vecteurs relatifs a une courbe - E

VECTEURS RELATIFS A UNE COURBE
Autor(en): Monnet, Georges
Objekttyp: Article
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 7 (1905)
Heft 1: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-8434
PDF erstellt am: 24.05.2017
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decetle hyperbole fera, en général, avec xet ydeux angles iné
gaux. Le point R' sera dans l'un, le point Q' dans l'autre de
ces angles. On choisit de deux points R' et Q' celui qui est
dans Vangleplusgrand (c'est la moitié de l'angle asymptotique
obtus), et on mène par lui (R') une parallèle àl'axe (x) laquelle
est un côté de cette angle même. La parallèle coupe l'autre
axe (y) en un point Ro.On décrit de ce point comme centre
avec le rayon étant,égal àla distance du point Rode l'inter
section Ndes droites yet R'Q' un arc de cercle qui coupe
l'autre axe (x) en un point Ai. La longueur OAi est la gran
deur de l'axe OB' de l'hyperbole situé sur la direction y.
Ou obtient la grandeur de Taxe sur la direction x, si Ton
mène par B' une parallèle àla droite R'Q' et qu'on détermine
le point A' commun àcette droite et àx.
La longueur OB' sera le demi-axe réel ou imaginaire selon
que l'hyperbole passe réellement par Q' ou par R', parce que
deux hyperboles conjuguées ontles mêmes longueurs des axes.
Je crois qu'en raison de la simplicité de cette construction
on pourrait en faire usage dans renseignement.
G. Majcen (Agram)
VECTEURS RELATIFS AUNE COURBE
(Application de la Méthode de Grassmann.)
Soient un point Pet un vecteur I, tous deux fonction d'un
paramètre 1. Lorsque Àvarie, le segment PI décrit une sur
face réglée ;cherchons la condition pour qu'elle soit déve
loppable.
On doit avoir, en dérivant par rapport à/
v:

Posons (T, N, Bétant les vecteurs unitaires des directions
principales)
La condition (1) devient
Or TNB 9^ o,donc le déterminant doit être nul; on peut
l'écrire
12)
D'une façon générale, Iétant donné par ses coordonnées,
on conservera Asous la forme précédente. Pour les applica
tions géométriques que nous avons en vue, il est souvent
plus simple de lui donner la forme suivante, due àM. Burali
Forti, et dans laquelle 1° le vecteur Iest unitaire et défini
par son angle <p avec PNB et l'angle \p de sa projection sur le
plan PNB avec N;2° À=s, arc décrit par P.
Tous calculs faits Adevient
(3)
Pour discuter Ja condition A=0nous allons examiner
divers cas particuliers en faisant certaines hypothèses sur la
valeur des coordonnées de I. Sous la forme (2) nous suppose
rons toujours v0, car v=o est un cas limite où PI décrit
un cône.

Vecteur dans le plan oscillateur. ?<\> =0.
Pour cos y=0, Iest dirigé suivant la tangente, la surface est
développable par définition.
Si cos q> oil faut ?=o,la courbe est plane et on ale
théorème :
Lorsque un vecteur constamment situé dans le plan oscil
lateur et différent de la tangente décrit une surface dévelop
pable, la courbe est plane.
Le corollaire suivant est immédiat:
Lorsque une ligne géodesique est de courbure, elle est plane.
La normale àla surface est dans le plan oscillateur àla
courbe puisqu'elle est géodésique, elle décrit une surface
développable puisque la ligne est de courbure donc la courbe
est plane.
En Mécanique ce théorème trouve son application àdeux
reprises :dans l'étude du mouvement d'un point mobile et
dans celle de l'équilibre d'un fil. On sait en effet que l'accélé
ration du point dans un cas, la force agissante dans l'autre,
sont situées dans le plan oscillateur. Supposons qu'il s'agisse
de forces centrales, il résulte du théorème précédent que la
courbe décrite par le point ou affectée par le fil est plane.
Appelons segment tangentiel un segment dirigé suivant la
tangente au point A. Il est de la forme
Dérivons
La dérivée d'un segment tangentiel est un segment. Son
vecteur est le dérivé du segment primitif. Ce vecteur est
(4)
Cette relation n'est autre que l'équation intrinsèque ordinaire
du vecteur. Elle montre que ce vecteur est toujours dans le
plan oscillateur. C'est ce qui alieu pour l'accélération d'un

point, dérivée de sa vitesse on pour la force agissant sur un
fil, dérivée de la tension.
Le moment de apar rapport àune forme &, que nous sup
poserons àinvariant non nul, est
Si best fixe
Le moment du segment dérivé est la dérivée du moment du
segment primitif. Lorsque le segment a' appartient àun
complexe d'où
On adonc le Théorème, ?Si le dérivé d'un segment appar
tient àun complexe linéaire, ce segment apar rapport au
complexe un moment constant.
On déduit de là que dans le cas de forces centrales, la
vitesse ou la tension ont par rapport au centre un moment
constant.
La dérivée du vecteur Test -N,donc si la normale prin
P
cipale àune courbe rencontre une droite fixe, la tangente a
par rapport àcette droite un moment constant ?propriété
connue.
Vecteur dans le plan rectifiant. =-,ou?/
On doit supposer
La condition (1) devient
(5)
Avant de poursuivre cherchons le plan tangent àla surface
décrite par PI. Ce plan est au point P: