Le problème de la somme d`un ensemble

Le problème de la somme d’un
ensemble
Johanne Cohen
[email protected]
Laboratoire LORIA
Le probl` eme de la somme d’un ensemble – p.1/14

Énoncé du problème
Instance:
S={a1,...,an}un ensemble d’entiers positif
tun entier positif
Objectif:
Trouver un sous ensemble de Stel que sa somme est
exactement t.
Th´ eor` eme 1: Le problème de la somme d’un ensemble est
NP-complet.
Le probl` eme de la somme d’un ensemble – p.2/14

Notation
L+a={`+a:`∈L}
union(L, L0) = {`:`∈L∨L0}
union −trie(L, L0) = {`i: (`∈L∨L0)∧(`i≤`i+1)}avec
L0et Ldeux listes triées.
Complexité = O(|L0|+|L|)
Si L0={2,15}et L={1,16,20}, alors
union −trie(L, L0) = {1,2,15,16,20}
Le probl` eme de la somme d’un ensemble – p.3/14

Algorithme pseudo-polynomial (B)
Description de l’algorithme Entrée: S={a1,...,an},t
Sortie: un entier
Algorithme:
1. L0:=<0>
2. Pour iallant de 1à|S|faire
(a) Li:= union −trie(Li−1, Li−1+ai)
(b) supprimer tout les éléments ade Litel que a > t
3. retourner le plus grand élément de L|S|
Complexité: =O(t× |S|)
Le probl` eme de la somme d’un ensemble – p.4/14

Illustration de l’algorithme (B)
Entrée:S={2,3,6},t= 10
1. L0:=<0>
2. L1:=<0,2>
3. L2:=<0,2,3,5>
4. L3:=<0,2,3,5,6,8,9,11 >
5. Suppression d’éléments atel que a > 10:
L3:=<0,2,3,5,6,8,9>
6. retournez 9
Le probl` eme de la somme d’un ensemble – p.5/14