TD 1 : repre, projection

LIVRET DE TD
LP101B
2008-09 – P2
Emmanuel Rollinde

BIBLIOGRAPHIE
Forces, champs, énergie
Lucile Julien
Paris, Nathan, 1998
Bibliothèque Jussieu: *L1-L2 ou Physique enseignement 531.1 JUL*
Petit livre complet et excellent, couvrant quasiment l'ensemble du cours. Idéal pour réviser
dans le métro. Ne contient pas d'exercices.
Toute la physique de Sup MPSI-PCSI-PTSI 1re année
Collection : Prépas
Editeur : Belin, Olivier Fiat, 2004
Bibliothèque Jussieu: *Physique enseignement 530 FIA ou L1-L2 53 FIA*
Un cours, des exercices d'application directe et des "Grands classiques" pour préparer
l'examen, avec des astuces, et toutes les corrections détaillées. Les chapitres 1 à 5 couvrent
tout le cours, sauf la mécanique des fluides.
Physique 1 Mécanique: solutions et corrigé des problémes
Harris Benson
Paris, De Boeck, 1999
Bibliothèque Jussieu: *Physique enseignement 530 BEN*
Livre classique de Mécanique couvrant l'ensemble du cours, clair et bien illustré, avec de
courts exercices corrigés.

définition dimension unité symbole
distance l L mètre m
aire s
volume V
angle
masse m M kilogramme kg
masse volumique ρ
densité d
temps t T seconde s
fréquence f
pulsation ω
vitesse v
accélération a, g
force F
quantité de mouvement p
énergie, travail W
puissance P
pression p
constante de raideur d'un ressort k
débit volumique D
intensité d'un courant i I ampère A
charge électrique q
champ électrique E
CONSTANTES : Valeur :
Constante de Boltzman kB B1,38.10-23
Nombre d’Avogadro NA6.025.1023
Constante des gaz parfaits R 8,314
Charge élémentaire e 1,6 × 10-19 Coulomb C
Masse volumique de l’eau
ρ
eau 103 kg m-3

Travaux dirigés 1
Repères, Trajet élémentaire
Pré-requis : Notion de vecteurs. Dérivée, intégration.
Compétences à acquérir :
Notion de référentiel, vitesse, accélération. Projections.
Variation élémentaire, intégrée.
A – Repère
1. Tracez un repère orthonormé (Oxy). Placez les points
 A(2,0)
 B sur le cercle de rayon 2 centré en O et d’abscisse x=1
 C de coordonnée radiale (r = 3, α = 45 degré)
a. Donnez les coordonnées sphériques et cartésiennes de A, B et C ?
b. Donnez l’équation de la droite (AB).
c. Par le calcul et sur le dessin, déterminez la norme AB, ainsi que la norme de la projection
du segment [AB] sur l’axe Ox, puis sur l’axe Oy.
2. (exercice supplémentaire) Dans un repère (Oxyz), placez les points suivants :
 Transformez les coordonnées sphériques A(r = 1, θxy = π/4, γz = π/4) en coordonnées
cartésiennes… [A(1/2,1/2, √ 2/2)]
 Transformez les coordonnées cylindriques B(r = 1, z = 2, θxy = π/3) en coordonnées
cartésiennes… [B(1/2, √ 3/2, 2)]
B – Trajet élémentaire
1. Un coureur cycliste se déplace sur une ligne droite d’un point A(x=0) à un point B. Sa
vitesse, en fonction du temps (en h), est v(t) = 16 – 2 (t-2)^3 km/h. Il met 4 heures pour
atteindre le point B.
a. On s’intéresse au système à une position quelconque M(x) atteinte au bout d’un
temps t. Quelle distance, dx, a-t-il parcourue après un temps court dt ?
b. Quelle fonction mathématique vous permet de déterminer la position x du point M,
en fonction du temps t, à partir de v(t) ? En déduire la coordonnée de B.
c. En quel point le cycliste a-t-il une vitesse maximale ?
d. Calculez la vitesse moyenne du cycliste.
2. Une fusée s’échappe de la Terre, R = 6371 km, en ligne droite à partir du point A. Elle
monte jusqu’à une altitude h = 200 km, puis libère un satellite qui tourne ensuite autour de la
Terre dans un mouvement circulaire à vitesse constante.
a. Quelle est la projection du poids sur l’axe du mouvement de la fusée lors de sa
montée ? Calculez l’intégrale de la fonction W = Poids . dOM.
b. Même question pour le satellite.
A.N. : masse de la fusée M = 10 tonnes ; masse du satellite m = 5 tonnes

Travaux dirigés 2
Analyse dimensionnelle, Equilibre d’un système ponctuel
Pré-requis : Notion de vecteurs. Dérivée, intégration.
Compétences à acquérir : (Fiche 1 et 3)
Expression des forces. Dimension d’une force, de l’énergie cinétique d’un système ; du travail
et de la puissance d’une force le long d’un mouvement. Utiliser ces dimensions pour résoudre
un problème par analyse dimensionnelle. Condition d’équilibre.
A. On considère un ressort, de longueur au repos lo, de constante de raideur k.
1. Un masse m est attachée au bout de ce ressort. Donnez l’expression de la force de
rappel que le ressort exerce sur la masse lorsque la longueur du ressort est l.
2. Le ressort, avec la masse, est attaché sur un plafond. Décrivez un repère ‘intelligent’,
puis donnez l’expression vectorielle de la force de rappel du ressort en fonction des variables
de ce repère.
3. Sans utilisez de lois physiques, déterminez par une analyse dimensionnelle,
l’allongement du ressort (l-l0) lorsqu’il est à l’équilibre, en fonction des paramètres du
problème. Retrouvez cette relation en utilisant les lois de Newton.
B. Une voiture de masse M = 1000 kg, est à l’arrêt sur une pente inclinée d’un angle de 45
degré.
1. Faîtes la liste des forces s’exerçant sur cette voiture, et donnez leurs caractéristiques.
2. En négligeant les frottements (frein à main levé), quelle puissance minimale faudrait-il
développer pour pousser cette voiture sur L0 mètres en T0 minutes ?
C. Homogénéité d’une formule
1. La pulsation du mouvement d'un pendule simple de longueur l est : ω = √{g / l}.
Vérifiez l'homogénéité de cette formule ; puis, par un raisonnement simple (à partir de cas
particuliers), vérifiez la cohérence de cette formule.
2. La pulsation du mouvement d'oscillation d'une masse m attachée à l'extrémité libre d'un
ressort de raideur k dépend à priori de k, m et g. Justifiez ces dépendances, puis déterminez
cette pulsation à une constante près. Proposez deux cas extrêmes permettant de vérifier votre
résultat.
D. Exercices supplémentaires
1. Donnez la dimension d'une pression ; déterminez α, β, γ, δ et ε pour que X = ρα vβ et Y
= ργ gδ zε aient la dimension d’une pression (avec ρ, une masse volumique ; v, une vitesse et z
une altitude) – vous retrouverez ces grandeurs en mécanique des fluides….
2. Montrez que les unités suivantes correspondent à une seule et même dimension : mW,
kJ/s, mg.cm2/s3. Par quels facteurs passe-t-on d'un système d'unités à l'autre ?
Réponse : 1 mW = 10 - 6 kJ/s et 1 mg.cm2/s3 = 10 - 13 kJ/s
3. la constante de Hubble vaut H0 = 70 km/s/Mpc (1Mpc = 3 1022 m). L'âge de l'univers est
estimé par 1/H0. Vérifier l'homogénéité de cette relation et donner un ordre de grandeurs pour
l'âge de l'univers.
Réponse : l’âge de l’univers est d’environ 15 Gyr (15 x 109 années)