champ de pesanteur dans une cavité sphérique Exo

Physique)
1!
!
www.aaecge.wordpress.com)
1!
!
Exercice oral
Sujet proposé par IM Seiha
Exo 1 : Analogie gravitationnelle : champ de pesanteur
dans une cavité sphérique
"#!$%!&'%()*+,-!.%-!(/0+,-!&01,23-!*-!,14'%!R5!*-!*-%()63!7'8.9):.-!*-!&01,2-!
.%);',9-!𝜌#! <1//-8-,! 8=->/,-(()'%! *.! &019/! 38-&6,):.-! -%! 6'.6! /')%6! M!()6.3! ?!
8=)%63,)-.,!*-!81!(/0+,-!?!.%-!*)(61%&-!r!@r$<$RA!*.!&-%6,-#!
!
B#!C36-,9)%-,!8-!&019/!*-!2,17)616)'%!?!8=)%63,)-.,!*-!81!D-,,-5!1(()9)83-!?!.%-!
(/0+,-!*-!91((-!7'8.9):.-!𝜌!.%);',9-!*-!&-%6,-!O#!
!
E#! $%! )912)%-! .%-! &17)63! (/03,):.-! *-! ,14'%! R′,$ -6! *-!&-%6,-! C!()6.3! ?! .%-!
*)(61%&-!h!*.!&-%6,-!*-!81!D-,,-#!
C36-,9)%-,!8-!&019/!*-!2,17)616)'%!-%!.%!/')%6!M!*-!81!&17)63#!
!
§Conseil$:$$
Le$ champ$ étant$ à$ symétrie$ sphérique,$ il$ se$ calcule$ simplement$ en$ appliquant$ le$
théorème$de$Gauss.$
Quelle$est$la$charge$Q(r)$contenue$à$l’intérieur$d’une$sphère$de$rayon$r$?$
Pour$ trouver$ les$ grandeurs$ analogues$ entre$ les$ champs$ de$ gravitation$ et$
électrostatiques,$écrire$côte$à$côte$les$lois$de$Newton$et$de$Coulomb.$
La$ solution$ simple$ repose$ sur$ le$ principe$ de$ superposition.$ Il$ faut$ trouver$ deux$
distributions$sphériques$dont$la$combinaison$est$identique$au$système$étudié.$
À#noter#:$Garder#l’expression#intrinsèque#des#champs#au#moyen#des#vecteurs:
positions.#
§!
!
!
Exo 2 : Circulation du champ magnétique créé par une
spire sur son axe
F')6!.%-!(/),-!*=1>-!Oz5!*-!&-%6,-!O5!*-!,14'%!
R!/1,&'.,.-!/1,!.%!&'.,1%6!*=)%6-%()63!I#!
!
"#!G18&.8-,!𝐵(𝑀)!-%!.%!/')%6!M!*-!8=1>-!Oz#!
!
B#aA! G18&.8-,! 81! &),&.816)'%! *.! &019/!
912%36):.-!8-!8'%2!*-!8=1>-!@OzA!@*-!HI!?!JIA#!
!
!

2!
Phisique)
!
2!
www.aaecge.wordpress.com)
!
bA!K%6-,/,36-,!8-!,3(.8616!'L6-%.#!
!
E#!G18&.8-,!*-!9M9-!81!&),&.816)'%!*.!&019/!912%36):.-!8-!8'%2!*-!8=1>-!@OxA!@*-!
HI! ?! JIA! *=.%! ('83%'N*-! &),&.81),-!*-! ,14'%! R5! *-! 8'%2.-.,!𝑙!-6! &'9/',61%6! N!
(/),-(!O')%6)7-(!/1,&'.,.-(!&01&.%-!/1,!.%!&'.,1%6!*=)%6-%()63!I#!
!
§Conseil$:$$
1)$Ce$calcul$doit$être$connu$:$il$fait$partie$des$INCONTOURNABLES.$
2)$permet$de$«$retrouver$»$le$théorème$d’Ampère.$
La$question$3)$en$présente$une$application.$
§$
$
!
!
Exo 3 : Champ au voisinage de l’axe d’une spire
(INCONTOURNABLE)
F')6! .%-! (/),-! *-! ,14'%! R5! *=1>-! Oz!/1,&'.,.-! /1,! .%!&'.,1%6! *=)%6-%()63! I#! $%!
&'%%1P6!8-!&019/!&,33!/1,!&-66-!(/),-!-%!6'.6!/')%6!*-!('%!1>-!Oz!Q!!
!
𝐵𝑀=!𝑓𝑧.𝐼!!!!!!!17-&!!!!!!𝑓𝑧=!!
!!
!𝑠𝑖𝑛!𝜃!!!!!!!@7'),!->-,&)&-!/,3&3*-%6A!
!
C1%(! &-6! ->-,&)&-5! '%! &0-,&0-! ?!
&'%%1P6,-! 8-! &019/! -%! .%! /')%6!
7')()%!*-!8=1>-!Oz#!
!
"#! R.(6);)-,! :.-! 8='%! &0-,&0-! .%!
&019/! *-! 81! ;',9-! 𝐵
!𝑟,𝑧𝒆𝒓+
𝐵
!𝑟,𝑧𝒆𝒛#!
!
B#!S>/,)9-,!8-!;8.>!*-!B!?!6,17-,(!.%-!(.,;1&-!&48)%*,):.-!3839-%61),-!;-,93-!*-!
,14'%! r5! 01.6-.,! dz! @r!-6!dz! 361%6! *.! 9M9-! ',*,-! *-! 2,1%*-.,A#! S%! *3*.),-! 8-!
*37-8'//-9-%6!8)9)63!1.!"-,!',*,-!*-!Br(r,$z)!-%!&'%()*3,1%6!:.-!Bz(r,$z)$≈$B(M)!5!
M!361%6!(.,!8=1>-#!!
$%!/,3&)(-,1!/'.,:.')!,!-6!81!01.6-.,!
*.! &48)%*,-! *')7-%6!M6,-! /-6)6(! @&-!
&18&.8!%=-(6!7181L8-!:.=1.!7')()%12-!*-!
8=1>-!TA#!
!
E#!D,'.7-,!18',(!8-!*37-8'//-9-%6!8)9)63!1.!(-&'%*!',*,-!*-!Bz(r,$z)!-%!/'(1%6!!
!
Bz(r,$z)$=$Bz(0,$z)$+$𝛽(z)r2I#!
!
S>/8)&)6-,!𝛽(z)!-%!/,-%1%6!8-!&'%6'.,!(.)71%6!Q!
!
!

Physique)
3!
!
www.aaecge.wordpress.com)
3!
!
U#! S%! *3*.),-! 8-! &019/!𝐵!-%! .%! /')%6! P!*-! &'',*'%%3-(!(r,$𝜃,$ z)!17-&! r$ <<$ R5!
&'%%1)((1%6!𝐵!-%!M!*-!&'',*'%%3-(!@0,$0,$zA#!
!
§Conseil$:$$
1)$ L’étude$ habituelle$ des$ symétries$ et$ des$ invariances$ permet$ de$ répondre$ à$ la$
première$question.$
2)$r$étant$petit,$comme$la$hauteur$du$cylindre,$il$n’est$pas$besoin$d’intégrer$sur$les$
différentes$ surfaces$ pour$ exprimer$ le$ flux.$ Se$ souvenir$ que$ le$ flux$ de$ B$ à$ travers$
n’importe$quelle$surface$fermée$est$nul.$
3)$ En$ appliquant$ le$ théorème$ d’Ampère$ sur$ un$ contour$ élémentaire$ ad$ hoc,$ le$
calcul$ de$ la$ circulation$ de$ B,$ développé$ au$ second$ ordre$ en$ r,$ permet$ d’expliciter$
𝛽(z)!$.$
4)$On$remarquera$que$B(P)$s’exprime$uniquement$en$fonction$de$B$sur$l’axe.$
!
!
!
!
!
!
!
!

4!
Phisique)
!
4!
www.aaecge.wordpress.com)
!
Corrigés
!
!
!
Exo 1 : Analogie gravitationnelle : champ de pesanteur
dans une cavité sphérique
"! V! W-! /,)%&)/-! *-! 81! ('8.6)'%! -(6! 8-!(.)71%6! Q! /1,! 1%184(-! *-(! (4936,)-(!𝐸=
𝐸𝑟𝑒!#!F')6!Σ!81!(/0+,-!*-!,14'%!r!5!17-&!r$<$R!#!
!
Σ!&'%6)-%6!81!&01,2-!𝑄𝑟=𝜌!×!𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =!!
!
𝜋𝑟!𝜌!
!
$%!1//8):.-!8-!603',+9-!*-!X1.((!?!Σ!Q!!!!!!!4𝜋𝑟!𝐸𝑟=!!(!)
!!
!#!
C='Y!8-!,3(.8616Q!!!!!𝐸=!"
!!!
𝑒!!!!!/'.,!,!Z!<!#!
!
B#! !W-! &019/! 38-&6,'(616):.-! -6! 8-! &019/! 2,17)616)'%%-8! ('%6! ;',9-88-9-%6!
1%18'2.-(#!W-!&019/!*-!2,17)616)'%!-%!.%!/')%6!)%63,)-.,!-(6!𝒢=𝒢𝑟𝑒!!!!5!17-&!Q!
!
𝒢𝑟=−4𝜋𝐺 !
!
𝑟𝑒!!!'.!𝒢(𝑀)=−4𝜋𝐺 !
!
𝑂𝑀!
!
X! -(6! 81! &'%(61%6-! *-! 2,17)616)'%! .%)7-,(-88-! :.)! &',,-(/'%*!?!−!
!!!!
!*1%(!
8=1%18'2)-#!
!
E#! !$%! 1;;-&6-! 8=)%*)&-! "! 1.! (4(6+9-! 36.*)35! 8=)%*)&-! B! ?! 81! D-,,-! (1%(! &17)63! -6!
8=)%*)&-! E! ?! .%-! (/0+,-! /8-)%-! *-! 91((-! 7'8.9):.-!𝜌!'&&./1%6! 8=-(/1&-! *-! 81!
&17)63#!$%!/-.6!&'%()*3,-,!:.-!@B)!-(6!81!(./-,/'()6)'%!*-!@")!-6!@E)!Q!
!
W1!(./-,/'()6)'%!*-(!*)(6,)L.6)'%(!)9/8):.-!8=1**)6)'%!*-(!&019/(!Q!
!
𝒢!𝑀=𝒢!𝑀+𝒢!𝑀!
C=1/,+(!81!:.-(6)'%!BA!Q!!
𝒢!𝑀=−4𝜋𝐺 𝜌
3𝑂𝑀!!!!𝑒𝑡!!𝒢!𝑀=−4𝜋𝐺 𝜌 3𝐶𝑀!!!
!
$%!'L6)-%6!*'%&5!-%!,-91,:.1%6!:.-!!𝑂𝑀!−𝐶𝑀!=𝑂𝐶!!!Q!

Physique)
5!
!
www.aaecge.wordpress.com)
5!
!
!
𝒢!𝑀=−4𝜋𝐺 𝜌
3𝑂𝐶!!!!!
!
W-!&019/!*-!2,17)616)'%!-(6!*'%&!.%);',9-!*1%(!.%-!&17)63!(/03,):.-5!:.-8!:.-!
(')6!('%!,14'%#!
!
!
!
Exo 2 : Circulation du champ magnétique créé par une
spire sur son axe
"#!F')6! .%-! (/),-! *-! ,14'%! R!5! *=1>-! Oz$5! *-! &-%6,-! O!/1,&'.,.-!/1,! .%! &'.,1%6!
*=)%6-%()63!I!#!
!
!
D'.6! /81%! &'%6-%1%6! 8=1>-! Oz! -(6! .%! /81%! *=1%6)(4936,)-! *-(! &'.,1%6(! *'%&!
𝐵!1//1,6)-%6!?!&-(!/81%(5!*'%&!?!8-.,!)%6-,(-&6)'%5!
(')6!Q!𝐵𝑀=𝐵𝑧.𝑒!!#!
!
G18&.8'%(!𝐵(𝑀)!-%!.6)8)(1%6!81!8')!*-![)'6!-6!F171,6!Q!
F')6!.%!3839-%6!*-!&'.,1%6!!!!I.𝑑𝑙!!!!!-%!\!@17-&!!.𝑑𝑙 =𝑅𝑑𝜑.𝑒!A!Q!
!
𝑑𝐵 =𝜇!
4𝜋.
𝐼.𝑑𝑙 !!∧!𝑃𝑀!!!
𝑃𝑀!=𝜇! 4𝜋.
𝐼.𝑅𝑑𝜑𝑒!!!∧!𝑃𝑀!!
𝑃𝑀!!