Cours de mathématiques en classe de 3eme

Cours de math´ ematiques
classe de 3`
eme
Jos´e Gregorio
2013-2014
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Table des mati`eres
1 Nombres et arithm´etique 9
1.1 Rappels et nouvelles notations ........................................ 9
1.2 Diviseurs et PGCD ............................................... 10
1.3 Algorithmes et PGCD ............................................. 11
1.3.1 Algorithme des diff´erences ....................................... 11
1.3.2 Algorithme d’Euclide .......................................... 12
1.4 Fractions et PGCD ............................................... 12
1.5 Interrogation ´ecrite 1 .............................................. 13
1.6 Corrig´e de l’interrogation ´ecrite 1 ....................................... 14
1.7 Interrogation ´ecrite 2 .............................................. 15
1.8 Corrig´e de l’interrogation ´ecrite 2 ....................................... 16
1.9 Contrˆole ..................................................... 17
1.10 Corrig´e du contrˆole ............................................... 18
2 Thal`es 21
2.1 Th´eor`eme de Thal`es (reformulation) ..................................... 21
2.2 R´eciproque du th´eor`eme de Thal`es ...................................... 23
2.3 Agrandissement - R´eduction .......................................... 25
2.4 Devoir maison .................................................. 26
2.5 Corrig´e du devoir maison ........................................... 27
2.6 Contrˆole ..................................................... 28
2.7 Corrig´e du contrˆole ............................................... 29
3 Statistiques 31
3.1 S´eries statistiques et moyennes (Rappels) .................................. 31
3.2 ´ Etendue et m´ediane .............................................. 32
3.3 Quartiles .................................................... 32
3.4 Interrogation ´ecrite ............................................... 33
3.5 Corrig´e de l’interrogation ´ecrite ........................................ 33
4 Calcul litt´eral 35
4.1 Rappels : distributions simple et double ................................... 35
4.2 Identit´es remarquables ............................................. 35
4.2.1 Premi`ere identit´e remarquable .................................... 35
4.2.2 Seconde identit´e remarquable ..................................... 36
4.2.3 Troisi`eme identit´e remarquable .................................... 36
4.3 Exemples d’utilisation des identit´es remarquables dans le calcul mental .................. 36
4.4 Factorisation .................................................. 37
4.4.1 Cas du facteur commun ........................................ 37
4.4.2 Cas des identit´es remarquables .................................... 37
4.5 Fiche d’exercices sur la distribution ...................................... 38
4.6 Corrig´e de la fiche d’exercices sur la distribution .............................. 39
4.7 Devoir maison .................................................. 41
4.8 Corrig´e du devoir maison ........................................... 42
4.9 Contrˆole 1 .................................................... 44
4.10 Corrig´e du contrˆole 1 .............................................. 45
4.11 Contrˆole 2 .................................................... 47
4.12 Corrig´e du contrˆole 2 .............................................. 48
3

4TABLE DES MATI ` ERES
5 Triangles rectangles 51
5.1 Rappels : Pythagore .............................................. 51
5.1.1 Le th´eor`eme ............................................... 51
5.1.2 R´eciproque et contrapos´ee ....................................... 52
5.2 Rappels : cercles et triangles inscrits ..................................... 52
5.3 Trigonom´etrie .................................................. 53
5.3.1 Rappels sur le cosinus d’un angle aigu ................................ 53
5.3.2 Sinus et tangente d’un angle aigu ................................... 55
5.3.3 Deux formules de trigonom´etrie .................................... 58
5.4 Exemple d’utilisation .............................................. 59
5.5 Devoir maison .................................................. 60
5.6 Corrig´e du devoir maison ........................................... 61
6 Puissances 63
6.1 D´efinitions (Rappels) .............................................. 63
6.2 Cas particulier : les puissances de 10 ..................................... 63
6.3 R´egles et priorit´es ............................................... 64
6.3.1 R´egles de calcul ............................................. 64
6.3.2 Priorit´es ................................................. 64
6.4 Notation scientifique .............................................. 65
6.5 Fiche d’exercices ................................................ 66
6.6 Corrig´e de la fiche d’exercices ......................................... 67
6.7 Contrˆole ..................................................... 68
6.8 Corrig´e du contrˆole ............................................... 69
7 Probabilit´es 71
7.1 Exp´eriences al´eatoires ............................................. 71
7.2 ´ Ev`enements et probabilit´es .......................................... 71
7.3 Arbres des possibles .............................................. 72
7.3.1 Avec une ´epreuve ............................................ 72
7.4 ´ Ev`enements incompatibles et ´ev`enements contraires ............................ 73
7.4.1 ´ Ev`enements incompatibles ....................................... 73
7.4.2 ´ Ev`enements contraires ......................................... 73
7.5 Exp´eriences al´eatoires `a deux ´epreuves .................................... 74
7.6 Fr´equences et probabilit´es ........................................... 75
7.7 Exercices : avec et sans remise ........................................ 76
7.8 Fiche d’exercices de probabilit´es ....................................... 77
7.9 Corrig´e de la fiche d’exercices de probabilit´es ................................ 78
7.10 Devoir maison .................................................. 79
7.11 Corrig´e du devoir maison ........................................... 80
7.12 Contrˆole ..................................................... 82
7.13 Corrig´e du contrˆole ............................................... 83
8 Racines carr´ees 85
8.1 D´efinition .................................................... 85
8.2 Propri´et´es .................................................... 85
8.3 ´ Equations du type x2“a........................................... 86
8.4 Op´erations et racines carr´ees ......................................... 87
8.4.1 Racines carr´ees et produit ....................................... 87
8.4.2 Racines carr´ees et quotient ...................................... 87
8.5 Exemples d’utilisations ............................................. 89
8.5.1 Longueur de la diagonale d’un carr´e de cˆot´e a............................ 89
8.5.2 Longueur de la hauteur d’un triangle ´equilat´eral de cˆot´e a..................... 90
8.5.3 Longueur de la grande diagonale d’un cube d’arˆete a........................ 91
8.5.4 Supprimer un radical au d´enominateur d’une fraction ....................... 92
8.6 Devoir maison .................................................. 93
8.7 Corrig´e du devoir maison ........................................... 94
8.8 Interrogation ´ecrite ............................................... 96
8.9 Corrig´e de l’interrogation ´ecrite ........................................ 97

TABLE DES MATI ` ERES 5
9 Sph`eres et boules 99
9.1 D´efinition .................................................... 99
9.2 Sections de sph`eres et boules par un plan .................................. 100
9.3 Volume et surface ................................................ 101
9.3.1 Surface ................................................. 101
9.3.2 Volume ................................................. 101
9.4 Devoir maison .................................................. 102
9.5 Corrig´e du devoir maison ........................................... 103
10 Notions de fonctions 105
10.1 D´efinition .................................................... 105
10.2 Diverses repr´esentations ............................................ 106
10.2.1 Avec un graphique ........................................... 106
10.2.2 Avec un tableau ............................................ 107
10.2.3 Avec une expression .......................................... 107
10.3 Construction d’un graphique ......................................... 108
10.4 Interrogation ´ecrite ............................................... 110
10.5 Corrig´e de l’interrogation ´ecrite ........................................ 111
11 ´ Equations et in´equations 113
11.1 ´ Equations .................................................... 113
11.2 ´ Equations produit nul ............................................. 115
11.3 In´equations ................................................... 116
11.4 Repr´esentation des solutions sur une droite ................................. 117
11.5 Contrˆole ..................................................... 118
11.6 Corrig´e du contrˆole ............................................... 119
12 Sections planes 121
12.1 Parall´el´epip`edes rectangles ........................................... 121
12.2 Cylindres .................................................... 122
12.3 Pyramides et cˆones de r´evolution ....................................... 123
13 Fonctions affines et lin´eaires 125
13.1 D´efinitions .................................................... 125
13.2 Un exemple particulier ............................................. 125
13.3 Calcul du coefficient directeur et de l’ordonn´ee `a l’origine ......................... 126
13.3.1 Calcul du coefficient directeur ..................................... 126
13.3.2 Calcul de l’ordonn´ee `a l’origine .................................... 126
13.4 Repr´esentations graphiques .......................................... 128
13.4.1 Graphique `a partir d’une expression ................................. 128
13.4.2 Expression `a partir d’un graphique .................................. 129
14 Angles et polygones 133
14.1 Angles inscrits et angles au centre ...................................... 133
14.2 Polygones r´eguliers ............................................... 135
15 Syst`emes d’´equations 139
15.1 ´ Equation lin´eaire `a deux inconnues ...................................... 139
15.2 Repr´esentation graphique des solutions d’une ´equation lin´eaire `a deux inconnues ............ 139
15.3 Syst`eme lin´eaire de deux ´equations `a deux inconnues ............................ 141
15.3.1 D´efintion ................................................ 141
15.3.2 R´esolution graphique .......................................... 142
15.3.3 R´esolution par le calcul ........................................ 143
16 Annexe A : Q.C.M. de r´evisions d´ebut d’ann´ee 147
16.1 Sujets des Q.C.M. ............................................... 147
16.1.1 Q.C.M. 1 : Fraction, inverse et priorit´e ................................ 147
16.1.2 Q.C.M. 2 : Signe, produit, oppos´e .................................. 148
16.1.3 Q.C.M. 3 : Puissance, calcul litt´eral, ´equations ........................... 149
16.2 R´eponses de la partie r´evisions ........................................ 150
16.2.1 Q.C.M. 1 : Fraction, inverse et priorit´e ................................ 150
16.2.2 Q.C.M. 2 : Signe, produit, oppos´e .................................. 151
16.2.3 Q.C.M. 3 : Puissance, calcul litt´eral, ´equations ........................... 152
16.3 Devoir maison .................................................. 153