Correction

Cinématique+du+point+matériel+
+
Exercice+1+:+Trajectoire+hélicoïdale+
Le#référentiel#d’étude#(ℛ)#est#associé#au#repère#d’espace#orthonormé# 𝑂,𝑒!,𝑒!,𝑒!.#
Soit#l’hélice#droite#définie#en#coordonnées#cylindriques#dans#(ℛ)#par#(ℎ#est#une#constante#positive)#:#
!𝑟=𝑅!
!𝑧=ℎ𝜃#
On#s’intéresse#à#un#point#matériel#𝑀#qui#décrit#cette#hélice#dans#le#sens#des#𝜃#croissants.#
#
1) Calculer#les#vecteurs#vitesse#et#accélération#de#M#dans#(ℛ)#en#coordonnées#cylindriques.#
2) Calculer#la#vitesse#𝑣#de#M#dans#(ℛ).#
3) 𝑀#parcourt#l’hélice#à#la#vitesse#constante#𝑉
!.#En#déduire#les#vecteurs#vitesse#et#accélération#de#
M#dans#(ℛ)#en#fonction#de#𝑉
!,#𝑅!#et#h.#
Correction):#
1) Le#vecteur#position#de#M#dans#la#base#des#coordonnées#cylindriques#est#:#
𝑶𝑴 =𝑟𝒆𝒓+𝑧𝒆𝒛!!𝑎𝑣𝑒𝑐!!!𝑟=𝑅!
𝑧=ℎ𝜃#
𝑶𝑴 =𝑅!𝒆𝒓+ℎ𝜃𝒆𝒛#
On#peut#alors#calculer#les#vecteurs#vitesse#et#accélération#de#M#dans#(ℛ)!:#
𝒗(𝑀)/(ℛ)=
𝑑𝑶𝑴
𝑑𝑡 /(ℛ)
#
𝒗(𝑀)/(ℛ)=𝑅!𝜃𝒆𝜽+ℎ𝜃𝒆𝒛)
𝒂(𝑀)/(ℛ)=
𝑑𝒗(𝑀)/(ℛ)
𝑑𝑡 /(ℛ)
#
𝒂(𝑀)/(ℛ)=−𝑅!𝜃²𝒆𝒓+𝑅!𝜃𝒆𝜽+ℎ𝜃𝒆𝒛#
2) La#vitesse#v#de#M#dans#(ℛ)#est#donnée#par#:#
𝑣=𝒗(𝑀)/(ℛ)#

La#base#(𝒆𝒓,𝒆𝜽,𝒆𝒛)#étant#une#base#orthonormée,#on#peut#écrire#:#
𝑣=𝑅!𝜃! +ℎ𝜃! =𝜃𝑅!
!+ℎ!#
Le#point#matériel#M#décrit#l’hélice#dans#le#sens#des#𝜃#croissants#donc#𝜃↗#au#cours#du#temps,#ce#qui#
signifie#que#𝜃>0.#On#obtient#donc#finalement#:#
𝑣=𝜃𝑅!
!+ℎ!#
3) M#parcourt#l’hélice#à#la#vitesse#constante#𝑉
!.#On#a#donc#:#
𝑣=𝜃𝑅!
!+ℎ!=𝑉
!#
𝜃=
𝑉
!
𝑅!
!+ℎ!
=𝑐!"# !!𝑒𝑡!!𝜃=0#
𝒗(𝑀)/(ℛ)=𝑅!𝜃𝒆𝜽+ℎ𝜃𝒆𝒛=
𝑅!𝑉
!
𝑅!
!+ℎ!
𝒆𝜽+
ℎ𝑉
!
𝑅!
!+ℎ!
𝒆𝒛#
𝒂(𝑀)/(ℛ)=−𝑅!𝜃²𝒆𝒓=−
𝑅!𝑉
!
!
𝑅!
!+ℎ!𝒆𝒓#
Exercice+2+:+Risque+de+collision+au+freinage+
1) Une# voiture# roule# en# ligne# droite# à# une# vitesse# constante# 𝑉
!.# A# l’instant# 𝑡=0,# le# conducteur#
aperçoit#un#obstacle,#mais#il#ne#commence#à#freiner,#avec#une#décélération#constante#𝑎,#qu’au#
bout#d’un#temps#𝜀.#Calculer#la#distance#parcourue#par#le#véhicule#depuis#l’instant#initial#jusqu’à#
l’arrêt#total#de#la#voiture.#
2) Application#numérique#:#𝑎=−7,5#m.sM2,#𝜀=0,6#s,#𝑉
!=54#km#/h#puis#𝑉 !=108#km#/h.#
3) Deux#voitures#se#suivent#sur#une#route#droite,#à#une#distance#𝑑,#et#roulent#à# la#même#vitesse#
constante#𝑉
!.#A#l’instant#𝑡=0,#la#première#voiture#commence#à#freiner,#avec#une#décélération#
constante# 𝑎.# La# seconde# voiture# ne# commence# à# freiner# qu’au# bout# d’un# temps# 𝜀,# avec#une#
décélération# constante# 𝑏.# Quelle# condition# doit# satisfaire# la# distance# 𝑑#pour# que# la# seconde#
voiture#s’arrête#en#arrière#de#la#première#?#
4) Application#numérique#:#𝑎=−7,5#m.sM2,#𝑏=−6,0#m.sM2,#𝜀=0,6#s,#𝑉
!=108#km#/h.#
Correction):)
1) On#prend#comme#origine#des#abscisses#la#position#de#la#voiture#à#l’instant#𝑡=0.#Avant#de#freiner,#
la#voiture#parcourt#une#distance#:#
𝑥!=𝑉
!𝜀#
Pour#𝑡>𝜀,#le#mouvement#est#caractérisé#par#une#vitesse#et#une#position#:#
𝑥(𝑡)=−𝑎𝑡−𝜀+𝑉
!#
𝑥𝑡=−
𝑎
2
𝑡−𝜀!+𝑉
!𝑡−𝜀+𝑥!#
L’arrêt#de#la#voiture#est#obtenu#pour#un#temps#T#tel#que#:#

𝑥𝑇=0!⇔!!−𝑎𝑇−𝜀+𝑉
!=0#
𝑠𝑜𝑖𝑡!!𝑇=𝜀+
𝑉
!
𝑎#
En#reportant#cette#valeur#dans#l’expression#de#𝑥,#on#obtient#l’expression#de#la#distance#d’arrêt#D#:#
𝐷=𝑥𝑇=−
𝑎
2
𝑉
!
𝑎
!
+𝑉
!
𝑉
!
𝑎+𝑥!#
𝐷=
𝑉
!
2𝑎
!
+𝑉
!𝜀#
2) Application#numérique#:#
!𝑉
!#(km/h)#
54#
108#
𝐷#(m)#
24#
78#
3) L’équation#horaire#de#la#première#voiture#est#donnée#par#la#relation#précédente,#en#prenant#𝜀=0#
et#𝑥!=0!:#
𝑥𝑡=−
𝑎
2
𝑡!+𝑉
!𝑡#
Cette#voiture#s’arrête#à#l’abscisse#:#
𝐷!=
𝑉
!
2𝑎
!
#
A# l’instant# 𝑡=0,# la# seconde# voiture# était# à# l’abscisse# –𝑑#et# à# l’instant# 𝑡=𝜀,# elle# était# donc# à#
l’abscisse#:#
𝑥!=−𝑑+𝑉
!𝜀#
Pour#𝑡>𝜀,#le#mouvement#de#la#seconde#voiture#est#caractérisé#par#une#vitesse#et#une#position#:#
𝑥(𝑡)=−𝑏𝑡−𝜀+𝑉
!#
𝑥𝑡=−
𝑏
2
𝑡−𝜀!+𝑉
!𝑡−𝜀−𝑑+𝑉 !𝜀#
L’arrêt#de#la#seconde#voiture#est#obtenu#pour#un#temps#T#tel#que#:#
𝑥𝑇=0!⇔!!−𝑏𝑇−𝜀+𝑉
!=0#
𝑠𝑜𝑖𝑡!!𝑇=𝜀+
𝑉
!
𝑏#
En#reportant#cette#valeur#dans#l’expression#de#𝑥,#on#obtient#l’expression#de#la#distance#d’arrêt#𝐷!#
de#la#seconde#voiture#:#
𝐷!=𝑥𝑇=−
𝑏
2
𝑉
!
𝑏
!
+𝑉
!
𝑉
!
𝑏−𝑑+𝑉
!𝜀#
𝐷!=
𝑉
!
2𝑏
!
−𝑑+𝑉
!𝜀#
Pour# que# les# deux# voitures# ne# créent# pas# un# accident,# il# faut# que# (on# néglige# les# dimensions#
respectives#des#deux#voitures#assimilées#à#des#points#matériels)#:#
𝑉
!
2𝑏
!
−𝑑+𝑉
!𝜀<
𝑉
!
2𝑎
!
#
⇔!!𝑑>
𝑉
!
2
!1
𝑏−
1
𝑎+𝑉
!𝜀#
4) Application#numérique#:!𝑑>33#m.#