etre........................... 94
3.7. Signaux num´ eriques, Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.7.1. Position du probl` eme ................................... 95
3.7.2. Le th´ eor` eme d’´ echantillonnage.............................. 95
3.7.3. Approximation par des s´ eriesfiniesetTFF....................... 97
3.7.4. Echantillonnage g´ en´ eralis´ e................................ 98
3.7.5. Multir´ esolution et bases d’ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
A. Rappels d’analyse fonctionnelle A.1
A.1. Pr´ eliminaires ............................................A.1
A.2. Orthogonalit´ e............................................A.1
A.3. Syst` emes orthonormaux, bases Hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2
A.4.BasesdeRiesz ...........................................A.4
B. Rep` eres dans un espace de Hilbert B.1
B.1. D´ efinitions .............................................B.1
B.2.Inversion ..............................................B.4
C. Fonctions d’une variable complexe, s´ eries de Laurent C.1
C.1. Fonctions holomorphes, fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1
C.1.1.Fonctionsholomorphes ..................................C.1
C.1.2. S´ eries ............................................C.2
4

Table des mati` eres
C.1.3.Fonctionsanalytiques...................................C.2
C.2. Int´ egration sur un chemin dans C................................C.2
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