TD 1 : repre, projection

LIVRET DE TD
LP101B
2008-09 – P2
Emmanuel Rollinde
BIBLIOGRAPHIE
Forces, champs, énergie
Lucile Julien
Paris, Nathan, 1998
Bibliothèque Jussieu: *L1-L2 ou Physique enseignement 531.1 JUL*
Petit livre complet et excellent, couvrant quasiment l'ensemble du cours. Idéal pour réviser
dans le métro. Ne contient pas d'exercices.
Toute la physique de Sup MPSI-PCSI-PTSI 1re année
Collection : Prépas
Editeur : Belin, Olivier Fiat, 2004
Bibliothèque Jussieu: *Physique enseignement 530 FIA ou L1-L2 53 FIA*
Un cours, des exercices d'application directe et des "Grands classiques" pour préparer
l'examen, avec des astuces, et toutes les corrections détaillées. Les chapitres 1 à 5 couvrent
tout le cours, sauf la mécanique des fluides.
Physique 1 Mécanique: solutions et corrigé des problémes
Harris Benson
Paris, De Boeck, 1999
Bibliothèque Jussieu: *Physique enseignement 530 BEN*
Livre classique de Mécanique couvrant l'ensemble du cours, clair et bien illustré, avec de
courts exercices corrigés.
définition
distance
l
aire
s
volume
V
dimension
unité
symbole
L
mètre
m
M
kilogramme
kg
T
seconde
s
I
ampère
A
Coulomb
C
angle
masse
m
masse volumique
ρ
densité
d
temps
t
fréquence
f
pulsation
ω
vitesse
v
accélération
a, g
force
F
quantité de mouvement
p
énergie, travail
W
puissance
P
pression
p
constante de raideur d'un ressort
k
débit volumique
D
intensité d'un courant
i
charge électrique
q
champ électrique
E
CONSTANTES :
Valeur :
Constante de Boltzman
kB
1,38.10-23
Nombre d’Avogadro
NA
6.025.1023
Constante des gaz parfaits
R
8,314
Charge élémentaire
e
1,6 × 10-19
Masse volumique de l’eau
ρeau 103 kg m-3
B
Travaux dirigés 1
Repères, Trajet élémentaire
Pré-requis : Notion de vecteurs. Dérivée, intégration.
Compétences à acquérir :
Notion de référentiel, vitesse, accélération. Projections.
Variation élémentaire, intégrée.
A – Repère
1. Tracez un repère orthonormé (Oxy). Placez les points
ƒ A(2,0)
ƒ B sur le cercle de rayon 2 centré en O et d’abscisse x=1
ƒ C de coordonnée radiale (r = 3, α = 45 degré)
a. Donnez les coordonnées sphériques et cartésiennes de A, B et C ?
b. Donnez l’équation de la droite (AB).
c. Par le calcul et sur le dessin, déterminez la norme AB, ainsi que la norme de la projection
du segment [AB] sur l’axe Ox, puis sur l’axe Oy.
2. (exercice supplémentaire) Dans un repère (Oxyz), placez les points suivants :
ƒ Transformez les coordonnées sphériques A(r = 1, θxy = π/4, γz = π/4) en coordonnées
cartésiennes… [A(1/2,1/2,√2/2)]
ƒ Transformez les coordonnées cylindriques B(r = 1, z = 2, θxy = π/3) en coordonnées
cartésiennes… [B(1/2,√3/2, 2)]
B – Trajet élémentaire
1. Un coureur cycliste se déplace sur une ligne droite d’un point A(x=0) à un point B. Sa
vitesse, en fonction du temps (en h), est v(t) = 16 – 2 (t-2)^3 km/h. Il met 4 heures pour
atteindre le point B.
a. On s’intéresse au système à une position quelconque M(x) atteinte au bout d’un
temps t. Quelle distance, dx, a-t-il parcourue après un temps court dt ?
b. Quelle fonction mathématique vous permet de déterminer la position x du point M,
en fonction du temps t, à partir de v(t) ? En déduire la coordonnée de B.
c. En quel point le cycliste a-t-il une vitesse maximale ?
d. Calculez la vitesse moyenne du cycliste.
2. Une fusée s’échappe de la Terre, R = 6371 km, en ligne droite à partir du point A. Elle
monte jusqu’à une altitude h = 200 km, puis libère un satellite qui tourne ensuite autour de la
Terre dans un mouvement circulaire à vitesse constante.
a. Quelle est la projection du poids sur l’axe du mouvement de la fusée lors de sa
montée ? Calculez l’intégrale de la fonction W = Poids . dOM.
b. Même question pour le satellite.
A.N. : masse de la fusée M = 10 tonnes ; masse du satellite m = 5 tonnes
Travaux dirigés 2
Analyse dimensionnelle, Equilibre d’un système ponctuel
Pré-requis : Notion de vecteurs. Dérivée, intégration.
Compétences à acquérir : (Fiche 1 et 3)
Expression des forces. Dimension d’une force, de l’énergie cinétique d’un système ; du travail
et de la puissance d’une force le long d’un mouvement. Utiliser ces dimensions pour résoudre
un problème par analyse dimensionnelle. Condition d’équilibre.
A. On considère un ressort, de longueur au repos lo, de constante de raideur k.
1. Un masse m est attachée au bout de ce ressort. Donnez l’expression de la force de
rappel que le ressort exerce sur la masse lorsque la longueur du ressort est l.
2. Le ressort, avec la masse, est attaché sur un plafond. Décrivez un repère ‘intelligent’,
puis donnez l’expression vectorielle de la force de rappel du ressort en fonction des variables
de ce repère.
3. Sans utilisez de lois physiques, déterminez par une analyse dimensionnelle,
l’allongement du ressort (l-l0) lorsqu’il est à l’équilibre, en fonction des paramètres du
problème. Retrouvez cette relation en utilisant les lois de Newton.
B. Une voiture de masse M = 1000 kg, est à l’arrêt sur une pente inclinée d’un angle de 45
degré.
1. Faîtes la liste des forces s’exerçant sur cette voiture, et donnez leurs caractéristiques.
2. En négligeant les frottements (frein à main levé), quelle puissance minimale faudrait-il
développer pour pousser cette voiture sur L0 mètres en T0 minutes ?
C. Homogénéité d’une formule
1. La pulsation du mouvement d'un pendule simple de longueur l est : ω = √{g / l}.
Vérifiez l'homogénéité de cette formule ; puis, par un raisonnement simple (à partir de cas
particuliers), vérifiez la cohérence de cette formule.
2. La pulsation du mouvement d'oscillation d'une masse m attachée à l'extrémité libre d'un
ressort de raideur k dépend à priori de k, m et g. Justifiez ces dépendances, puis déterminez
cette pulsation à une constante près. Proposez deux cas extrêmes permettant de vérifier votre
résultat.
D. Exercices supplémentaires
1. Donnez la dimension d'une pression ; déterminez α, β, γ, δ et ε pour que X = ρα vβ et Y
= ργ gδ zε aient la dimension d’une pression (avec ρ, une masse volumique ; v, une vitesse et z
une altitude) – vous retrouverez ces grandeurs en mécanique des fluides….
2. Montrez que les unités suivantes correspondent à une seule et même dimension : mW,
kJ/s, mg.cm2/s3. Par quels facteurs passe-t-on d'un système d'unités à l'autre ?
Réponse : 1 mW = 10 - 6 kJ/s et 1 mg.cm2/s3 = 10 - 13 kJ/s
3. la constante de Hubble vaut H0 = 70 km/s/Mpc (1Mpc = 3 1022 m). L'âge de l'univers est
estimé par 1/H0. Vérifier l'homogénéité de cette relation et donner un ordre de grandeurs pour
l'âge de l'univers.
Réponse : l’âge de l’univers est d’environ 15 Gyr (15 x 109 années)
Travaux dirigés 3
Travail, Energie potentielle
Pré-requis : Expression des forces, Intégration.
Compétences à acquérir : (Fiche 2 et 5)
Calcul du travail par intégration, par l’Energie potentielle ; forces conservatives.
A. Calcul d’un travail
Dans le repère orthonormé Oxy (vecteurs unitaires i et j ; unité = 1cm), un système
ponctuel M se déplace de O(0,0) à B(3,3) par trois chemin différents :
(a) en ligne droite, (b) en un mouvement circulaire de centre A(0,3), et (c) en allant de O à
A, puis de A à B.
Calculez, par intégration, le travail des forces suivantes selon les trois trajets (vous définirez
‘intelligemment’ un élément de trajet élémentaire pour faire l’intégration) :
- F = - 10 (N) j (par ex., la force de pesanteur) – cas du pendule
- F est une force de frottement, de norme 20 N, et opposée au déplacement.
-F =3xi
(par ex. un ressort pouvant se déplacer sur une tige fixe selon Oy)
Pour les forces conservatives, calculez l’Ep, et retrouvez le travail calculé précédemment.
B. Energie potentielle
1. Dans chaque exercice, vous définirez toutes les forces que subit une bille de masse m
(100 g), dans différentes situations. Puis, pour les forces conservatives, vous calculerez l'Ep
correspondante en fonction de la variable décrivant le mouvement. Vous dessinerez alors le
graphe de l’Ep totale.
(a) La bille est accrochée à un ressort de raideur k = 100 N/m et de longueur au repos lo= 5
cm. Le tout est posé sur une table horizontale. On appelle (Oy) l'axe du ressort.
(b) Le ressort et la bille sont maintenant attaché en un point O, et pendent librement selon la
verticale (Oz) (vous définirez le sens du repère selon votre goût, mais vérifiez le signe de vos
formules en utilisant des cas particuliers)
(c) La bille est suspendue à un pendule de longueur l0 = 5 cm. La variable utile pour le
mouvement est l’altitude z. La bille est située en z=0 lorsqu’elle n’est pas en mouvement.
(d) La bille est maintenant chargée (q=+1 C), et se déplace sur une table horizontale. Elle est
placée dans un champ électrique, qui exerce une force F = q E ux, avec E=1 unité S.I. (vous
donnerez l’unité de E en m,kg,s,C). Tout le mouvement se fait selon l’axe (Ox).
2. Soit un ressort attaché en O, de longueur au repos lo = 5 cm, et de raideur k= 100 N/m, en
position horizontale. A l'extrémité M du ressort (posé horizontalement), on place une masse
m=100 g (c’est donc le cas 1.a ci-dessus)
Quelle énergie doit fournir un opérateur pour faire passer de manière quasi-statique M de 5
cm à 15 cm, puis de 15 cm à 30 cm, de 2 cm à 10 cm ?
Calculez à nouveau cette énergie dans le cas où le ressort est en position verticale (cas 1.b).
C. Wagonnet (exercice relié au TP Wagonnet)
1. Un mobile de masse M est sur un plan incliné (d’un angle α), à une hauteur h. Il est lâché
sans vitesse initiale. Quel est le travail du poids pendant la descente jusqu’en bas de la pente ;
Sous quelle forme est convertie ce travail ?
2. Le mobile est sur une pente montante (d’un angle α) et posé sur un ressort de longueur au
repos lo et de constante k. Le ressort est comprimé à une longueur l puis lâché.
Quelle énergie va être fournie au mobile (travail moteur) ?
Quelle force agissant sur le mobile va utiliser cette énergie (travail résistif) ?
Déterminez la hauteur à laquelle va monter le mobile.
Travaux dirigés 4
Théorème de l’Energie cinétique, Energie mécanique
Pré-requis : Enoncé du TEC. Calcul du travail. (Fiche 2)
Compétences à acquérir : (Fiche 5 et 6). Choix entre TEC et théorème de l’Energie
mécanique ; système conservatif et dissipatif. Energie interne.
A – Un objet en cuivre, de masse m (10 kg), chute sans vitesse initiale d'une altitude h0=10 m
1. Est-ce que l'objet acquiert une vitesse horizontale ?
2. Déterminez sa vitesse finale lorsqu'il touche le sol (A.N.).
On rajoute une force de frottements constante de norme F
3. Déterminez sa vitesse lorsqu’il touche le sol, en fonction de F, m, g et h0 (A.N.
pour F = 20 N et F = 200 N). Commentez.
4. On suppose que toute l’énergie perdue est transférée en énergie interne (ΔU=Cm m
ΔT). Calculez l’élévation de température ΔΤ pour F = 20 N. (Cm = 385 J/kg/K)
En réalité, la force F dépend de la vitesse v : F(v) = F0 v.
5. Donnez l’expression du travail de F. Pouvez vous le calculer facilement ? Expliquez
pourquoi l’objet pourrait atteindre une vitesse maximale.
6. Déterminez alors, en utilisant l'analyse dimensionnelle, cette vitesse maximale, à
une constante près, sous la forme A Foa mb gc (elle ne dépend pas de h0). Retrouvez cette
expression en utilisant le PFD (Newton).
7. Reprendre la question 6 si F(v) = F0 v2.
B – Une roche de masse m=80 kg, est éjectée avec une vitesse initiale V0 (10 m/s) d'un
volcan à une altitude h0 (100 m), le long d'une pente de longueur L, inclinée d'un angle θ (30
degré). La force de frottement s'exprime sous la forme F = - μ Rn T, où Rn est la norme de la
réaction normale de la pente, et T l'axe tangentiel (le long de la pente).
1. Faites un dessin et déterminez la norme Rn. Quelle est l’unité de μ ?
2. Déterminez μ = μ0 pour que la roche ait une vitesse constante (A.N.).
3. On mesure une vitesse de V = 2 m/s en bas de la pente. Quelle était la valeur de μ ?
4. Si l’erreur sur V est de 0.1 m/s, quelle est l’erreur sur μ ?
C – Donnez l’expression de l’énergie mécanique d’un pendule de
longueur l et de masse m, à un angle θ quelconque. En utilisant la
conservation de Em, retrouvez la relation entre θ et ses dérivées.
Déterminez la période T dans le cas des petits angles.
Pour g = 10 m/s2 ; faites le graphe de T(l) pour m = 10 kg, puis de
T(m) pour l = 1 m.
D – Vitesse de libération (exercice supplémentaire)
Un objet de masse m est posé sur la surface d’un système de masse M et de rayon R.
En utilisant le TEC, et l’expression de la force de gravité, déterminez la vitesse minimum que
cet objet doit avoir pour pouvoir s'éloigner de la Terre à une distance infinie (vitesse de
libération) ?
Application numérique : calculer cette vitesse à la surface de la terre (M = 6 1024 kg et R =
6400 km), à la surface du soleil (M = 2 1030 kg et R = 6.96 108 m) et à la surface d'une étoile à
neutron (M = 5 1030 kg et R = 50 km).
Travaux dirigés 5
Graphe énergétique
Pré-requis : Enoncé du TEC ; énergie mécanique. Calcul de l’Ep d’un système.
Compétences à acquérir : (Fiche 7)
Tracé du graphe de l’Ep, de l’Em et de l’Ec. Positions d’équilibre, stabilité ; description d’un
mouvement à partir du graphe : positions extrêmes, vitesses extrêmes…
A – Une boule de masse (m=10 kg) et de charge (q = 10 - 5 C) roule sur un plan incliné d'un
angle θ = π / 6 par rapport à l'horizontal. On néglige les frottements dans les premières
questions.
On appelle O l'intersection entre le plan incliné et l'horizontale. On note x la coordonnée de
la boule sur le plan. La boule part d'une hauteur h (35 cm), correspondant à x=L, sans vitesse
initiale.
Une boule de charge identique (q) est fixe, placée en O.
1/(4 π ε0) = 8.99 10^9 N.m^2/C^2
1. Calculez puis dessinez le graphe de Ep(x), énergie potentielle de la boule (x en cm).
2. Par analyse dimensionnelle, déterminez la position d’équilibre sous la forme
xeq = A(θ) K a mb gc ; où A(θ) est une constante dépendant de θ et K = q2 / (4πε 0)
3. A partir de l’expression de Ep (ou des forces), retrouvez l’expression exact de la position
d'équilibre et discutez de sa stabilité. Vérifiez ce résultat sur votre graphe.
4. Décrivez le mouvement de la bille, en vous appuyant sur le graphe. Vous donnerez en
particulier les positions extrêmes atteintes par la bille.
5. Reproduisez et remplissez le tableau ci-dessous en suivant le mouvement :
Position (x)
Ep
Ec
Em
L
Ep(h) = …
0
…
…
…
…
…
Dessinez l’évolution de l’Em et de l’Ec sur votre graphe. Calculez la vitesse maximale
atteinte par la boule.
6. Reprendre les questions 4. et 5. si la bille part avec une vitesse initiale v0, correspondant à
un Energie cinétique de 5 J, dirigée vers le haut, puis dirigée vers le bas.
7. La force de frottement F, constante, n’est plus négligée. Ainsi, la boule perd ΔE = 5 J sur
27 centimètres parcourue.
a. Calculez la norme F.
b. Décrivez le mouvement de la bille lorsqu’elle part sans vitesse initiale.
c. Représentez l’évolution de Em, puis de Ec, sur un nouveau graphe de l’Ep.
B – On remplace la charge en O de l’exercice A, par un ressort de longueur au repos x0 =20
cm et de constante de raideur k =1000 N/m (attention : distinguez les moments de la
trajectoire durant lesquels le ressort agit ou n'agit plus sur la boule)
1. reprendre les questions A-1 à A-3. On impose que le minimum de l’Ep soit nul.
2. Existe-t-il une hauteur critique hc au-delà de laquelle ce problème « pose problème » ?!
3. On suppose que h=hc ;
a. Dessinez Em et Ec sur le graphe de Ep.
b. Que se passe-t-il lorsque la boule atteint sa position minimale ?
c. On considère qu’elle perd alors la moitié de son Em. Dessinez à nouveau l’évolution
de Em dans ce cas.
Travaux dirigés 6
Champs – Graphe énergétique (suite)
Pré-requis : Utilisation d’un graphe. Définition et calcul du travail d’une force conservative.
Compétences à acquérir : (Fiche 7 et 8)
Expression des champs gravitationnel et électrique. Relation entre champs, potentiel, force et
énergie potentielle.
A – Choc entre deux boules chargées…
1/ Une boule B- de charge négative, (|q| = 10-5 C) est fixe, sur l’origine d’un repère Oxy.
(a) Quelle est l’expression du champ E(x,y), et du potentiel V(x,y) créé par cette charge ?
(b) Une autre boule, B+ , de charge identique, mais positive (+|q|) se déplace sur l'axe Ox.
Quelle est l’expression de l’Ep(x) d’interaction entre ces deux boules (distinguez x>0 et x<0)?
(c) Dessinez le graphe de Ep(x) de x = -10 cm à x = 30 cm (calculez les valeurs numériques
pour -10, -5, -1, 1, 5, 10, 20 cm).
2/ B+ part sans vitesse initiale de x = + ∞ (il se dirige vers B- ).
(a) Dessinez le graphe (l’allure) de Ec pour B+ de x = 10 cm jusqu’à x = 0.
(b) Le 'choc' entre les deux boules se fait à une distance de 5 cm, soit à une énergie
potentielle Ep0. Au moment du choc, B+ repart dans la direction opposée et perd la moitié de
son énergie cinétique. Complétez l'évolution de Ec et de Em lors du retour de B+ vers +∞.
3/ B+ est maintenant contraint de se déplacer sur la droite y=1cm (parallèle à l'axe Ox).
Expliquez l'allure du graphe de l'Ep (pointillé).
(a) Quelles sont les positions d'équilibre possible?
Discutez de leur stabilité.
Ep(J) en fonction de x (m)
(b) Décrire le mouvement de B+ dans le cas où il
5
part sans vitesse initiale de + ∞
-0,1 -0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
-15
(c) B+ part maintenant avec une vitesse initiale
vA d'un point A (xA=10 cm; Ep(xA)=EpA). Décrire
-35
à nouveau son mouvement en fonction de EpA.
-55
Représentez un cas limite.
-75
(d) On suppose à nouveau que vA=0. Au bout de
10 oscillations, B+ s'arrête. Où peut-elle s'arrêter ?
-95
Calculez le travail des forces de frottement qui ont
-115
fait arrêter B+.
0,3
4/ On rajoute une seconde boule (B-)’ en x = + 10 cm.
(a) Quelle est l’expression du champ E(x,y), et du potentiel V(x,y) créé par les deux boules
B- et (B-)’ ? Quelle est l’expression de Ep(x) énergie potentielle d’interaction entre B+ , sur
l’axe Ox, et les deux boules B- et (B-)’ ?
(b) B+ se déplace à nouveau sur la droite y=1 cm ; Ep(x) est tracé en trait plein ci-dessus.
Où peut-elle s’arrêter ?
(c) B+ part avec une vitesse initiale vA d'un point A (x=xA>0 ; Ep(xA)=EpA). Décrire à
nouveau son mouvement en fonction de xA et de la vitesse vA. Quel type de mouvement
pourrait suivre B+ ? Dans quel(s) cas le proton s’arrête dans une des positions trouvées au (b).
(d) On suppose que A est situé à +15 cm. Calculez le travail des forces de frottement si B+
s’arrête en x=0, 5 et 10 cm. Faites le(s) graphe(s) de Ec et de Em correspondant.
B
Travaux dirigés 7
Hydrostatique
Pré-requis : rien…
Compétences à acquérir :
Force de pression ; loi fondamentale de l’hydrostatique
A - La perfusion intraveineuse.
Lors d’une injection intraveineuse, l’aiguille est piquée dans une veine d’un bras du patient et
un tube relie l’aiguille à un flacon placé en hauteur au dessus du bras. Le fluide qui remplit le
flacon a une masse volumique ρf et est à la pression atmosphérique P0. À quelle hauteur h au
dessus du bras faut-il placer le flacon pour que le fluide s’écoule dans la veine à une pression
Pf ?
Application numérique : P0 = 105 Pa ; Pf = 108×103 Pa ; ρf = 1020 kg m-3 et g = 10 m s-2.
B - Presser un fluide.
Un vase cylindrique, dont le fond horizontal a une surface de 50 cm2, contient 1 litre d'eau.
Calculer la pression en un point du fond, sachant que le vase est fermé par un piston (sans
frottement) de masse 2 kg, reposant sur toute la surface libre du liquide.
Masse volumique de l'eau : ρ = 103 kg/cm3 ; Accélération de la pesanteur : g = 10 m s-2.
C – Calcul de Forces
Un récipient rempli d'eau jusqu'à une hauteur H=20 cm, a un fond carré de côté 5 cm.
1 - Déterminez la force de l’eau sur le fond du récipient.
2 - Déterminez la force totale subie par les parois latérales du récipient.
3 - reprendre la question 1. si le récipient est vide.
D - Histoire de fluides qui ne se mélangent pas.
Un tube en U contient du mercure. Dans l'une des branches, on ajoute de l'huile et dans l'autre
branche, une solution aqueuse, de sorte que les surfaces de séparations liquide-air soient dans
le même plan horizontal. L'huile occupe une hauteur h = 20 cm. Quelle est la hauteur de la
solution aqueuse ?
Mercure : ρHg = 13,6 g cm-3 Huile : ρh = 0,85 g cm-3 Solution aqueuse : ρa = 1,15 g cm-3.
Travaux dirigés 8
Archimède
Pré-requis : loi de l’hydrostatique
Compétences à acquérir : Démonstration et utilisation de la poussée d’Archimède
A – Démonstration (fait en cours)
Un cube de côté a est plongé dans un liquide de masse volumique ρ.
Définissez un repère « intelligent ».
Calculez la force de l’eau sur ce cube, dans les directions horizontales (x et y), puis verticale.
B - La masse volumique du corps humain.
Une sportive de 63 kg est assise dans un harnais et descendue progressivement dans le bassin
d’une piscine. Le harnais est suspendu à une balance qui indique le poids apparent. Après
avoir rempli ses poumons, la sportive s’immerge totalement dans l’eau. La balance indique
alors une masse de 3 kg. Calculer le volume Vs et la masse volumique moyenne ρs de la
sportive.
C - La partie invisible de l’iceberg.
Un iceberg dérive dans la mer. Calculer le pourcentage en volume de glace qui est immergée.
ρglace ≈ 915 kg m-3 ; ρmer = 1025 kg m-3.
D - Montgolfière (exercice supplémentaire)
Une montgolfière est constituée d'une enveloppe sphérique inextensible supportant une
nacelle de 120 kg. L'enveloppe présente dans sa partie inférieure un orifice relativement petit
par lequel l'aire, chauffé par un chalumeau, peut entre ou sortir librement.
On rappelle l’équation d’état des gaz parfaits : PV = n RT, ou ρ = PM / RT
La densité superficielle de l'enveloppe est σ =100 g/m2 et son rayon est r = 6 m. La masse
volumique de l’air extérieur est ρext = 1,29 kg/m3.
La température extérieure est de 20 °C (soit 298 K)
1/ Si la température augmente, que peut-on dire du nombre de mole contenues dans
l’enveloppe, et donc de la masse volumique ? Pourquoi la montgolfière décolle-t-elle ?
2/ Donnez l’expression de la poussée d’Archimède, et du poids de l’ensemble {enveloppe +
air dans l’enveloppe + nacelle}.
3/ Quelle est la relation entre la pression intérieur et la pression extérieur, entre la masse
volumique de l’air à l’intérieur et à l’extérieur ?
4/ Re-exprimer le poids en fonction de ρext , Text, Tint, σ et r.
3/ A partir de quelle température la montgolfière pourra décoller ?
Réponse : environ 70 °C
Travaux dirigés 9
Hydrodynamique
Pré-requis : hydrostatique
Compétences à acquérir : conservation du débit ; théorème de Bernoulli (hypothèses et
utilisation)
A - Le principe du siphon.
On se propose de puiser de l'eau (considérée
comme un liquide parfait) d'un très grand
réservoir fixe, de section S, à l'aide d'un siphon.
Ce siphon est constitué d'un tube en U renversé
de section s constante (s << S). On pourra
considérer 3 points A, B et C (voir figure ci
dessous) situés aux altitudes respectives zA, zB,
zC, avec zA = 0, zB = z1 et zC = - z2 (avec z2 > 0).
B
La pression en A et C est égale à P0, pression atmosphérique. Le siphon est supposé en régime
permanent.
1. Montrer, en utilisant la conservation du débit, que les vitesses d'écoulement de l'eau
en A, B et C sont telles que : a) vA << vC
b) vB = vC
2. Calculer vC en fonction de z2 et g accélération de la pesanteur.
3. Le siphon peut-il fonctionner si z2 < 0 ?
4. Calculer la pression PB au point B en fonction de P0, g, z1, z2 et ρ (masse volumique
de l'eau).
5. Le siphon ne pouvant fonctionner que si PB > 0, en déduire l'expression de z1max.
Calculer z1max. On prendra P0 = 105 Pa et g = 10 m s-2.
B
B - Tube de Pitot.
Ce dispositif permet de déterminer la vitesse d'écoulement d'un liquide dans une conduite par
mesure de la pression (cf. figure ci-dessous). Pour cela, on introduit deux tubes dans la
canalisation où s'écoule le liquide de densité ρ dont on veut connaître la vitesse. L'un est
coudé et est orienté face au courant, en A. L'autre possède une ouverture en B à la même
altitude que A. En A, le fluide est à l'arrêt, et en B il a la vitesse VB. On désigne par h l'écart
des niveaux du liquide de masse volumique ρ0 = 2000 kg.m-3 dans les deux branches du tube
en U. La section de la conduite est S = 300 cm2.
On mesure h = 10 cm. Calculer la vitesse d'écoulement VB du liquide dans la conduite et son
débit volumique Q, sachant que ρ = 1000 kg m-3, g = 10 m s-2.
B
vB
vA=0 A
ρ
ρ0
C – Expérience de Torricelli.
Un vase cylindrique est rempli d'eau jusqu'au niveau H. La pression atmosphérique est P0.
1. Quelle est la pression au point A (profondeur h) ?
2. On perce un petit orifice au point B situé au même niveau que A. En admettant que
l'écoulement résultant est stationnaire, écrire l'équation de Bernoulli pour les lignes de courant
qui passent par les points S et B. Quelle est la vitesse du jet d'eau en B ?
A.N. : H = 1,5 m,
h = 0,9 m,
g = 10 ms-2,
P0 = 105 Pa,
ρeau = 103 kg/m3.
3. Trouver la distance d à laquelle ce jet frappe la terre.
D - Thrombose et anévrisme.
Une artère partiellement obstruée (thrombose)
présente le profil de la figure ci-contre, avec d1 = 1
cm. La pression hydrostatique relative régnant dans
la partie saine de l'artère est P1 – P0 = 100 mm Hg
(P0 : pression atmosphérique). La vitesse du sang y
est v1 = 0,2 ms-1.
1. Exprimer en fonction de d1, d2 et de v1 la vitesse du sang dans l'étranglement. En
déduire l'expression de la surpression P2 – P0 qui y règne.
2. À partir de quel diamètre minimum l'artère va-t-elle se refermer ?
Masse volumique du sang : ρsang = 1,3 103 kg/m3.