Triangles

Triangles
1) Somme des angles d'un triangle
Propriété:
Démonstration
On considère un triangle ABC.
Traçons la droite d parallèle à (BC) passant par A.
Notons D et E des points de d comme sur la figure.
Les angles
DAB
et
ABC
sont alternes-internes et comme les droites d et (BC) sont parallèles, ils
ont la même mesure.
De même pour les angles
EAC
et
ACB
.
DAB BAC  EAC = ABC  BAC  ACB= DAE
=180° car c'est un angle plat.
Exemple:
Calculons l'angle
BAC
ABC  BCA BAC
=180°
48 °37° BAC
=180°
85° BAC
=180°
BAC =180 ° –
85°=95°
La somme des trois angles d'un triangle est égale à 180°.
48°
37°

Cas particuliers
a) Les angle du triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle qui a les 3 côtés de même mesure ainsi que les 3 angles.
Donc chaque angle mesure
180
3
= 60°
b) Angles d'un triangle rectangle
Propriété:
Démonstration:
ABC est un triangle rectangle en A donc
BAC =90 °
La somme des angles d'un triangle est égale à 180°
90 ° ABC  ACB=180 °
d'où
ABC  ACB=180 °−90 °=90 °
Propriété réciproque:
Démonstration admise
Exemple:
Dans le triangle ABC on a
ABC  BAC =42 °48 °=90 °
Donc le triangle ABC est rectangle en C.
Si un triangle est rectangle alors les angles aigus sont complémentaires (la somme = 90°)
Si les angles aigus d'un triangle sont complémentaires (la somme = 90°)alors le triangle est
rectangle.
C
A
B
42°
48°

b) Angles d'un triangle isocèle
Propriété
Démonstration
ABC est un triangle isocèle
Nous savons qu'un triangle isocèle
possède un axe de symétrie d
Le symétrique de l'angle
CAB
par
rapport à d est l'angle
CBA
or la
symétrie axiale conserve la mesure des angles
donc
CAB
=
CBA
Exemple:
Le triangle ABC est isocèle en C et
ACB=48 °
(voir figure ci-dessus)
Calculons la mesure des deux autres angles.
La somme des mesures des trois angles d'un triangle est égale à 180° donc
CAB CBA ACB=180 °
CAB CBA48 °=180 °
Le triangle étant isocèle, ses angles à la base ont la même mesure.
CAB
=
CBA
CAB CAB48°=180 °
2× CAB48 °=180 °
2× CAB=180 °−48 °=132 °
CAB=132°
2=66°
CAB= CBA=66°
Propriété réciproque
Démonstration admise
Exemple
Dans, le triangle EFG on a :
EFG= FEG
Ainsi, le triangle EFG est isocèle en G, GE=GF.
2) Inégalité triangulaire
a) Propriété des longueurs des côtés d'un triangle
Remarque: Le plus court chemin entre deux points est la ligne droite.
Propriété
Exemple:
Dans le triangle ABC on a:
AB<AC+CB
AC<AB+BC
BC<BA+AC
Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base ont la même mesure.
d
Si un triangle a deux angles de même mesure alors le triangle est isocèle.
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux
autres côtés.

b) condition d'existence d'un triangle
Propriété
Exemples:
Existe-t-il un triangle de côtés 4cm, 2cm et 2,5cm?
La plus grande est 4 cm
4 < 2+2,5 = 4,5 donc un tel triangle existe.
Existe-t-il un triangle de côtés 6cm, 4cm et 1,5cm?
La plus grande est 6 cm
6 > 4+1,5=5,5 donc un tel triangle n'existe pas.
c) Cas d'égalité de longueurs
Propriétés
3) Médiatrice
Définition:
Propriété:
Démonstration
Le symétrique du point A par rapport à d est le point B. Le symétrique du point M par rapport à d
est le point M lui même. Donc le symétrique du segment [AM] est [BM] or la symétrie axiale
conserve les longueurs d'où AM=BM.
Les nombres a,b, et c désignent des longueurs, la plus grande de ces trois étant a.
•Si a < b+c alors il existe un triangle de longueurs de côtés a,b et c.
•Si a > b+c alors il n'existe pas un triangle de longueurs de côtés a,b et c.
A et B désignent deux points
•Si un point M appartient au segment [AB] alors AB=AM+MB.
•Réciproquement: Si AB=AM+MB alors le point M appartient au segment [AB] .
La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu du segment et qui lui est
perpendiculaire.
M
AB
d
Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors ce point est à égale distance des
extrémités de ce segment.
On dit que le point est équidistant des extrémités du segment.

Propriété réciproque:
Démonstration admise
Propriétés des médiatrices d'un triangle:
Démonstration:
•Les médiatrices d et e se coupent en O démontrons que f passe également par O.
Je sais que O appartient à d, médiatrice de [AB], or si un point appartient à la médiatrice
d'un segment, alors ce point est à égale distance des extrémités de ce segment.
Donc OA=OB.
De même O appartient à e donc OA=OC d'où OB=OC. Or si un point est à égale distance
des extrémités de ce segment, alors ce point appartient à la médiatrice du segment.
Donc O appartient à f.
•De plus, comme OA=OB=OC, le cercle de centre O et de rayon OA passe par les trois
sommets du triangle.
4) Hauteurs
Définition:
Exemple:
La droite (BH) est la hauteur issue de B. On dit que H est le
pied de la hauteur.
La droite (CH') est la hauteur issue de C.
( Elle se trouve à l'extérieur du triangle )
Si un point est à égale distance des extrémités de ce segment, alors ce point appartient à la
médiatrice du segment.
•Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes ( se coupent en un seul point).
•Le point de concours des médiatrices est le centre d'un cercle qui passe par les trois
sommets du triangle, appelé cercle circonscrit au triangle.
Dans un triangle, la hauteur issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est
perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.