DM 2 Ellipsométrie

Electromagnétisme
L3 Phytem - Module LP353
Année 2016-2017
Ellipsomètre à annulation
Devoir à la maison, à rendre le jeudi 5 janvier 2017.
Il est rappelé qu’une écriture lisible et une présentation claire ont un effet favorable sur
l’humeur des correcteurs. Les applications numériques sont importantes pour comprendre les
phénomènes. Elles comptent pour une partie significative de la note. Les vecteurs sont notés en
gras pour améliorer la lisibilité de l’énoncé. Mais sur votre copie, ils doivent figurer avec une
flèche.
L’ellipsométrie est une méthode de caractérisation optique non destructive de couches minces,
qui permet de réaliser des mesures in situ. En général, on cherche à déterminer l’indice et l’épais-
seur des couches. Sa sensibilité est telle qu’il est possible, par exemple, de suivre la croissance
d’une couche en temps réel. Le principe de mesure repose sur le changement de l’état de po-
larisation de la lumière après réflexion sur la surface à caractériser. L’échantillon peut être un
substrat simple ou un système multi-couche complexe. Les dispositifs commercialisés sont en
général des ellipsomètres à modulation qui se prêtent bien à l’automatisation. Ici, nous allons
étudier le principe de l’ellipsomètre à annulation dont le principe reste assez proche.
1 Présentation
Un ellispomètre à annulation est constitué d’un bras source qui envoie une onde plane mono-
chromatique avec une incidence oblique sur la surface de l’échantillon, et d’un bras de détection
qui collecte l’onde réfléchie. L’angle d’incidence, θi, mesuré par rapport à la normale à l’échan-
tillon est souvent grand, typiquement θi= 60 −70◦. Le bras source est composé d’une source
lumineuse non polarisée, suivie d’un polariseur, puis d’un compensateur (en général une lame
quart d’onde). Le bras de détection comprend seulement un polariseur, appelé analyseur, et un
photo-détecteur.
L’échantillon peut être constitué d’une superposition de différentes couches d’indice et d’épais-
seur différents. On cherche à en obtenir des informations à partir des coefficients de Fresnel de
sa surface rset rp. En général, on s’intéresse plutôt à leur rapport :
ρ=rp
rs
= tan Ψ ei∆
1

où ∆est un nombre réel et où tan Ψ est une quantité positive égale au rapport des modules
de rpet rs. L’objectif d’une mesure ellipsométrique est d’obtenir ∆et Ψ, appelés paramètres
ellipsométriques.
1. Faire un schéma du dispositif en précisant l’état de polarisation de la lumière après chaque
élément, sachant que le compensateur est, pour l’instant, orienté de manière quelconque.
2. Les polarisations p (parallèle) et s (orthogonale) sont définies par rapport au plan d’inci-
dence. Comment est défini le plan d’incidence ?
3. Supposons que le compensateur soit une lame demi-onde. Quel est l’état de polarisation
de l’onde incidente dans le bras source, après son passage dans le compensateur ?
Le principe de l’ellipsométrie est, au contraire, d’utiliser une onde elliptique et de mesurer
le changement d’ellipticité de l’onde réfléchie. Dans l’ellipsomètre à annulation, le com-
pensateur sert à “compenser” l’influence de l’échantillon, de sorte que l’onde réfléchie par
l’échantillon soit linéaire. L’analyseur permet ensuite d’identifier l’orientation de cette po-
larisation linéaire. Le compensateur est souvent une lame quart d’onde, dont l’orientation
est repérée par l’angle entre son axe optique et le plan d’incidence.
4. Quelle est la définition générale de l’axe optique ? À quoi correspond-il pour une lame
quart d’onde ?
5. Indiquer les polarisations des champs D,Eet Bdes ondes ordinaire et extra-ordinaire
pour une lame quart d’onde éclairée en incidence oblique.
6. Ici, la lame quart d’onde est utilisée en incidence normale, expliquer pourquoi les rayons
ordinaire et extraordinaire sont confondus.
2 Approche théorique
Nous allons calculer étape par étape l’expression du champ électrique au travers de l’el-
lipsomètre. Les notations sont précisées sur la figure 1. L’axe zcorrespond à la direction de
propagation de l’onde incidente. Les axes xet ysont liés à la surface de l’échantillon, avec y
dans le plan d’incidence. Les axes Xet Ysont parallèles aux axes propres de la lame quart
d’onde. L’angle entre Xet xest noté Q. L’angle entre la direction du polariseur et xest noté
P.
1. Quel est l’angle entre la direction du polariseur et X? Donner l’expression du champ
électrique après son passage dans le polariseur.
2. Quel est le déphasage induit par une lame quart d’onde ? Écrire l’expression du champ
électrique après son passage dans la lame quart d’onde en prenant son axe rapide selon la
direction Y.
3. Ensuite, il faut passer dans le système d’axe lié à l’échantillon. Donner l’expression de X
et Yen fonction de xet y.
4. Ecrire l’expression du champ électrique après réflexion sur l’échantillon.
5. Dans la pratique, on fixe Q=π/4et on cherche la position du polariseur qui permet
d’obtenir une polarisation linéaire après l’échantillon. Montrer que le champ électrique
s’écrit :
E∝e−i(P−Q)rsx+ei(P−Q)rpy
6. Proposer une des valeurs de Pqui permet d’obtenir une polarisation linéaire après l’échan-
tillon. Elle donne accès à ∆.
2

x
yX
Yz
y
x
z
Echantillon
P
Q
qi
Figure 1 – Notations pour les axes et les angles du bras source de l’ellipsomètre.
7. L’analyseur est un polariseur (d’angle Apar rapport à x) qui permet de trouver l’orienta-
tion de l’onde réfléchie par l’échantillon et polarisée linéairement. Comment procède-t-on
dans la pratique ? Pourquoi ce dispositif est-il appelé ellipsomètre à annulation ?
8. Que vaut Ψ?
3 Mise en pratique
En fait, un seul couple (P,A) ne permet pas de remonter à ∆et Ψ. Pour lever l’indétermi-
nation, il suffit de placer la lame quart d’onde à l’angle Q=−π/4et de trouver un nouveau
couple (P,A) qui conduit à l’annulation. Une fois que ∆et Ψont été obtenus, il faut remon-
ter aux paramètres physiques de l’échantillon. En général, c’est très compliqué et il y a trop
d’inconnues, donc on réalise la mesure de ∆et Ψpour plusieurs longueurs d’onde et plusieurs
angles d’incidence et on ajuste les paramètres avec une simulation numérique. Dans le cas le
plus simple d’une couche semi-infinie (ie. un substrat nu), il est possible d’obtenir un résultat
analytique. C’est l’objet des questions suivantes.
1. On considère une couche semi-infinie d’un matériau linéaire, homogène, isotrope, non ma-
gnétique et non absorbant, d’indice de réfraction noté nqu’il s’agit de déterminer. La
mesure s’effectue dans l’air. Existe-t-il un angle critique ? Que vaut ∆? Quelle est l’ex-
pression de tan Ψ ?
On donne :
rs=n1cos θi−n2cos θt
n1cos θi+n2cos θt
(1)
rp=n2cos θi−n1cos θt
n2cos θi+n1cos θt
(2)
où n1et n2sont les indices des milieux où se propagent les ondes incidente et transmise
et où θtest l’angle du rayon transmis, mesuré par rapport à la normale à la surface.
2. Maintenant, il faut inverser l’expression pour obtenir nen fonction de θiet tan Ψ. En
utilisant la loi de Snell-Descartes et les expressions de rpet rs, montrer que
(1−tan Ψ
1 + tan Ψ )2
=n2cos2θt
tan2θisin2θi
3

3. En déduire que
n2= sin2θi+ sin2θitan2θi(1−tan Ψ
1 + tan Ψ )2
4. Application numérique : on considère comme échantillon la surface d’un substrat plan de
saphir, et on choisit pour angle d’incidence θi= 60◦. On constate qu’à la longueur d’onde
de 2 µmΨest proche de zéro. En déduire la valeur de nà cette longueur d’onde ?
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