Approche énergétique du mouvement d`un point matériel

Mécanique 4 Approche énergétique du
mouvement d’un point matériel
Lycée Polyvalent de Montbéliard - Physique-Chimie - TSI 1 - 2016-2017
Contenu du programme officiel :
Notions et contenus Capacités exigibles
Puissance et travail d’une force. - Reconnaître le caractère moteur ou résistant d’une force.
Loi de l’énergie cinétique et loi de la puissance cinétique
dans un référentiel galiléen.
- Utiliser la loi appropriée en fonction du contexte.
Énergie potentielle.
Énergie mécanique.
- Utiliser les expressions des énergies potentielles de pesanteur (champ
uniforme) et de l’énergie potentielle élastique.
Mouvement conservatif.
Mouvement conservatif à une dimension.
- Distinguer force conservative et force non conservative.
- Reconnaître les cas de conservation de l’énergie mécanique.
- Utiliser les conditions initiales.
- Déduire d’un graphe d’énergie potentielle le comportement qualitatif :
trajectoire bornée ou non, mouvement périodique, positions de vitesse
nulle.
Positions d’équilibre.
Stabilité.
- Déduire d’un graphe d’énergie potentielle l’existence de positions d’équi-
libre, et la nature stable ou instable de ces positions.
En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.
Table des matières
1 Puissance et travail d’une force 1
1.1 Définition de la puissance d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Caractère moteur ou résistante d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Définition du travail d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Exemplesdetravaux.......................................... 3
2 Énergie cinétique et théorèmes fondamentaux 4
2.1 Définition de l’énergie cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Théorème de la puissance cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Théorème de l’énergie cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Énergies potentielles et énergie mécanique 5
3.1 Forces conservatives et énergies potentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Exemples de forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 L’énergiemécanique.......................................... 6
4 Mouvements conservatifs 7
4.1 L’exemple du pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Utilisation des courbes d’énergie potentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 Lachutelibre.............................................. 10
4.4 Le système masse-ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 Puissance et travail d’une force
1.1 Définition de la puissance d’une force
Plaçons nous dans un référentiel Ret considérons un point matériel M. Considérons la trajectoire du
point M. À un instant tdonné, il est à la position −−→ OM(t), à la vitesse #” v(M/R)et soumis à une force #” F.
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•M(t)
#”
v
#”
F
Définition. On définit la puissance de la force #” Fdans le référentiel Rpar
PR(t) = #” F·#” v(M/R)(t).(1.1)
La puissance s’exprime en Watt (W).
Comme la vitesse dépend du référentiel, la puissance dépend du référentiel d’étude.
Remarque : La puissance est un scalaire (un nombre) et est définie par le produit scalaire
entre deux vecteurs. On rappelle que le produit scalaire entre les vecteurs #” aet
#”
bs’exprime
#”
a·
#”
b=xaxb+yayb+zazb=|#” a||
#”
b|cos θ
avec θl’angle formé par les deux vecteurs.
On remarque que la puissance est nulle si la vitesse est orthogonale à la force, ou si la vitesse est nulle.
Application 1 : Soit un point matériel Mde masse msoumis uniquement à la force de gravitation,
avec le vecteur #” ezorienté vers le haut. On prendra v0= 2 m/set g= 10 m/s2. Calculer la puissance
de la force si #” v=v0#” ez,#” v=−v0#” ez,#” v=v0#” exet si #” v=v0cos α#” ez+v0sin α#” exavec α=π/3.
1.2 Caractère moteur ou résistante d’une force
Définition.
Si P>0, la force est qualifiée de motrice ou moteur.
Si P<0, la force est qualifiée de résistive ou résistante.
Revenons à la définition de la puissance (1.1). Si P>0, cela signifie que l’angle entre les deux vecteurs
est inférieur π/2, ainsi la force est globalement dans la même direction que la vitesse. La force « tire » dans
la bonne direction. À l’inverse, si P<0, la force s’oppose au mouvement, elle va freiner le mouvement.
•
M(t)
#”
v
#”
F
I
#”
F·#” v > 0: la force est motrice.
•M(t)
#”
v
#”
F
I
#”
F·#” v < 0: la force est résistive.
1.3 Définition du travail d’une force
Définition. Soit un point matériel Men mouvement à la vitesse #” v(M/R)soumis à une force #” F. On définit
le travail Wfourni par la force entre les points A et B par
WA→B=ZB
A
dtPR(t) = ZB
A
dt#” F·#” v(M/R).(1.2)
Le travail correspond à l’énergie fournie ou prélevée à la masse à travers l’action de la force. Il s’exprime
en Joule (J).
Remarque : On peut définir le travail élémentaire d’une force δW par
δW =#” F·
#”
d=PR(t)dt
où
#”
dest le déplacement infinitésimal de la masse pendant le temps dt. Dans ce cas, le travail
est défini par WA→B=RB
AδW .
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Si WA→B= 0, on dit que la force ne travaille pas entre les points Aet B. Comme la puissance, on
emploie les termes de travail résistif ou moteur selon le signe du travail.
Propriété. Le travail fourni par une force pour que le point matériel aille d’un point à un autre dépend
du chemin suivi.
Il ne faut pas fournir la même quantité d’énergie selon le chemin que l’on prend pour aller d’un point à un
autre.
Exemple 1 : Dans l’exemple suivant, l’âne a deux possibilités pour aller de Avers Bmais
il doit se confronter à la force #” Fdue au courant. Tout le long du chemin 1, #” F·
#”
d > 0donc
W1
A→B>0alors que pour le chemin 2, on a #”
F·
#”
d < 0donc W2
A→B<0. Le travail dépend
donc du chemin suivi.
1.4 Exemples de travaux
ILe travail du poids
Calculons le travail du poids #” pd’un corps de masse m se déplaçant d’un point Arepéré par sa côte zA
à un point Brepéré par sa côte zB.
x
z
•
A
zA
zB•
B
#”
g
WA→B=ZB
A
dt m#” g·#” v=−mg ZB
A
dt˙z(t) = −mg(zB−zA).
Attention au signe moins provenant du fait que #”
ezet #” gsont de sens opposés.
Dans ce cas, le travail du poids ne dépend pas du chemin suivi, on verra au paragraphe 3 que cette
propriété est liée à l’existence d’une énergie potentielle. On remarque que si la masse se déplace horizon-
talement, le travail du poids est nul, cette force ne fournit ou ne prélève alors pas d’énergie.
ITravail de la force de rappel d’un ressort
Application 2 : Montrer que le travail de la force de rappel d’un ressort entre un point Aet un
point Bvaut
WA→B=−1
2kh(lB−l0)2−(lA−l0)2i.
Selon les positions des points Aet B, ce travail est soit moteur, soit résistant.
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ITravail des forces de réaction d’un support
Application 3 : On note #” Rla force de réaction du support. Montrer que la force de réaction
normale ne travaille pas et que le travail de la force de réaction tangentielle entre un point Aet un
point Bvaut
WA→B=−ZB
A
dt T v(M/R)(t).
2 Énergie cinétique et théorèmes fondamentaux
2.1 Définition de l’énergie cinétique
Plaçons nous dans un référentiel Ret considérons un point matériel Mde masse . Celui-ci est animé
d’une vitesse #” v(M/R).
Définition. L’énergie cinétique est la grandeur scalaire
Ec(M/R) = 1
2mv2(M/R).(2.1)
Il s’agit d’une énergie donc son unité est le Joule (J).
L’énergie cinétique dépend de la vitesse, donc du référentiel d’étude.
2.2 Théorème de la puissance cinétique
Supposons maintenant que le référentiel Rest un référentiel galiléen et que s’applique sur le point
Mun ensemble de forces noté #” F. Calculons la dérivée de l’énergie cinétique en utilisant v2(M/R) =
#”
v(M/R)·#” v(M/R). Il vient
dEc(M/R)
dt=1 2m2#”
a(M/R)·#” v(M/R)= (m#” a(M/R)) ·#” v(M/R) = #” F·#” v(M/R)
en appliquant la seconde loi de Newton.
Théorème. Le théorème de la puissance cinétique indique que, dans un référentiel galiléen, on a
dEc(M/R)
dt=PR.(2.2)
La dérivée de l’énergie cinétique du point Mest égale à la puissance des forces appliquées sur le point M.
Cette loi permet de retrouver les équations de la dynamique. D’un point de vue théorique, cette loi
est exactement équivalente à l’utilisation de la seconde loi de Newton. Toutefois, son utilisation est parfois
plus pratique car elle ne nécessite pas de travailler avec des grandeurs vectorielles.
Application 4 : On considère un pendule simple : une masse mest suspendue à un fil sans masse
inextensible de longueur dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
BMontrer que, en coordonnées cylindriques, la puissance du poids vaut P=−mg ˙ θsin θ.
BJustifier que la tension du fil ne travaille pas.
BEn utilisant le théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle sur θ(t).
2.3 Théorème de l’énergie cinétique
Partons du théorème de l’énergie cinétique (2.2) et intégrons le entre un point Aet un point B. On a
ZB
A
dtdEc(M/R)
dt=Ec(B)−Ec(A).
On en déduit le théorème suivant par définition du travail d’une force.
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Théorème. Le théorème de l’énergie cinétique indique que, dans un référentiel galiléen, on a
∆Ec=Ec(B)−Ec(A) = WA→B.(2.3)
La variation de l’énergie cinétique du point Mentre deux points Aet Best égale au des forces appliquées
sur le point Mentre ces deux points.
Ce théorème permet de trouver des valeurs particulières de vitesse, sans avoir besoin d’étudier dans le
détail les équations du mouvements.
Application 5 : Un skieur de masse mglisse sans frottements sur une piste. Il subit donc uniquement
l’action de son propre poids. On suppose qu’il est initialement immobile. En supposant qu’il se laisse
glisser, quelle est sa vitesse après avoir dévalé un dénivelé de 100 m ?
3 Énergies potentielles et énergie mécanique
3.1 Forces conservatives et énergies potentielles
À nouveau, plaçons nous dans le référentiel Rsupposé galiléen. Nous étudions le mouvement du point
matériel Mde masse msoumis à une force notée #” F. Nous avons vu paragraphe 1.3 que le travail WA→B
de la force #” Fdépend a priori du chemin suivi pour aller de Avers B. Toutefois, il existe des forces
particulières pour lesquelles ce travail ne dépend jamais du chemin suivi, comme le poids. Dans ce cas, on
définit l’énergie potentielle comme étant l’opposé de ce travail.
Définition. Une force est conservative si son travail entre deux points ne dépend ni de la trajectoire qui
les relie, ni de la façon dont elle est parcourue. Elle admet alors une énergie potentielle.
L’énergie potentielle au point Mest définie par
Ep(M)−Ep(O) = −WO→M.(3.1)
C’est une énergie, son unité est le Joule (J).
L’énergie potentielle est toujours définie à une constante Ep(O)près. Généralement le point Oest choisi
comme origine des potentiels et donc on prend Ep(O)=0.
Remarque : D’un point de vue vocabulaire, on dit que la force #” Fdérive de l’énergie potentielle
Ep.
3.2 Exemples de forces conservatives
IL’énergie potentielle de pesanteur
Nous avons vu au paragraphe 1.4 que le travail du poids pour passer d’un point Aà un point Bvaut
WA→B=−mg(zB−zA).
Propriété. Posons comme origine des potentiels le point Ositué à zO= 0 et donc Ep(O)=0. Dans ce
cas, l’énergie potentielle au point Mvaut, par définition
Ep(M) = −WO→M=mgzM.
LLLAttention ! Cette expression dépend du sens de l’axe des z. Ici, il est vers le haut. Si l’axe est vers
le bas, on aura moins l’expression indiquée.
Il faut retenir que l’énergie potentielle de pesanteur augmente linéairement avec l’altitude.
IL’énergie potentielle élastique
Nous avons vu au paragraphe 1.4 que le travail de la force de rappel élastique passer d’un point Aà un
point Bvaut WA→B=1
2k(lB−l0)2−(lA−l0)2.
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