Première partie : problème (13 points)

Mathématiques :
CRPE
Sujet format concours
Durée : 4 heures. Le sujet est noté sur 40 points.
Calculatrice autorisée.
Première partie : problème (13 points)
On considère le rectangle ABCD et un point M mobile se déplaçant sur le segment [ AB ] .
On notera x la longueur AM. On considère alors un triangle AEM rectangle en A avec D,A,E
alignés.
Partie A
1) Réaliser une figure avec les mesures suivantes : AB=6cm ; BC=3cm ; AE=5cm et
x = 2cm .
2) Calculer la valeur exacte de EM.
3) En déduire la valeur approchée à l’unité de l’angle AEM.
4) Déterminer la valeur approchée à l’unité de l’angle AEB.
5) Calculer la valeur des angles EMB et MEB puis en déduire alors la valeur de l’angle
EBM.
6) Déterminer l’aire du triangle EMB.
7) Tracer la hauteur du triangle EMB issue de M. On appellera H le pied de cette hauteur.
Calculer la valeur exacte de la longueur HM.
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Partie B
( Dans cette partie la longueur AM n’est plus fixée à 2cm)
1) Déterminer un encadrement de x .
2) Déterminer en fonction de x la mesure de la surface du triangle AEM.
3) Déterminer la valeur de x pour que la mesure de la surface du triangle AEM soit égale
à la moitié de celle du triangle AEB.
4) Déterminer la mesure de la surface du quadrilatère AMCD en fonction de x.
5) Déterminer si elle existe la ou les valeurs de x tel que la mesure de la surface du
quadrilatère AMCD soit inférieure à celle du triangle AEM.
Partie C
En admettant que cette figure soit celle du schéma d’un jardin. Et en admettant aussi que les
gouttes de pluie tombent au hasard sur chaque partie de ce jardin. Déterminer en fonction de
x la probabilité qu’une goutte de pluie tombe dans le triangle MBC. Que peut-on conclure si
x=6 ?
DEUXIEME PARTIE (13 points)
Exercice N°1
On dit qu’un nombre est parfait si il est égal à la somme de ses diviseurs hormis lui-même.
Par exemple 6 est parfait car 1, 2 , 3 sont ses diviseurs et 1+2+3=6.
1) Prouver que 28 et 496 sont parfaits
On dit que deux nombres sont amicaux si la somme des diviseurs de l’un est égale à l’autre.
2) Déterminer les diviseurs de 220 et de 284.
3) Ces deux nombres sont-ils amicaux ?
4) Un nombre est-il amical avec lui même ?
Exercice N°2
Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire avec un
nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de
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centimètres le plus grand possible. Les mesures de ce mur sont de 96cm sur 36cm.
Combien faudra-t-il alors de carreaux ?
Exercice N°3
Soit x un nombre positif quelconque différent de 0. On considère un rectangle de largeur x et
de longueur x + 1
1) Déterminer une expression algébrique en fonction de x de la mesure de la surface de
ce rectangle que l’on l'appellera S. Et une autre expression de la mesure du périmètre
de ce rectangle que l’on l'appellera P.
2) Par lecture graphique déterminer laquelle de ces deux figures est associée à S et
laquelle est associée à P.
figure 1
figure 2
3) En déduire si il y a proportionnalité ou pas entre la largeur du rectangle et la mesure
de sa surface et la mesure de son périmètre.
Exercice N°4
Quand un plongeur est sous l'eau, le poids de la colonne d'eau située au-dessus de lui exerce
sur son corps une pression qui dépend de la profondeur. Cette pression est de 1bar (1kg par
cm²) à la surface puis augmente ensuite de 1bar tous les 10m, comme indiqué sur la feuille
de calcul issue d’un tableur (annexe 1).
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1) Déterminer la formule à entrer dans la case A3 et à recopier vers le bas afin d’indiquer
la pression exercée.
2) Déterminer la formule à entrer dans la case B3 et à recopier vers le bas afin d’indiquer
la profondeur.
3) Déterminer la formule à entrer en C2 afin de déterminer le pourcentage de baisse de
pression entre A3 et A2.
4)
Remplir les 10 premières lignes du tableau en annexe 1.
Annexe 1 ( Deuxième partie)
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TROISIEME PARTIE (14 points)
Problème didactique en géométrie en cycle 3
Les activités 1, 2, 3 (ANNEXES I, II, II) ont été données par un enseignant dans une classe de
CE2 lors d'une séquence de géométrie.
Répondre aux questions en argumentant
1) Quels sont les objectifs poursuivis par chacune des activités ?
2) Quelle est la compétence visée par la séquence ?
3) Quels sont les pré-requis nécessaires à l'acquisition de cette compétence ?
4) Quel est l'objectif principal de l'enseignement de la géométrie au cycle 3?
5) Analyser la tâche de l'élève dans l'activité 1 (ANNEXE I) et les interventions de
l'enseignant. Justifier.
6) Citer des variables didactiques intervenant dans l'activité 3 (ANNEXE III).
7) Quels sont les difficultés et obstacles prévisibles dans cet apprentissage ?
8) Proposer une organisation de l'apprentissage visé dans une séquence introduisant les
activités 1, 2, 3 en justifiant la progression. Quelle évaluation prévoyez-vous ?
Illustrer.
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ANNEXE I : ACTIVITE 1
Comment ferais-tu si tu devais reproduire ce tableau ?
Activité extraite de « Outils pour les Maths », Magnard, 2012
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ANNEXE II : ACTIVITE 2
1- Termine la figure pour construire un carré de 4 cm de côté.
2- Termine la figure pour construire un rectangle de 5 cm de longueur et de 3 cm de largeur.
3- Termine la figure pour construire un triangle rectangle.
Activité extraite de « Mathématiques, épreuve orale » Nathan, 2011
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ANNEXE III : ACTIVITE 3
1- En reliant ces points, tu vas pouvoir tracer 3 triangles. L'un d'entre eux est un triangle
rectangle.
2- En reliant certains points, tu vas tracer un carré, un rectangle, un losange. Le losange et le
carré ont un côté commun, le losange et le rectangle ont un côté commun.
Activité extraite de « Mathématiques, épreuve orale » Nathan, 2011
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3- En reliant certains points, tu vas pouvoir construire un carré de 4 cm de côté et un
rectangle de longueur 5 cm et de largeur 3 cm.
Activité extraite de « Mathématiques, épreuve orale » Nathan, 2011
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