03. Trigo 3èD

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CH III Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle
1. Activité : Découverte des trois nombres
B3
Trois triangles rectangles.
AB1C1 / AB2C2 / AB3C3

Ils ont en commun le même angle A .
B2
Dans ces triangles, le côté le plus long est l'hypoténuse.
Le côté adjacent et le côté opposé sont plus petits
tout en étant proportionnels à l'hypoténuse.
A
B1
30°
C3
C2
C1
Hypoténuse

Côté adjacent à A
AB1 = 3,05
AC1 = 2,65
AC1/AB1 ≈ 0,869
Le cosinus de A est le multiplicateur qui
AB2 = 5,15
AC2 = 4,45
AC2/AB2 ≈ 0,864
permet de passer de l'hypoténuse au côté
adjacent à l'angle .
AB3 = 9,1
AC3 = 7,9
AC3/AB3 ≈ 0,868
x
cos 30°
Hypoténuse
≈
Dans un triangle rectangle,



0,866

Côté opposé à A

côté adjacent à A = hypoténuse x cos A
0 < cos A < 1
Dans un triangle rectangle,

AB1 = 3,05
B1C1 = 1,5
B1C1/AB1 ≈ 0,491
Le sinus de A est le multiplicateur qui
AB2 = 5,15
B2C2 = 2,55
B2C2/AB2 ≈ 0,495
permet de passer de l'hypoténuse au côté opposé
à l'angle.
AB3 = 9,1
B3C3 = 4,55
B3C3/AB3 = 0,5


côté opposé à A = hypoténuse x sin A
x
sin 30°

C. adjacent à A
=
0,5

0 < sin A < 1

C. opposé à A
Dans un triangle rectangle,

AC1 = 2,65
B1C1 = 1,5
B1C1/AC1 ≈ 0,566
La tangente de A est le multiplicateur
AC2 = 4,45
B2C2 = 2,55
B2C2/AC2 ≈ 0,573
AC3 = 7,9
B3C3 = 4,55
B3C3/AB3 ≈ 0,576
qui permet de passer du côté adjacent au côté
opposé à l'angle.



côté opposé à A = côté adjacent à A x tan A
x
tan 30°
≈
0,577
2. Ce que je dois retenir.
A) Connaître les côtés
B
B
hypoténuse

côté opposé à A
C
■
hypoténuse
côté adjacent B̂
A

côté adjacent à A
C
■
A
côté opposé à B̂
B) Connaître les formules trigonométriques
B


côté adjacent à A = hypoténuse x cos A

côté opposé à A
C
■
hypoténuse


côté opposé à A = hypoténuse x sin A


côté adjacent à A
A


côté opposé à A = côté adjacent à A x tan A
C) Remarques
1. Cosinus, sinus et tangente sont des nombres sans unité.
2. Le cosinus et le sinus sont des nombres inférieurs à 1.
3. La tangente est un nombre qui peut être plus grand que 1.
D) Calculatrice
Vérifier d'abord que la calculatrice est en mode " degré "
cos 20° ≈ 0,94
cos 60° = 0,5
sin 45° ≈ 0,71
tan 62° ≈ 1,89
3. Savoir calculer un côté.
A) On connaît 2 côtés du triangle
Exemple
Le triangle EFG est rectangle en E. Appliquons le théorème de Pythagore
!
!
GF2 = EG2 + EF2
5 cm
E
5,42 = EG2 + 52
29,16 = EG2 + 25
?
EG2 = 29,16 – 25
EG =
4,16 (cm)
EG ≈ 2,0 (cm)
5,4 cm
valeur exacte
arrondi au dixième
F
G
B) On connaît un côté et un angle
Exemple 1
Le triangle RST est rectangle en S. Utilisons la trigonométrie.

• Je cherche [RS] : c'est le côté adjacent à l'angle R . Je connais l'hypoténuse.

RS = RT x cos R
RS = 5,2 x cos 28°
RS ≈ 4,6 (cm)
5,2 cm
28°
R
T
?
S
?

• Je cherche [TS] : c'est le côté opposé à l'angle R . Je connais l'hypoténuse.

TS = RT x sin R
TS = 5,2 x sin 28°
TS ≈ 2,4 (cm)
Exemple 2
Le triangle ABC est rectangle en B. Utilisons la trigonométrie.
• Je cherche [AC] : c'est l'hypoténuse. Je connais le côté adjacent.
AC =
AC =
AB

cos A
?
?
5
cos32°
AC ≈ 5,9 (cm)
32°
A
• Je cherche [BC] : c'est le côté opposé. Je connais le côté adjacent.

BC = AB x tan A
BC = 5 x tan 32°
BC ≈ 3,1 (cm)
C
5 cm
B
3. Savoir calculer un angle dans un triangle rectangle.
A) On connaît l’autre angle aigu
Le triangle RTS rectangle en R donc les angles aigus R̂ et T̂ sont complémentaires.
R̂ + T̂ = 90°
T
?
T̂ = 90 – R̂
T̂ = 90° – 28°
T̂ = 62°
B) On connaît deux côtés
28°
R
Exemple 1
Le triangle EGF est rectangle en E. Utilisons la trigonométrie.
Je connais [EF] : c'est le côté opposé.
Je connais [EG] : c'est le côté adjacent.

EF
tan G =
EG
G
3
5
3
F
?
5
Ĝ = tan–1 (
5 cm
E
3 cm

EF = EG x tan G
tan Ĝ =
S
on utilise la touche
tan–1 pour trouver l'angle.
)
Ĝ ≈ 59°
Exemple 2
Le triangle EGF est rectangle en E. Utilisons la trigonométrie.
Je connais [EF] : c'est le côté opposé.
Je connais [FG] : c'est l'hypoténuse.
E

EF = EG x sin G
?

EF
sin G =
EG
Ĝ ≈ 68°
5,4 cm
G

5
sin G =
5, 4
Ĝ = sin–1 (
5 cm
5
5, 4
on utilise la touche sin–1
)
pour trouver l'angle.
F
4. Trouver une démarche pour aboutir à un résultat
Un propriétaire a un chien attaché au piquet planté en C.
La longueur initiale CI de la laisse permet au chien
d'atteindre le début du portail, au point I lorsque la laisse
est tendue.
Pour une meilleure surveillance de l'entrée, le propriétaire
aimerait que son chien puisse atteindre le portail à l'autre
bout soit au point E.
De quelle longueur minimale le propriétaire doit-il
rallonger la laisse de son chien ?
Démarche
L'augmentation est égale à EC – IC
• On calcule IC (dans le triangle rectangle IHC où on connaît 2 mesures)
• On calcule EC (dans le triangle rectangle EHC)
— On calcule d'abord HC pour avoir une 2ème mesure dans le triangle EHC
— On calcule EC
• On calcule de combien on rallonge la laisse.
Conclusion : 4 étapes
Rédaction
Etape 1 : Je calcule IC
Le triangle IHC est rectangle en H.
On cherche IC, l'hypoténuse et on connaît IH, le côté opposé à l'angle de 40°.
IC =
IH

sin C
IC =
6
sin 40°
IC ≈ 9,3 (m)
Etape 2 : Je calcule HC
Je cherche HC qui est le côté adjacent à l'angle de 40°. Je connais le côté opposé IH.
HC =
HC =
IH

tan C
6
tan 40°
HC ≈ 7,2 (m)
Etape 3 : Je calcule IC.
Le triangle CEH est rectangle en H.
Je cherche EC qui est l'hypoténuse. Je connais les deux autres côtés EH et CH.
Selon le théorème de Pythagore :
EC2 = EH2 + HC2
EC2 = (3 + 6)2 + (
6
tan 40°
)2
EC2 = 81 + (
EC ≈
6
tan 40°
)2
132,13
EC ≈ 11,5 (m)
Etape 4 : Je termine
EC – EI ≈ 11,5 – 9,3
≈ 2,2 (m)
Conclusion : Le propriétaire doit rallonger la laisse de 2,2 m environ.
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