Plus petit cycle d`homologie, coupe minimale et graphes plongés

Plus petit cycle d’homologie, coupe minimale et graphes
plong´es dans des surfaces
FMIN307 - Complexit´e avanc´ee
Boris Albar
Reference : Minimum Cuts And Shortest Homologous Cycle
E. W. Chambers, J. Erickson, A. Nayyeri
26 novembre 2010
Boris Albar (Reference : Minimum Cuts And Shortest Homologous Cycle E. W. Chambers, J. Erickson, A. Nayyeri)Plus petit cycle d’homologie, coupe minimale et graphes plong´es dans des surfaces26 novembre 2010 1 / 20

Introduction
Topologie algorithmique
Arbre de plus court chemin (sources multiples) : g2nlog n
Plus petit cycle non-contractile : gO(g)n4/3.
Flot maximum : gO(g)n3/2
Shortest Splitting Cycle : gO(g)n2log n
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Rappels
Rappels (ou pas !) de topologie alg´ebrique
Definition
Une surface (ou 2-vari´et´e) est un espace topologique s´epar´e `a base
d´enombrable tel que tout point admette un voisinage ouvert hom´eomorphe
`a un ouvert de R2ou `a R×R+.
On consid`ere ici uniquement les surfaces orientables, compactes, connexes.
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Rappels
Rappels (ou pas !) de topologie alg´ebrique
Definition
Une surface (ou 2-vari´et´e) est un espace topologique s´epar´e `a base
d´enombrable tel que tout point admette un voisinage ouvert hom´eomorphe
`a un ouvert de R2ou `a R×R+.
On consid`ere ici uniquement les surfaces orientables, compactes, connexes.
Boris Albar (Reference : Minimum Cuts And Shortest Homologous Cycle E. W. Chambers, J. Erickson, A. Nayyeri)Plus petit cycle d’homologie, coupe minimale et graphes plong´es dans des surfaces26 novembre 2010 3 / 20

Rappels
Genre d’une surface
Definition
On appelle genre de la surface Σ, le nombre maximal g de courbes
ferm´ees simples γi(pas de recoupements) incluses dans la surface telles
que le compl´ementaire Σ\ S
i<g
γi!soit connexe.
Cela correspond au nombre de ”trous” de la surfaces.
Figure: Surface de genre 2 sans composantes de bord
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